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ch 6 定积分应用

ch 6 定积分应用

定积分的应用很广泛，在自然科学和生产 实践中有许多实际问题最后都归结为定积分问 题。本章不仅对一些几何物理量导出计算公式

，更重要的是介绍运用“微元法”将所求的量归 结为计算某个定积分的分析方法。

重点

微元法，面积，弧长，旋转体的体积

;

*

定积分在物理方面的应用

微元法，参数方程确定的曲线所围的 面积，定积分在物理方面的应用。

基本要求

① 正确理解和掌握微元法的基本思想，并 会灵活运用它。

② 会用直角坐标、极坐标、参数方程所给出 的三种求积公式求出一些常见图形的面积。

③ 会求旋转体的体积

④ 会求平面曲线的弧长

难点

一、求Ｕ的步骤

1 分割

[ x

_i1

, ], x

_i

2 近似

  U

_i

dU

_i

 f ( ) 

_i

 x

_i

( 

_i

 [ , ]) x x

_{i1 i}

3 求和

 







 ⁿ

i

i i

n

i

i f x

U U

1 1

) (

 



设量Ｕ非均匀地分布

[ a ,b ]

上

6.1 定积分的微元法

1

i=1,2,...,n

n

i i

U U







 ^，（）

 

 

 ⁿ

b i

i x f x dx

f

U lim0 ( ) ( )

4 取极限 

( ) ( )

i i i i

U f  x o x

    

^{( 元素法求Ｕ的条件 )}

Ⅱ 。求微元

[ , x x dx  ]

_上

U

  ^{dU  f ( x ) dx}

^量元素

/

微元

Ⅲ 。求积分

^ 

^b

a

dx x

f

U ( )

二、元素法求量

U

的步骤

即把微元

dU

^在

[ a , b ]

上 “无限积累”起

Ⅰ 。选择积分变量

x [a,b];

∈

一、直角坐标情形

x y

o

A

a b

) (x f y 





^b

a

f x dx

A ( )

x y

o

A

a b

)

2(x f y 

)

1(x f y 

 ^



^b

a

f x f x dx

A [

₂

( )

₁

( )]

6.2 平面图形的面积

1. [a ,b ]

上任取

[ x ,x+dx ]

当

dA dx  [

很小时 ：

f ( x )  g ( x )] dx

 ^



b

a

dx x

g x

f

A [ ( ) ( )]

2.

) (x f

y 

) ( x g y  x ^{x  dx}

连续曲线

)) (

) (

( f x  g x

2

x

y  y  x

² 所围图形面积

.

解：

x  [0,1] 时， x  x

²

1

2 0

( x ) A    x dx

3

3 1

2 0

2 1 1

( )

3 x 3 x 3

  

例

1

求两曲线

x x+dx

y  x

y=x

2

dA ( x x )dx  

2

1.

2.

注：根据平面区域的特征恰当选择积分变量：

) (

),

( y x y

x    

)) (

) (

(  y   y

 ^



d

c

dy y

y

A [  ( )  ( )]

c d

dy y 

y

) ( y x  

x   (y)

在

[-2,4]

上任取一小区 间

] ,

[ y y  dy

左、右曲边分别为

：

, 4

2

1

₂





 y x y x

18 2 )

4 1

(

²

4

2









 



dy y

y

A y

y dy  x

y

²

 2 ^{y  x  4}

_{所围图形的面积}

解

1

：



^{yy2  4 2x x 解得交点为（}

₄

_）

²

^，

^-2

^）和（

⁸

^，

例

2

计算

x

y

²

 2 ^{y  x  4}

^{所围图形的面积}

解

2

：



^{yy2  4 2x x 解得交点为（}

₄

_）

²

^，

^-2

^）和（

⁸

^，

若取

x

为积分变量 在

[x,x+dx]

上取部分 量

例

2

计算

2

A  

0

[ 2x (   2x )]dx+

8

[ 2x (x 4)]dx=18  



二、参数方程

边界曲线由参数方程的形式给出时，只 须对面积计算公式作变量代换即可。

) (   t  

( ) ( )

b

a

A ydx t t dt





  ^

   

 







) (

) (

t y

t x





a b x

y

o

) (x f y 

例

3

求椭圆











 sin cos b

y

a

x (0    2 )的面积

解 由对称性 面积

A

等于椭圆在第一象限内 的部分的面积的

4

倍

即

^{A } 

^a

^ydx

0

4

 ^





0

sin

2

4







 d ab

ab

三、 极坐标系

某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的

O: 极点 x

ox: 极轴

M (r ,θ) r: 向经（ 0≤r<∞ ）

θ: 极角 ( -∞ <θ< ∞) 逆正顺负

r θ

极坐标直角坐标的互换：

O x

M (r ,θ) or M(x,y)

 









 sin cos r

y

r x

2 2

arctan , 0;

r x y

y x

 x

  

  

  

 

 



θ

r y

x

O x

射线 L 方程

α M (r ,θ) ：

垂线 L 方程

：

O θ x

M (r ,θ)

a>0

θ

θ = α

rcos θ = a

- π/2 < θ < π/2

O x

圆 o 方程： r = R 0 ≤ θ ≤ 2π M (r ,θ)

R>0

圆方程： r =2 R cos θ - π/2 ≤ θ ≤ π/2

O x

M (r ,θ)

R 2R

圆方程： r =2Rsin θ 0 ≤ θ ≤ π M (r ,θ)

O x

2R θ

R

R

圆扇形： r = R, α <θ < β

O x

圆扇形面积：

S=½(β-α)R²

β α

r 2R

1

2

2. ( )

A 2 r d





 

 



 d r

dA ( )

2 1

₂



1 .

在典型小区域

[

，

  + ] d

上，当很小时

 d 



 





 d



d

( ) r r  

由曲线

r  r (  ), (      )

极坐标系面积的基本图形是曲边扇形

:

与射线



  _{  }

_围成

三、极坐标情形

o x





d



) (



 r



 ^

   d

A [ ( )]² 2

1





o x

)

2(



 r )

1(



 r



^

 ^

     d

A [ ( ) ( )]

2

1 ₂

1 2

2

解

:

²

( 1  cos  )

²

d 

0

2 1

A   

^

2 a





 cos ) d cos

2 1

(  

²



^



0

a

2



 d 

o x



 d



) (



 r



 ^

   d

A [ ( )]² 2

1

解 由对称性知

^{A  4 A}

₁







d a

A cos 2

2 4

⁴

1

0



2



2

.

 a

^{ cos2}

2 2  a

x y 