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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 7 7 章 多元函数积分 章 多元函数积分 学 学

高等数学 A

7.2 7.2 曲线曲面积分 曲线曲面积分

7.2.3 Green 公式及其应用

格林 (Green) 公式

7.2 7.2 曲线曲面积分 曲线曲面积分

格林简介

区域的连通性 格林 (Green) 公式 Green 公式的应用

应用习例 1-2 应用习例 3-4 应用习例 5-6 应用习例 7

求平面区域的面积

曲线积分与路径无关

曲线积分与路径无关的定义 曲线积分与路径无关的条件 应用习例 8-10

平面上曲线积分与路径无关的等价条件 应用习例 11-13

二元函数的全微分 应用习例 14-15

小结

G re en

公

式

及

其

应

用

格林（ Green ）公式：平面区域的二重积分 与沿此区域的第二类曲线积分的关系。

意义：微积分基本公式在二重积分情形下的推 广，不仅给计算第二类曲线积分带来新方法，更重 要的是揭示定向曲线积分与积分路径无关的条件，

在积分理论的发展中起了重要的作用。

* _格林（ Green ） [ 英 ] 1793- 1841 物理学家，数学家 , 自学 成才

英国数学家和物理学家，仅读过两年书，回家帮父亲烤面包卖，一直到 40 岁，父亲去世后才得以到剑桥大学读书。 44 岁大学毕业， 48 岁因流行感冒 去世。但依靠自学，做出了巨大的贡献，相关成果至今仍是数学物理中的经 典内容。他的工作培育了数学物理方面的剑桥学派。

一、格林公式及其应用

设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所 围成的部分都属于 D, 则称 D 为平面单连通区 域 , 否则称为复连通区域 .

复连通区域 单连通区域

D D

1 、区域连通性

( 不含有“洞”或“点洞” ) ( 含有“洞”或“点洞” )

注： D 的边界曲线 L 的正方向 负方向

?

D D

当观察者沿 L 的正向行走时 , 区域 D 内离他近处的那 一部分总在他的左边 .

定理 1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围

成, , ), 则有

(x y

P Q(x, y)

( Green 公式 )

函数 在 D 上具有连续一阶偏导数

, 2 、 Green 公式

. )

( )

cos cos

(



^{ }



^_ ^{ }_

D L

y dxdy P

x ds Q

Q

P  

或

, )



(



^{  }_ ^{ }_

D L

y dxdy P

x Qdy Q

Pdx



 ^ _ ^{ } _ ^

L

^

D

Qdy Pdx

y dxdy P

x

Q )

待表式证达

(



 ^ _ ^

L D

Qdy x dxdy

Q ^  ^ _ ^ 

L D

Pdx y dxdy

P

等价于明证

型区域

y x 型区域

分析：

证明依赖于区域的形状

 ^单连通 _复连通 ^{ 既 一般区域 x 又 y 型}

} ),

( )

( )

,

{( x y

₁

x y

₂

x a x b

D       

证明 (1)

若区域D_既是X_型

又是Y_型^,_即平行于

坐标轴的直线和L_至

多交于两点.

} ),

( )

( )

,

{( x y

₁

y x

₂

y c y d

D       

y

o a b x

D c

d

)

1(x y  

)

2(x y  

A

B

C E

)

2(y x  )

1(y x 

思路 : 公式两边化为同一定积分 .从简单情形出发 .

xdx dy Q

x dxdy

Q ^y

y d

D



c





^_ ^ (⁽ )^{) }_

2 1









^

 ^d

c d

c Q( ₂( y), y)dy Q(₁( y), y)dy





^

 CBE Q(x, y)dy CAE Q(x, y)dy





^

 CBE Q(x, y)dy EAC Q(x, y)dy



 LQ(x, y)dy

同理可证 ^



^_ ^



L D

dx y

x P y dxdy

P ( , )

y

o x d

)

2(y x 

D

c C

E

)

1(y

x  B

A

若区域D_由按段光

滑的闭曲线围成.如图, 证明 (2)

1 L

L

L2

L3

D D1

D2

D3

两式相加得



^_ ^{ }_ ^



L ^ D

Qdy Pdx

y dxdy P

x

Q )

(

将

D

_{分成三个既是}

X 

_型又是

Y 

_型的区域

D

_1,

D

_2,

D

_3.





  

 



 



 





3 2 1

) (

) (

D D D D

y dxdy P

x dxdy Q

y P x

Q







^_ ^{ }_ ^{ }_ ^{ }_ ^{ }_ ^{ }_

3 2

1

) (

) (

) (

D D

D

y dxdy P

x dxdy Q

y P x

dxdy Q y

P x

Q





 ^{    }



3 2

1 L L

L

Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy

 ^



L

Pdx Qdy

D1

D2

D3

1 L

L

L2

L3

) ,

( L

_1,

L

₂

L

₃

对 D 来说为正方向

G

D

L3

L2

F C E

L1

A B

证明 (3)

若区域不止由一条闭曲 线所围成.添加直线段AB,CE. 则

D

_{的边界曲线由AB,}L_2,BA, AFC,CE, L_{3, EC及CGA构成.}

由 (2) 知



^_ ^{ }_

D

y dxdy P

x

Q )

(









 ^{   }

 {

AB L₂ BA AFC CE

^ 

L

^ 

EC

^ 

CGA

} ^ ( Pdx ^ Qdy )

3



^

 L Pdx Qdy

  

^{  }



2 3 1

) )(

( L L L Pdx Qdy

) ,

(L_1,L₂ L₃对D来说为正方向

注意 : 格林公式的应用条件

L 为封闭曲线（取正向）

Ｐ，Ｑ在 L 所围的区域Ｄ 内有一阶连续偏导数

注意 :

(1) 便于记忆形式 :

 

^











D L

dxdy Q

P

y Qdy x

Pdx

(2) 当边界曲线取反方向时 ,Green 公式中二重积 分符号前添“”号 !

(3) 应用 Green 公式条件缺一不可 .

3 、格林公式的简单应用

(1) 直接用 ：当 L 是封闭曲线时，应用格林公式简化 曲线积分

注意：还应满足用格林公式的条件

(2 4) (3 5 6)

(0,0), (3,0) (3, 2) .

L x y dx x y dy

L O A B

    

 

利用格林公式计算曲线积分 其中为三顶点分别为和的三角形 例

正向边界 3

的切向量 曲线

为闭合 为任一给定方向

其中 求

例

C

n l

ds n

l

C

, ,

) , cos(

.

2    



例 1

(2 4) (3 5 6)

(0,0), (3,0) (3, 2) .

L x y dx x y dy

L O A B

    

 

利用格林公式计算曲线积分 其中为三顶点分别为和的三角形 例

正向边界 3

, : P x y( , ) 2 x y  4

解

Q ( x , y )  3 x  5 y  6

3 ,

1 



 

 



x Q y

P

O

B

A

有 利用格林公式,

12 4

) (

) 6 5

3 ( )

4 2

(



 

 



 

















D D

L

dxdy y dxdy

P x

Q

dy y

x dx

y x

( 简化曲线积分 ) 例

1

解： 设l的方向余弦为(cos a,cos b)(常数), ),

cos ,

(cos  的方向余弦为

n

), cos

, (cos )

cos ,

(cos )

,

cos(l n  a b    则

ds b

a ds

n l

C

C



^



^{ }

 cos(^, ^) (cos cos cos cos  ) dy

b adx

C



^

 cos cos 



0  0.

D Green

公式 dxdy 的切向量

曲线

为闭合 为任一给定方向

其中 求

例

C

n l

ds n

l

C

, ,

) , cos(

.

2    



273 5.3 1(1) (3)

P  

练习习

. :

, )

1

( I x²ydx xy²dy L x² y² R²沿逆时针方向

L    





, )

, (

: P x y   x

²

y

解 Q ( x , y )  xy

²

2

2

, y

x x Q

y

P 



 

 



_x² _y²

y P x

Q  



 





有 利用格林公式 ,

4 0

2 3 0

2 2

2 1

) (

) (

R dr

r d

dxdy y

x y dxdy

P x

I Q

R

D D













 

 



 









. :

, )

2 sin

( )

sin 2

cos (

) 2 (

3 2 3

2 3

2

2 2

2 2

沿正向 a

y x

L

dy xy ye

x x

dx e

y x xy

x y

x I L

x x

















, sin

2 cos

) ,

(

: P x y  x

²

y x  xy x  y

²

e

^x

解

ye

x

x x

y x

Q ( , ) 

²

sin  2

x ye Q

x x

x y x

P

_x



 





 



²

cos 2 sin 2

_{ 0}



 





y P x

Q

有 利用格林公式 ,

0 )

( 



 



  

D

y dxdy P

x

I Q

(2) 间接用：当 L 不是封闭曲线时，但

可添加辅助曲线使之封闭，再用 Green 公式简化计算。

( )

Q P x y k

 

 

  或形式较简单

2 2

2

( ) ( sin ) ,

: 2 (0 0) (1,

6.

1) I L x y dx x y dy

L y x x O A

   

 



上由点，到点 例

的一段弧。

例 3 例 4

x y

o

L

A

B

D

BO AB

OA

L  





1 ,

0 



 





x Q y

x

P

Q P  0 , 

1



 





y P x

Q

解 1 代入法 , _ ^{0 2 0 2 2}

2 2

cos ( sin ) cos

4

AB xdy _ r td r t r _ tdt  r













 

例 3

, 0 ,

0 

 



OA

xdy

BO

xdy 由于

AB

xdy

L

xdy

OA

xdy

BO

xdy

      

^

 

^

注意： L 的方向为顺 时针方向，即 L 的反

向

x y

o L

A

B

D

1

2

4 .

D

dxdy  r

    

" "

( )

D

Q P

x y dxdy

 

  

 

格



2 2

2

( ) ( sin ) ,

: 2 (0 0) (1,

6.

1) I L x y dx x y dy

L y x x O A

   

 



上由点，到点 例

的一段弧。

, )

, (

: P x y  x

²

 y

解 Q ( x , y )   x  sin

²

y

1 ,

1  



 

 



x Q y

P

 0



 





y P x

Q

: 1, :1 0; : 0, :1 0

, ,

AB x y BO y x

L AB BO

   

 

添加路径

使封闭利用格林公式有

( ) 0

AB BO L AB BO

L D

Q P

x y dxdy

 

 

      

 

     

O

A

B

AB BO OB BA

L

  

    

  

例 4

2 2

1 2 1

0 0

1 0

( ) ( sin )

1 cos 2

(1 sin ) 1

2 3 sin 2 3 sin 2

2 4 | 2 4

BA x y dx x y dy

y dy y dy

y

  

      

     



 

又

2 2

1 2 2 1 2

0 0

( ) ( sin )

( 0) ( sin 0) 0 1

3

OB

x y dx x y d

x dx x x dx

   y

      



 

又

7 sin 2

6 4

AB BO OB BA

L

  

    

     

（ 3 ）不能用：

方法一：简化被积函数后再用

方法二：在 D 内有使 P ， Q 不连续的点存在，

不能直接用格林公式，采用“挖小洞”的方法，挖 去不连续点，再用格林公式。

例 6

三 格林公式的简单应用

例 5

例 5

解 1 ：代入法，见练习题

: cos , : 0 2

sin L x a

y a

  



 

  



2 0

2 2 2

2 2 2 2

0

2

cos d sin sin d cos

cos sin d

2 .

L

a a a a

xdy ydx

x y a

a

a





   

  



 

 



  

 

 

 





解 2 ：

L

2 2 ^L 2 2 .

L

xdy ydx xdy ydx

x y a 

 

  



  



^分母代入

不符合 Green 公式的条件 , 但是可以先将曲线方

程代入被积表达式的分母，化简后可用格林公式 . 则当x²y²0_{时, 有}

y P y

x

x y

x Q







 





2 2 2

2 2

)

(

.

(0,0)  D

ex3.计算



L

x ^ _ y

ydx xdy

2

2 ,其中L为一条无重点,分段光滑 且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.

解 令 _{2 2} ^, _{2 2} y x

Q x y

x P y

 



 

,

则当x²y²0_{时, 有}

y P y

x

x y

x Q







 





2 2 2

2 2

)

(

.

记L_{所围成的闭区域为}D^,

x y

o

D L

y

o x

L D 例

6

y

o x

L D (1) 当

( 0 , 0 )  D

_时,

x y

o

D L

符合 Green 公式的条件 .

. 0

2 0

2  







_L ^xdy_x  ^ydx_y



_D ^dxdy

(2) 当(0,0)D时,

作位于D_{内的足够小圆周}

l : x

²

 y

²

 r

², l 记

D

1_由L和l所围成, r

在 D₁ 上符合 Green 公式的条

件 .





^{ }_ ^{  }_



 _

l l

L x y

ydx xdy

y x

ydx xdy

2 2

2

原式 2





^{ }_

 _{D l}

y x

ydx dxdy xdy_{2 2} 0



^_

 l x y ydx xdy

2

2   

r d r r

2

2 2

2

2 cos  sin



^

 ²

0

 2  .

注意 :

? ) ,

( )

(

?

?

2

2 l

b y

a x

dy I dx

L

如何选择辅助曲线 若计算 ^



_{ }^ _

? ,

4

?

?

2 2 l

x y

dy I dx

L

如何选择辅助曲线 若计算





 

练习：Ｐ 274---2



L

_ ^{ }  ^

D

y dxdy x

ydx xdy

L

0 0

, ,

) 1 (

2

则

2

式 该曲线积分满足格林公 的图知

由

0 2

: sin ,

: cos ,

, :

, ,

) 2 (

2 2

2

 

 











 

 r

y

r L x

r y

x l

L L

即

顺时针方向一周 内取

则在

公式 该曲线积分不满足格林

的图知 由



 



 cos sin 2

0 ⁰

2 2

2 2

2 2

1 1

 















 





r d r dxdy r

D

L L l l

(4) 简化二重积分计算 例

7

则 e ^y2 y

P x

Q  _







 ,

应用 Green 公式, 有

 







 

BO AB

OA

y D

y dxdy xe dy

e ^{2 2}



^



OA

y

dy

xe

²

^{( 1 ).}

2

1 

_1

 e

解

x y

o

D

A B

令^{P  0, Q  xey2},



^



¹

0

2

dx xe

^x

例 7

格林公式 : 

^_ ^_ ^



L ^ D

Qdy Pdx

y dxdy P

x

Q ) (

(1)取P   y, Q  x, _得



^



L ^ D

ydx xdy

dxdy 2

闭区域D_的面积 A^



Lxdy^ydx 2

1

.

(2)取

P  0 , Q  x ,

_得

A ^ 

L

xdy

(3)取

P   y , Q  0 ,

_得

A ^ 

L

^ ydx

(5) 计算有界平面区域的面积

例 8 、求椭圆 的面积

2 2

2 2

1

x y

a  b 

解

2 0

2 0

1 2

1 [( sin )( sin ) cos cos ] 2

1 2

L

S xdy ydx

b t a t a t b t dt ab dt ab



 

 

    











cos , sin , : 0 2 x a  t y b  t t  

椭圆的参数方程为

练习：Ｐ 274-3 （ 1 ）求星形线

. sin

,

cos

³

t y a

³

t 所围的面积 a

x  





8 ) 3

sin (sin

6

) 2 (

: 1

2 2

0

4 2

2

a

dt t

t a

xdy dx

y

A

L



















解

G y

o x



L₁

Pdx ^ Qdy

则称曲线积分



^{LPdxQdy在G内与路径无关,}



L₂

Pdx ^ Qdy

L1

L2



^B



A

如果在区域 G 内有



二、平面曲线积分与路径无关 1 、平面曲线积分与路径无关的定义

2 、曲线积分与路径无关的条件

定理 1

证 充分性

在 G 内任取一条闭曲线 C , C 所围的闭区域为

D 。

G

C D

 y d

P x

dy Q y

x Q dx

y x P

C



D



^{( , )  ( , )  ( }_ ^{ }_ ⁾

G

C D G 是单连通的，因此， D  G.

于是，在 D 内 . x Q y

P  



应用 Green 公式，有

即，在 G 内曲线积分



_L ^{P(x, y)dx  Q(x, y)dy}

与路径无关。

必要性 用反证法

假设在 G 内存在使 x Q y

P  

 的点 M₀

，

 0

即 0.

0 



 

 x M

Q y

P

不妨设 0.

0 



 

 x M

Q y

P

. )

, (

x

Q y

y P x

f  

 设 

由于 P ， Q 具有一阶连续偏导数

，

.

) , (

连续

有 f x y

因此在 G 内必有点 M₀ 的一个小邻域 D′, 在 D′ 内 .

0 )

,

(x y  f

. G D 

因为， 应用 Green 公式，有

G M0

D C

 d y x f



D



 ( , ) f ( ,) .

中值定理 二重积分

, 0 )

, ( , )

,

(   D f     _是D_的面积，  0.

于是，



_C ^Pdx  ^Qdy  0. ^矛盾。

因此，在 G 内恒有 . x Q y

P  



 y d

P x

Qdy Q Pdx

C



D



  (   )

两条件缺一不可

有关定理的说明：

说明 : 积分与路径无关时 , 曲线积分可记为



^

 ^B

A Pdx Qdy



_AB ^{Pdx  Qdy}

x Q y

P



 

 若



(⁽ ,^, )^{) }

1 1

0 0

y x B

y x

A Pdx Qdy 则

dy y

x Q dx

y x

P ^y

y x

x ( , ) ¹ ( , )

0 1

0 0



1



^



dx y

x P dy

y x

Q ^x

x y

y ( , ) ¹ ( , )

0 1

0 0



1



^

或 

即选择较简便 的路径计算

) , (x₁ y₀

C

) , (x₁ y₁

 B

x y

o

) , (x₀ y₀

 A

应用 ( 直接应用，简化曲线积分的计算 )

曲线积分与路径无关的条件应用习例 应用 1( 直接应用，简化曲线积分的计算 )

例 8 

L x2 _^ y2 ^.

ydx 计算 xdy

: cos , ( , ) ( , ).

L y   x A     到 B   

解: _{2 2}

,

_{2 2}

y x

Q x y

x P y

 



  ,

当x²y²0_{时, 有}

y P y

x

x y

x Q







 





2 2 2

2 2

)

(

.

, .

: , :

AB

A B

l

l y  



x  

 

则从到的曲线积分与路径无关可选择 一条简便路径计算

选 ^{2 2 : 2 2 2 2}

arctan |

2

L l AB

xdy ydx xdy ydx dx

x y x y x

x



















   

  

 

  

例 8 

L x2 _^ y2 ^.

ydx 计算 xdy

: cos , ( , ) ( , ).

L y   x A     到 B   