第六节 多元函数微分学的几何应用

二、空间曲线的切线与法平面

第六节

一、一元向量值函数及其导数

三、曲面的切平面与法线

多元函数微分学的几何应用

第九章

一、

一元向量值函数及其导数

引例 : 已知空间曲线  _{的参数方程} :

] , [ )

( ) (

)

(  



 







t t

z

t y

t x

)) ( ), ( ), ( ( )

( ),

, ,

(x y z f t t t t

r     

记

 _{的向量方程} r  f ⁽t^), t ^[^, ^]

M

r



x z

O y

对 _上的动点 M , 即 _是

此方程确定映射 f :[ , ]  R³ , 称此映射为一元向量

，

显然 r  OM r 的终点 M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .

值函数 .

要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念 .

定义 : 给定数集 D  R , 称映

射 f : D  Rⁿ 为一元向量 值函数（简称向量值函数） , 记为

D t

t f

r  ( ),  ^定义域

自变量 因变量

向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、

连续和导数密切相关 , 进行讨论 .

则 设 f (t)  ( f₂(t), f₁(t), f₃(t)), t  D,

极限：

连续：

导数：

严格定义见 P90

)) ( lim

), ( lim

), ( lim

( )

(

lim _{1 2 3}

0 0

0 0

t f t

f t

f t

f t t t t t t

t

t    

) ( )

(

lim ₀

0

t f t

t f

t 



)) ( ),

( ),

( ( )

(t f t f t f t

f      ^{f t} t t ^{f t} Δ^t_t ^{f t} ) ( )

lim ( )

( ₀  ⁰   ⁰

 



因此下面仅以 n = 3 的情形为代表

向量值函数的导数运算法则 : (P91)

设 u, v是可导向量值函数 , )

(t _{是可导函数 , 则} O

t C 

dd

) 1

( (2) _d^d_t[cu (t)]  c u(t) )

( )

( )]

( )

( [ )

3

( _d^d_t u t  v t  u t  v t

) ( ) ( )

( ) ( )]

( ) ( [ )

4

( _d^d_t  t u t   t u t  t u t

) ( )

( )

( )

( )]

( )

( [ )

5

( _d^d_t u t v t  u t v t  u t v t

) ( )

( )

( )

( )]

( )

( [ )

6

( _d^d_t u t v t  u t v t  u t v t

C 是常向量 , c 是任一常数 ,



^{( )}



^{( )}



^{( )}



) 7

( d

d u t t u t

t   ^{ } 

向量值函数导数的几何意义

在 : R³ 中 , 设r  f (t), t  D的终端曲线为 ,

切线的生成

点击图中任意点动画开始或暂停

M



x z

O y

r Δ

) (t₀ f 

t r Δ

) Δ

Δ (

),

(t₀ ON f t₀ t f

OM   

) N

( )

Δ (

Δr  f t₀  t  f t₀ )

Δ (

limΔ ₀

0

t t f

r

t

t  



表示终端曲线在 t₀ 处的 切向量 ,其指向与 t 的增长方 向一致 .

) (t₀ f 

, 则 0

) ( ₀ 

 t 设 f

r

向量值函数导数的物理意义 :

设 r  f (t)表示质点沿光滑曲线运动的位置向量 , 则有 )

( )

(t f t

v  

) (t v

a    f (t)

).

( lim ,

) (sin )

(cos )

(

4π f t k

t j t i

t t

f    求 t

例 1. 设

速度向量：

加速度向量：

解： f t t i t j t k

t t

t

t ₄^π ( ) (lim₄^π cos ) (lim₄^π sin ) lim₄^π

lim      

k j

i 4

π 2

2 2

2  

 ( f (₄^π) )

例 2. 设空间曲线 _{的向量方程} 为

求曲线 _上对应于 解 :

0  2 t

) 6 2

, 3 4

, 1 (

)

(t t² t t² t

f

r     

R ,

,

,  

 t  t t t

f ( ) (2 4 4 6)

的点处的单位切向量 .

R , t 

故所求单位切向量为 )

3 , 1 3 , 2 3 ( 2 )

2 (

) 2

( 



 f

f ) 2 ,

4 , 4 ( )

2

(  

f 

2 2

2 4 ( 2)

4 )

2

(    

f 

其方向与 t 的增长方向一致

另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为 ) 3 , 1 3 , 2

3

( 2  

= 6

例 3. 一人悬挂在滑翔机上 , 受快速上升气流影响作

螺 求

旋式上升 , 其位置向量为 r  (3cost, 3sint, t²),

(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量 ; (2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率 ;

(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻 . 解 :

(1) a  v  (3cost,  3sint, 2) ) 2 , cos 3

, 3sin (

)

(t t t t

r

v    

2 2

2 ( 3cos ) (2 ) )

sin 3

( )

( )

2

( r t   t   t  t  9  4t²

 0

a v

(3) 由 即 9sint cost  9costsint  4t  0, ,

 0

得t 即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交 .

二、

空间曲线的切线与法平面

过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平 面 .

T  M



置 .

空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位

)) ( ), ( ), ( ( )

(t t t t

f   

 ：  给定光滑曲线

 _在

)) ( ),

( ),

( ( )

(t t t t

f   ^  ^ ^

点法式可建立曲线的法平面方程 利用

时，

不同时为

，

，

则当^  ^ ^ 0

点 M (x, y, z) 处的切向量及法平面的 法向量均为

点向式可建立曲线的切线方程

1. 曲线方程为参数方程的情况

] , [ ),

( ,

) ( ,

)

(    



 ：x  t y  t z  t t 

因此曲线  _在点 M 处的

0 0

0 y y z z

x

x 

 

 

) (t₀

^  ^(t₀) ^_(t0)

, )

, ,

(x₀ y₀ z₀ t t₀

M 对应 

上的点 设

则 _在点 M 的导向量为

) )(

(t₀ x  x₀

  (t₀)(y  y₀ ) (t₀ )(z  z₀)  0 法平面方程

)) (

), (

), (

( )

(t₀ t₀ t₀ t₀

f   ^  ^ ^



M 

) (t₀ f 

不全 )

( ),

( ),

(t₀  t₀  t₀

^{  }

给定光滑曲线

为 0,

切线方程

例 4. 求曲线x  t, y  t², z  t³在点 M (1, 1, 1) 处的切 方程与法平面方程 . 线

, 3 ,

2 ,

1 y t z t²

x     

解： 点 (1, 1, 1) 对应于t₀  1,

故点 M 处的切向量为T  (1, 2, 3) 因此所求切线方程为

1 1

1    

 y z

x

1 2 3

法平面方程为 ) 1

(x   2 (y 1)  3(z 1)  0 即 x  2y  3z  6



 

) (

) : (

x z

x y 



思考 : 光滑曲线

的切向量有何特点 ?

) ,

, 1

( ^  ^

 T 答 :









) (

) ( :

x z

x y

x x





切向量

时，

当 0

) , (

) ,

( 



 

z y

G J F

2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 



 0 )

, , (

0 )

, , : (

z y x G

z y x

 F



 

) (

) (

x z

x y 

x  y d d

曲线上一点 M (x₀, y₀, z₀ )

x

y z

, 且 有 x 

z d , d

) , (

) , ( 1

x z

G F J 

 ,

) , (

) , ( 1

y x

G F J 



 _可表示为

处的切向量为











 



 

M

M x y

G F J

x z

G F

J ( , )

) , ( , 1

) , (

) , ( , 1

1



^{1, (x}₀^{), (x}₀⁾



T  ^  ^

x  x₀  y  y₀  z  z₀

z M

y G F

) , (

) , (





则在点 M (x₀, y₀, z₀) 切线方程

法平面方程

有

z M

y G F

) , (

) , (





x M

z G F

) , (

) , (





y M

x G F

) , (

) , (





) (x  x₀

y M

x G F

) , (

) , (



 

x M

z

G F

) , (

) , (



  (y  y₀)

0 )

(z  z₀ 

或 



 















 

M M

M x y

G F x

z G F z

y G T F

) , (

) , , (

) , (

) , , (

) , (

) , (

0 )

( )

( )

(

) (

) (

) (

0 0

0









M G

M G

M G

M F

M F

M F

z z

y y

x x

z y

x

z y

x

也可表为

) ) (

, (

) , ) (

) ( , (

) , (

0

0 y y

x M z

G x F

M x z

y G

F 



 

 



法平面方程

0 )

) ( , (

) , (

0 

 

  z z

y M x

G F

( 自己验证 )

例 5. 求曲线x²  y²  z²  6, x  y  z  0 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程 .

z M

y G F

) , (

) , (





切线方程 x 1  y  2  z 1

解法 1 令F  x²  y²  z²  6, G  x  y  z, _则

即 



 



0 2

0 2

y z x

切向量

; ) 0

, (

) ,

( 





x M

z G F

M

z y

1 1

2

 2

M

z y ) (

2 

  6;

0 6

x

y z

 6

) 6 , (

) ,

( 





y M

x G F ) 6 , 0 , 6 ( 

 T

0

2 6

2 2





   z

y x

z y

x

法平面方程  6 (x 1)  0(y  2)  6(z 1)  0 即 x  z  0

x x z z x

y y    d

d d

d 解法 2 方程组两边对 x 求导 ,

得 1

d d d

d   

x z x

y

1 1

1 1

d d

z y

x y

x

z 



 1

d 1 d

z x y

y 

曲线在点 M(1,–2, 1) 处有 : 切向量

解得 1 1

 x z

z , y

x z



 

z y

y x



 

) 1 ,

0 , 1

( 

 



 



 

M

M x

z x

T y

d , d d

, d 1

切线方程 x 1  y  2  z 1 即 



  



0 2

0 2

y z x

法平面方程 1 (x 1)  0(y  2)  (1)(z 1)  0 即 x  z  0

点 M (1,–2, 1) 处的切向 量

0 1

1

) 1 ,

0 , 1

( 

 T

0 )

, , (

: F x y z 



三、

曲面的切平面与法线

设 有光滑曲面

通过其上定点 M (x₀, y₀, z₀)

t0

t 

设 对应点 M, )

( ,

) ( ,

)

(t₀  t₀  t₀

^{  }

切线方程为

) ( )

( )

( ₀

0 0

0 0

0

t z z

t y y

t x x





 ^

 



 





不全为 0 . 则  _在 ,

) ( ,

) ( ,

) (

: x  t y  t z  t

    _且

点 M 的切向量 为

任意引一条光滑曲线



下面证明 :

此平面称为  _{在该点的切平面} .

 _上过点 M 的任何曲线在该点的切线 在同一平面上都.

)) (

, ) ( ,

) (

( t₀ t₀ t₀

T  ^  ^ ^{ M}

T

M

T

证 : : x   (t), y  (t), z   (t)在  _上 , 0

) ) ( ,

) ( ,

) (

( 

 F  t  t  t

0 处求导,

两边在 t  t 注意 t  t₀ 对应点M ,

) (t₀

^  0 )

, ,

(x₀ y₀ z₀

F_x  F_y (x₀, y₀, z₀) ) ,

,

(x₀ y₀ z₀ F_z

 ) (t₀

^  ^_(t0)

得

)) (

, ) ( ,

) (

( t₀ t₀ t₀

T  ^  ^ ^

)) ,

, (

, ) ,

, (

, ) ,

, (

(F x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀

n  _{x y z}

令

n T  切向量

由于曲线  _的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量n 的平面上 , 从而切平面存在 .

n

) (

) ,

,

(x₀ y₀ z₀ x x₀

F_x 

曲面  _在点 M 的法向量 :

法线方

程 x x₀ y y₀ z  z₀

 

 

) (

) ,

,

(x₀ y₀ z₀ y y₀

F_y 



0 )

)(

, ,

( _{0 0 0}  ₀ 

 F_z x y z z z 切平面方程

) ,

,

(x₀ y₀ z₀

F_x F_y (x₀, y₀, z₀) F_z (x₀, y₀, z₀) )) ,

, (

, ) ,

, (

, ) ,

, (

( F x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀

n  _{x y z}

过 M 点且垂直于切平面的直线

称为曲面  _在点 M 的法线 . ^M T

n

) )(

,

(x₀ y₀ x x₀

f_x 

曲面 时 ,

) , (x y f

z  z

y x f z

y x

F( , , )  ( , )  则在点 (x, y, z),

故当函数 f (x, y) ( x₀, y₀)

1 )

, (

) ,

(

0 0

0 0 0

0

0 

 

 

 z z

y x

f

y y

y x

f

x x

y x

法线方程

y,

y f

F  F_z  1

令

有 在点 ( x₀, y₀, z₀)

Σ

特别 , 当光滑曲面 _{的方程为显式}

在点 有连续偏导数时 ,

) (

) ,

(x₀ y₀ y y₀

f _y 

 

 z₀ z

x,

x f

F 

切平面方程

法向量 n  ( f_x(x₀, y₀), f_y(x₀, y₀), 1)





, , 法向量 用

2

1 2

cos 1

y

x f

f 

 



将 f_x (x₀, y₀), f _y (x₀, y₀) f_x , f _y , 法向量的方向余弦：

表示法向量的方向角 , 并假定法向量方向 为锐角.

则

分别记为 则

1 , cos

1 ,

cos 2 2 2 2

y x

y y

x x

f f

f f

f f





 





  



向上 ,

) 1 , ) ,

( ,

) ,

(

( f x₀ y₀ f x₀ y₀

n   _x  _y

例 6. 求球面x²  y²  z² 14 在点 (1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程 .

解 : 令 F(x, y, z)  x²  y²  z² 14

所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有 : 切平面方程 2(x 1)

0 14

3

2   

 y z 即 x

法线方程 x 1  y  2  z  3 ) 2 (

4 

 y  6(z  3)  0

1 2

3

法向量 n  (2 x, 2 y, 2 z) n _{(1, 2,3)}  (2, 4, 6)

即 1 2 3 z y

x   ( 可见法线经过原点，即球心 )

例 7. 确定正数 _使曲面x y z   x²  y²  z² 在点 M (x₀, y₀, z₀)

解 : 二曲面在 M 点的法向量分别 为

二曲面在点 M 相切 , 故

0 0 0 0

0 0

0 0 0

z y x y

z x

x z

y  

x0

02 02

02 y z

x  



又点 M 在球面上 ,

3

2 2 0 2

0 2

0

z a y

x   

故 于是有   x₀ y₀ z₀

a2

 _相切 .

3 3

a3



与球面

, ) ,

,

( _{0 0 0 0 0 0}

1 y z x z x y

n  n₂  (x₀ , y₀ , z₀)

2 1 // n

n , 因此有

2 ⁰

y

2 ⁰

z

2

1. 空间曲线的切线与法平面

切线方程

x  x

⁰

 y  y

⁰

 z  z

⁰

法平面方程

) )(

( t

₀

x  x

₀

 

1) 参数式情况 .









) (

) (

) ( :

t z

t y

t x

  



空间光滑曲线 切向量

内容小结

) ( t

₀

 ^  ^ ( t

₀

)  ^ ( t

₀

) )

( )

( t

₀

y  y

₀

      ( t

₀

)( z  z

₀

)  0 ))

( ,

) (

, ) (

( t

₀

t

₀

t

₀

T   ^  ^  ^

切线方程

法平面方程

M M

M x y

G F

z z

x z

G F

y y

z y

G F

x x

) , (

) , ( )

, (

) , ( )

, (

) , (

0 0

0





 





 







空间光滑曲线







 0 )

, , (

0 )

, , : (

z y x G

z y x

 F

z M

y G F

) , (

) , (



 切向量

2) 一般式情况 .

) , , (

) ,

(

z M

y G F



 ,

) , (

) ,

(

x M

z G F





y M

x G F

) , (

) ,

(



 





) (x  x₀

x M

z

G F

) , (

) , (



  (y  y₀)

y M

x

G F

) , (

) , (



  (z  z₀)  0



  T

空间光滑曲面  : F(x, y, z)  0 曲面  _在点

法线方程

) ,

,

( _{0 0 0}

0

z y

x F

x x

x



) ,

,

( _{0 0 0}

0

z y

x F

y y

y

 

) ,

,

( _{0 0 0}

0

z y

x F

z z

z

 

) (

) ,

, (

) (

) ,

,

(x₀ y₀ z₀ x x₀ F x₀ y₀ z₀ y y₀

F_x   _y 

1) 隐式情况 .

的法向量 )

, ,

(x₀ y₀ z₀ M

0 )

)(

, ,

( _{0 0 0}  ₀ 

 F_z x y z z z 切平面方程

2. 曲面的切平面与法线

)) ,

, (

, ) ,

, (

, ) ,

, (

(F x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀ F x₀ y₀ z₀

n  _{x y z}

空间光滑曲面  : z  f (x, y)

) (

) ,

( )

( ) ,

( _{0 0 0 0 0 0}

0 f x y x x f x y y y

z

z   _x   _y 

切平面方程

法线方程 ( , ) ( , ) 1

0 0

0 0 0

0

0 

 

 

 z z

y x

f

y y

y x

f

x x

y x

1 , cos

1 ,

cos 2 2 2 2

y x

y y

x x

f f

f f

f f





 





  



2) 显式情况 .

法线的方向余弦

2

1 2

cos 1

y

x f

f 

 



法向量 n  ( f_x ,  f _y ,1)

思考与练习

1. 如果平面3x   y  3z 16  0 _与椭球面

相切 ,

提示 : 设切点为M (x₀, y₀, z₀) , _则

2

3x2  y

 . 求

0 0

0 2 2

6x y z



3    3

0 16

3

3x₀   y₀  z₀   16

3x₀²  y₀²  z₀² 

2

 

2 16

 z

( 二法向量平行 ) ( 切点在平面上 )

( 切点在椭球面上 )

证明 曲面 ( ) x f y x

z  _{上任一点处的} 切平面都通过原点 .

提示 : 在曲面上任意取一 点

, ) ,

,

(x₀ y₀ z₀

M _则通过此



 z₀ z

作业

P99 2 ， 4 ， 6 ， 7 ， 10 ， 11

， 12

) (x x₀ x

z

M 



 ( y y₀)

y z

M 



  2. 设 f ( u ) 可微 ,

证明原点坐标满足上述方程 . 点的切平面为

备用题

1. 证明曲面F(x  m y, z  n y)  0 与定直线平行 ,其中F(u,v)可微.

证 : 曲面上任一点的法向量

1 ,

F F₁  (m)  F₂(n) , F₂ ) 取定直线的方向向量为 m , 1, n) 则

( 定向量 )

故结论成立 .

的所有切平面恒

 ( n

 ( l ,

 0

 n l

2. 求曲

线 







   



0 4

5 3

2

0

2 3

2 2

z y

x

x z

y

x 在点 (1,1,1) 的切线

解 : 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量

为  (1,2,2)

因此切线的方向向量为  (16,9,1) 由此得切线 : x 1  y 1  z 1

16 9 1

法平面 : 16(x 1)  9(y 1)  (z 1)  0 0

24 9

16x  y  z   即

与法平面 .

) 1 , 1 , 1 ( 1 (2x 3,2y ,2z )

n  

) 5 , 3 ,

2

2  (  n

2

1 n

n l  