习题课 定积分的应用

习题课

1. 定积分的应用

几何方面 : 面积、体积、弧长、表面积 . 物理方面 : 质量、作功、侧压力、引力、

2. 基本方法 :元素法

元素形状 :条、段、带、片、扇、环、壳 等 .

转动惯量 .

定积分的应用

第六章

例 1. 求抛物线y 1 x² _{在 (0,1) 内的一条切线} 与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小, .

解 : 设抛物线上切点为M (x ,1 x²) 则该点处的切线方程为

) (

2 )

1

( x² x X x

Y     

它与 x , y 轴的交点分别为 ,

) 0 , (^x₂²_x¹

A ^ B (0, x² 1) 所指面积

 ) (x

S ¹₂ ^(x2₂^_x^{1)2 }



0^{1 }

2)d 1

( x x



^(x2₄^_x¹⁾²



₃²

1

1 M B

A y

O x

使它

(x) 

S ( ² 1) (3 ² 1)

4

12 x   x 

x

33 ,



x S(x)  0

33,



x S(x)  0

故为最小值点 , 因而所求切线为

3 4 3

3

2 



 X

Y , 0 )

( 

 x

令 S 得 [ 0 , 1] 上的唯一驻点x  ₃³

, ]

1 , 0 [ )

33 是 ( 在 上的唯一极小值点 因此 x  S x

1

1 M B

A y

O x

例 2. 设非负函数f (x) 在[0,1]上满足 x f (x)  f (x) 曲线 y  f (x) 与直线 x  1 _{及坐标轴所围图形}

(1) 求函

数

; ) (x f

(2) a 为何值时 , 所围图形绕 x 轴一周所得旋转

体

解 : (1)当x  0时，_由方程得 x a

x f x

f x

2 3 )

( )

(

2 



 

^a

x x f

2 3 )

(  

2

,

32^a

x



面积为 2 ,

体积最小 ?

即

x C x

a x

f  ² 

2 ) 3

故得 (

x y

O 又 2 ^



0¹ f (x) dx



^{ax Cx}



^dx

2

3 ₂

1

0 





^{ a}₂ ^{ C}₂

a

C 4  f x ax (4 a)x 2

) 3

(  ²  

(2) 旋转体体积

V ¹π f (x)dx

0



2





¹⁶



10 1 3

π ₂ 

 a a



¹



^0,

5 1 3

π  

  a

令V 得a  5 又 V 

5



a 0,

15 π 



5



 a 为唯一极小值点 , 因此 a  5_{时 V 取最小值} .

1 ) (x f

x_e0

例 3. 过坐标原点作曲

线 y  ln x 轴围成平面图形 D.

(1) 求 D 的面

积 ;

(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体 积 .

解 : (1) 设切点的横坐标

为

0,

x 则所求切线方程为 )

1 (

ln ₀

0

0 x x

x x

y   

x x

y  ln 及

, 0 1

ln x₀   由切线过原点知

的切线 . 该切线与曲线

因此 x0  e, 故切线方程为 ^{y  1}_e^x

D 的面积为 ^{1 x  ey}

2

 e

D

x y  ln y

O _x

1e

y  x 1

1

0 (e e^y ) d A 



 y y

(2003 考研 )

(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体 积 .

(2) 切线、 x 轴及直

线 x  e

2 1

1

3 πe V 

e

x  _{所围三角形绕直线}

旋转所得圆锥的体积为 曲线、 x 轴及直

线

e x 

1 2

2 πe e0 ( ^y ) d

V 



 y

e

x  所围图形绕直线 旋转所

( 2 4 1) 2

π e e

   

因此所求旋转体体积为

2

1 2 [5 12 3]

6

π e e V V V    

x_e0

e^y x 

D

x y  ln y

O _x

1e

y  x

1

得旋转体体积为

例 4. 证明曲边扇形0 











, 0  r  r(



), _绕极轴 .

d sin

) 3 (

π

2 ₃



 ^

 r

  

V_ox

) ( r r 









d d r 证 : 先求[



,



 d



] 上微曲边扇形

绕极轴旋转而成的体积 dV_ox .

体积元素 rd



dr _{ 2π r sin}

r

Vox

 d  2πsin



d



^{r( )} r d r

0



^ 2







)sin d 3 (

π

2 ₃

 r

故 ^{Vox  2}₃^π



_^{ r3(}

^

^)sin

^

^d

^

旋转而成的体积为

O r

x y  2

4x x2

y  

O y

x )

d 5

(du  x

故所求旋转体体积为

x x

x 2 ) 5d (

π ^{2 2}

5

1  





π 75 5

 16 x

x x

V π ( 2 ) d

5

5 ² _{2 2}

0 





u

V π d

d 



²

A P

x

d 2

u d

例 5. 求由y  2x 与 y  4x  x² _{所围区域绕} y  2x 旋转所得旋转体体积 .

解 : 曲线与直线的交点坐标 为

), 4 , 2 (

A _{曲线上任一点} )

4 ,

(x x x²

P  _到直线 y  2x 的距离为

x x² 2

5

1 

 

), (

2 为数轴 如图

以y  x u

u

则

例 6. 半径为 R , 密度为



_{的球沉入深为} H ( H > 2 R 的水池底 , 水的密度 )

多少功 ?

解 : 建立坐标系如图 .则对应 [x, x  dx] 上球的薄片提到水面上的功元素为

1 

dW πy² dx

提出水面后的功元素为

dW2 



g πy² dx (R  x)

x x

R x

R

g π( ²  ²)(  ) d





0



,





x x

R H

x R

g π( )( )d

)

(  ₀ ²  ²  



 

H

) , (x y

x

x y

O

现将其从水池中取出 , 需 做

体积元素 所受重力 上升高度

g )

(







₀  (H  R  x)

x x

R H

x R

g

W ( ) π ( )( )d

d ₁    ₀ ²  ²  

x x

R x

R g

W π ( )( )d

d ₂   ²  ² 

因此功元素为

2

1 d

d

dW  W  W

x x

R

g π[ ]( ²  ²)d

 球从水中提出所做的功为

W ^{ g π}



^R_R^[( ^ ₀^{)H } ₀^{(R  x)](R2  x2)dx}

“ 偶倍奇零”

x x

R R

d )

( ^{2 2}

0 



g R H

R [( ) ]

3 π 4

0 3   0  



] )

( [ π

2g   ₀ H  ₀R



H )

(







₀ 



₀(R  x)

H

x

x y O

例 7. 设有半径为 R 的半球形容器如 图 .

(1) 以每秒为 a 的速度向空容器中注 水 ,

(0 < h < R ) 时水面上升的速度 .

(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功 少应为多少 最 ?

解 : 过球心的纵截面建立坐标系如 图 .

O x

则半圆方程为 y

x2 2Ry  y²

h R 设经过 t 秒容器内水深为

h ,

. ) (t h h  则

求水深为 h

O x y

h R (1)

求 ^t

h d d

由题设 , 经过 t 秒后容器内的水量 为而高为 h 的球缺的体积

为

半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成

体积元素 :πx² dy

2 2 2Ry y

x  

 ) (h

V ^h π(2Ry y²)dy

0 



故有



₀^{h π (2}Ry  y^2)dy  at 两边对 t 求导 ,

得 π(2Rh  h²)

t h d

d  a

t h d

 d

) 2

(

π Rh h² a

  a t ,

(2) 将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提

对应于[y , y  dy]

y x d π ² 体积元素 :

元素的重力 :



g πx² dy 薄层所需的功元素

O x

R

y

 W

d



g πx² dy ^{(R  y)}

y y

R y

Ry

g π(2  ²)(  )d





故所求功为



W

^

^{g π}



₀^{R (2R2 y  3Ry2  y3)dy}

4

4

π



gR



y

到池沿高度所需的功 .

作业

P293 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9