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准则Ⅰ′ 如果当xU_⁰(x₀)(或

x  M

_)时,有

,

) ( lim ,

) ( lim )

2 (

), (

) ( )

( )

1 (

) (

)

( ^{0 0}

A x

h A

x g

x h x

f x

g

xx xx x

x

 













那末

lim ( )

) ( ⁰

x f

xx

x 存在, 且等于

A

.

1.

sin 1

lim

0





x x

x

0 )

( ) lim

(

) (

lim sin  



 x

x x

a x

a

x 



 1，其中

2.

e x

x

x

 





1 ) 1

(

lim e

n

n

n

 





1 ) 1

( lim



^{( )}



^{, lim ( ) 0}

lim  ^{( )}  



 x e x

a x

a x

x 

 ^ _其中

1

1





 



 

 



 , lim ( )

) ( lim 1

) (

x

x e _{x a}

x a

x 





其中 1

准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.

定理 ( 等价无穷小替换定理 )

. lim

lim ,

lim

~ ,

~ 









 





 

 



 

 且 存在 则

设

等价关系具有：自反性，对称性，传递性

常用等价无穷小 : 当x  ⁰时^,

2 .

~ 1 cos

1 ,

~ 1 ,

~ ) 1

ln(

,

~ arctan

,

~ tan

,

~ arcsin

,

~ sin

x2

x x

e x

x

x x

x x

x x

x x

x  



x

x 2

~ 1 1

1   x

x n

n 1

~ 1 1   x

x)^ 1 ~  1

(  

注

^1. 上述 10 个等价无穷小（包括反、对、幂

1.7 函数的连续性

重点：

1. 函数的连续的定义和性质 (

_{极限的运算性质→连}

续的运算性质

) ；

2 、初等函数连续性；

3 、 间断点的分类

4 、 闭区间上连续函数的性质

本节从极限的定义和增量概念出发

→

先研究函数 f(x) 在一点的连续性和间断问题→

再研究函数在一个区间内的连续性、初等函数连续性

。

一、函数的连续性

0 0 0 0

( ) ( ) , lim ( ) ( ) ( )

x x

f x _ x f x f x f x x

 

“在U有定义若则在点连续”

) (x f y 

x

y

x

y

) (x f y 

例 1

.

0 ,

0 ,

0

, 0 1 ,

) sin (

处连续

在

试证函数 









  x

x x x

x x f

证 1 0,

sin

lim0 

 x x

 x

, 0 )

0

( 

又 f lim ( ) (0),

0 f x f

x 



. 0

)

( 在 处连续

函数 f x x 

sin ,1 0,

( ) 0

2, 0,

x x

f x x x

x

 

  

 



在

定义 3 单侧连续

; )

(

), (

) 0 (

, ]

, ( )

(

0

0 0

0

处左连续 在点

则称

且 内有定义

在 若函数

x x

f

x f x

f x

a x

f  

. )

(

), (

) 0 (

, )

, [

) (

0

0 0

0

处右连续 在点

则称

且 内有定义

在 若函数

x x

f

x f x

f b

x x

f  

定理“在连续在既左连续又右连续f x( ) x0  f x( ) x0”

) x ( f lim

) x ( f )

x ( f

lim  ₀ 

即：

例 2

.

, 0 0 ,

2

, 0 ,

) 2 ( 连续性

处的 在

讨论函数 











  x

x x

x x x

f

解

lim ( ) lim ( 2 )

0

0_



_







f x x

x

x

 2  f ( 0 ),

) 2 (

lim )

(

lim

0_



0_







f x x

x

x

  2  f ( 0 ),

右连续但不左连续 ,^{故函数 f (x)在点 x  0处不连续.}

( ) .

f x  

但函数在（-，0），[0，+）连续

二、函数的间断点

: )

( 在点 ₀处连续必须满足的三个条件 函数 f x x

; )

( )

(1 f x 在点x₀某一邻域内有定义

; )

( lim

) 2 (

0

存在 x

x f

x

).

( )

( lim

) 3

( ₀

0

x f x

x f

x 



0

,

( ) ( ).

f x x

如果上述三个条件中只要有一个不满足则称

函数在点处不连续或间断

第 一 类 间 断 点

o y

x

x0

可去型

o y

x

x0

跳跃型

第 二 类 间 断 点

o y

x

x0

无穷型

o y

x 振荡型

间断点的分类与判别

1. 跳跃间断点

. )

(

), 0 (

) 0 (

,

, )

(

0 0

0

0

的跳跃间断点

为函数 则称点

但 存在

右极限都 处左

在点 如果

x f

x x

f x

f

x x

f







例 3 ^{0 .}

, 0 ,

1

, 0 ) ,

( 在 处的连续性

讨论函数 











  x

x x

x x x

f

解 ^{f (0  0)  0, f (0  0)  1,}

), 0 0

( )

0 0

(   f 

 f

. 0为函数的跳跃间断点



 x _{o x}

y

2. 可去间断点

. )

(

) ( ),

( )

( lim

, )

(

0

0 0

0

0

的可去间断点 为函数

义则称点

处无定 在点

或 但

处的极限存在 在点

如果

x f x

x x

f x

f A

x f

x x

f

x

x  



例 4

. 1

, 1 ,

1

1

, 1 0

, 1

, 2

) (

处的连续性 在

讨论函数











 





 x

x x

x x x

x f

o x

y

1

1 2

x y  1

x y  2

解 ^{f (1  0)  2, f (1  0)  2,  f (1)  1,}

2 )

(

lim1 

  f x

x  f (1),  x  0

为函数的可去间断点

.

3. 第二类间断点

. )

(

, ) (

0 0

的第二类间断点

为函数 则称点

在 右极限至少有一个不存

处的左、

在点 如果

x f

x x x

f

例 5 0 .

, 0 ,

, 0 1 ,

)

( 在 处的连续性

讨论函数 









  x

x x

x x x

f

解 ^{f (0  0)  0, f (0  0)  ,}

断点.

这种情况称为无穷间 ^{o x}

y

跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 . 特点 _函数在点 ^x_{0处的左、右极限都存在} ^.

例 6 1 0 . sin

)

( 在 处的连续性 讨论函数  x 

x x f

解 在x  0处没有定义, 1 .

sin

lim0 不存在

且 ^x x

. 0为第二类间断点



 x

断点. 这种情况称为的振荡间

y 1x

sin

注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点 . 如：狄利柯雷函数，在所有实数点间断。



 



当 是无理数时 是有理数时 当

x x x

D

y 0

) 1 (

有理数点 无理数点•

1

x y

o

定义 4 连续函数与连续区间

在区间上每一点都连续的函数 , 叫做在该区间上 的连续函数 , 或者说函数在该区间上连续 .

. ]

, [ )

(

, ,

, )

, (

上连续 在闭区间

函数

则称 处左连续

在右端点 处右连续

并且在左端点 内连续

如果函数在开区间

b a x

f

b x

a x

b a





连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 . 由上一节易知：

( , )

有理整函数(多项式函数)在区间内是连续的；

有理分式函数在其定义域内连续（分母不为零）。

例 7 证明函数 y  sin x在区间(,)内连续. 证 任取 x (,),

x x

x

y  sin(   )  sin

 )

cos( 2 sin 2

2 x

x  x  

  ,

1 2 )

cos(  

 x

 x

0 2 sin ,

2

y  x x

     故

. 0 ,

0  





当 x 时 y

例 8 证明 y  a^x在(,)内连续 证 对x₀ (,)，有

] [

lim

lim ^{0 0}

0 0

x x

x x

x y  a ^  a









 

] 1 [

lim ⁰

0 

 

x x

x a a^



) 1 (

lim0

0 

 

x x

x a

a ^

  0

处连续 在

故y  a^x x₀ (,)

三、初等函数在其定义区间内都连续

1. 四则运算的连续性

定理 1.7.1

.

) )

( ) (

( ) ), (

( )

( ),

( )

(

, )

( ),

(

处也连续 在点

则

处连续 在点

若函数

0

0 0

0 x

x x g

g x x f

g x

f x

g x

f

x x

g x

f







例如 ,

sin x , cos x 在 (  ,  ) 内连续 ,

2. 反函数的连续性

定理 1.7.2 严格单调增（或减）的连续函数必 有严格单调增（或减）的连续反函数 .

例如 , ] ,

, 2 [ 2

sin 在 _  上单调增加且连续

 x y

. ]

1 , 1 [

arcsin 在 上也是单调增加且连续

故 y  x 

; ]

1 , 1 [

arccos 在 上单调减少且连续

同理 y  x 

. ]

, [

cot ,

arctan  在   上单调且连续

 x y arc x

y

反三角函数在其定义域内皆连续 .

定理 1.7.3

. )]

( [

, )

( ,

) (

, )

(

0

0 0

0

0

也连续 在点

则复合函数

连续 在点

而函数

且 连续

在点 设函数

x x

x f

y

u u

u f y

u x

x x

x u





















3. 复合函数的连续性

0 0 0

lim [ ( )] [ ( )] [lim ( )]

x x

f  x f  x f

x x

 x



 



x

lim nsinx

/ 2

5 l



例 ： 求



1 2

/ 2

/ sinx

x

u   （ ）  在点  连续，且  （  ） 



lnu u 1    y lnsinx x   / 2

又又又又又, 又又又又 

定理 1.7.4

0

0 0

lim ( ) , y ( ) ,

lim [ ( )] [lim ( )] ( ).

x x

x x x x

x a f u a

f x f x f a



 



 

 

 

若函数在点连续 则有

例 6 0

ln(1 )

lim 0 ln(1 ) ~

x

x x x x

x



  

求或者证明时，

解 ^x

x

x

¹

0

ln( 1 )

lim 





原式

] ) 1

( lim ln[

1 0

x

x

 x



  ln e  1.

同理可得 : .

ln e 1

) log x

1 (

lim log^a _a

a

x x   

0

7 、 0

lim 1 1

x x

e x



  求证：

解 令 e ^x  1  y, ^{则 x  ln(1  y),} .

0 ,

0 

 y

x 时

当

) 1

lim ln(

0 y

y

y 

 

原式

y y

y

0 1

) 1

ln(

lim 1



   1.

u x2 2

u  0

时，，

e 1~u e 1~x

x -x2 2

1 e ~-x 1 e ~x ，  1 e tanx ~ -tanx

定理 1.5.7

A u

f x

f A

u f

a x

x a

x

a u x

x a

u x x



















) ( lim )]

( [ lim

, )

( lim

, )

( ,

) ( lim

0

0 0







则 又

的某去心邻域内 但在

设

定理 1.7.3

. )]

( [

, )

( ,

) (

, )

(

0

0 0

0

0

也连续 在点

则复合函数

连续 在点

而函数

且 连续

在点 设函数

x x

x f

y

u u

u f y

u x

x x

x u





















)]

( lim

[ )]

( [ )]

( [

lim f x f x₀ f x

x x

x

x   

0

0 

  

定理 1.7.4

)].

( lim

[ )

( )]

( [ lim

, )

( y

, )

( lim

x f

a f x

f

a u

f a

x

x x

x x

x x







0 0

0













 则有

连续 在点

函数 若

4. 初等函数的连续性

★

三角函数及反三角函数在定义域内是连续的 .

★

指数函数 ^{y  ax (a  0, a  1)}

; )

,

( 内单调且连续 在  

★

对数函数 y  ^log_a x ⁽a  ^0, a  ¹⁾

; )

, 0

( 内单调且连续 在 

★ ^{y  x}

^{  aloga x y  au, u   loga x.}

在其定义域内连续 .

“ 一切初等函数在其定义区间内都是连续的” . ---- 定义区间是指包含在定义域内的区间

注意 1. 初等函数求极限的方法代入法 .

) (

) (

) (

lim _{0 0}

0

定义区间

 f x  f x x

x

注意　2. 初等函数在其定义域内不一定连续x ;

例如：

y  cos x  1 ,

D : x  0,2,4, 这些孤立点的邻域内没有定义 .

, ) 1

( ³

2 

 x x

y D : x  0,

及

x  1, 在 0 点的邻域内没有定义，当然不连续

；

函数在区间 [ 1 ,  ) 上连续 .

例如：

四、闭区间上连续函数的性质

不加证明地给出这些结论，几何意义明显。

定理 1.7.5( 最值定理 ) “ 在闭区间上连续的函数一定有 最大值和最小值”

).

( )

(

), (

) (

], ,

[

], ,

[ ,

], ,

[ )

(

2 1

2 1

x f

f

x f

f

b a x

b a

b a C x

f





















 有

使得 则 若

x y

o

) (x f y 

a ₂ ₁ b

注意 :1. 若区间是开区间 , 定理不一定成立 ;

2. 若区间内有间断点 , 定理不一定成立 .

x y

o

2



) (x f y 

x y

o

) (x f y 

2 1

1

. )

, ( 0

)

( 在 内至少存在一个实根 即方程 f x  a b

x y

o

) (x f y 

a ₁ ₂ ₃ b

注：

方程

f

(

x

)=0 的根 函数

f

⁽

x

⁾ _的零点

思考 :

^{下述命题是否正确？}

如果

f ( x )

_在

[ a , b ]

_{上有定义，在}

( a , b )

内连续，且

f ( a )  f ( b )  0

_，那么

f ( x )

_在

)

,

( a b

_{内必有零点}^.

不正确 .

例函数

  







 

0 ,

2

1 0

) ,

( x

x x e

f

) ( x

f

_在

( 0 , 1 )

_内连续^{, f (0)  (1)  2e  0.}

但

f ( x )

_在

( 0 , 1 )

_内无零点^.

x y

o

) ( x f

y 

a B

M

x

C

  

)

.

( ) ( ,

F x  f x C 令

由零点定理 /

可证(例2) /

例 1

.

) 1 , 0 ( 0

1 4

²

3

至少有一根

内 在区间

证明方程 x  x  

证 ^{令 f (x)  x3  4x2  1,} 则f (x)在[0,1]上连续,

, 0 1

) 0

(  

又 f f (1)  2  0, 由零点定理 , (0,1),



 

使

^{f ( )  0, 即 3  4 2  1  0,}

. )

1 , 0 ( 0 1

4 ²

3 _{在 内至少有一根}  方程   

 x x

推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值 .M m

例 2

. )

( ),

, ( .

) (

, )

( ,

] , [ )

(





  





 f

b a b

b f

a a

f b

a x

f

使得 证明

且 上连续

在区间 设函数

证 令 ^{F(x)  f (x)  x,} 则F(x)在[a,b]上连续, a

a f a

F( )  ( ) 

而  0, b

b f b

F( )  ( )   0, 由零点定理 , 使

), ,

(a b



  F( )  f ( )    0, .

)

(   即 f

注：

有关闭区间上连续函数命题的证明方法

1⁰ 直接法：先利用最值定理，再利用介值定理 (P35: 6)

2⁰ 间接法（辅助函数法）：先作辅助函数 F(x)

， 再利用零点定理 (P35: 5)