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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学 A

3.1.4 不定积分的换元积分法

3.1 3.1 不定积分 不定积分

第 第 3 3 章 一元函数积分 章 一元函数积分

学 学

3.1 不定积分

3.1.4 换元积分法

第二换元积分法 第一换元积分法

第二换元积分法应用习例 18-20 第一换元积分法应用习例 1-17 常见的一些凑微分形式

基本积分表 2 小结与思考题

换 元 积 分 法

3.1.4 不定积分的换元

法

利用积分性质和简单的积分表可以求 出

不少函数的原函数 , 但实际上遇到的积分凭 这些方法是不能完全解决的 .

现在介绍与复合函数求导法则相对应的 积分方法 —— 不定积分换元法 . 它是在积分 运算过程中进行适当的变量代换 , 将原来的 积分化为对新的变量的积分 , 而后者的积分 是比较容易积出的 .

公式: 首先看复合函数的导数

) (

), (

可构成区间 上的 设可微函数 y  F u u   x I

), ( )) (

( )

)) (

(

(F  x   F^  x ^ x

)), (

( 则

可微的复合函数 y  F  x

它的微分形式为

x x

x F

x

F( ( ))) ( ( )) ( )d

d(   ^  ^

), ( )

(

则

记 F u  f u

, d ) ( d

) ( )) (

( )))

( (

d(F  x  f  x  x x  f u u

原函数 ? 被积表达式 ?

也是被积表达式 ?

一、第一换元积分法

积分形式不变性 引理

. )

( ,

) ( )

(

, )

( )

(

可微 其中

则 若

x u

C u

F du

u f

C x

F dx

x f

















例如



^{cos2xdx sin2x  C,}

原式变形为



^cos2xdx

2

1 1

cos sin

2 2

u x

udu u C





  

令

. 2

2sin

1 x  C



( ( )) ( ) d f  x ^ x x

1 cos 2 (2 )

2 x x dx





第一换元法 ( 凑微分法 )

定理 1 _设f(u)_{具有原函数，}



^{f [ (x)](x)dx  [}



^{f (u)du]u(x)}

) (x

u _可导，

则有换元公式

. )]

(

[ x C

F 

 

注意 :

. )

( )

1

( 第一换元法关键是适当选取u   x 来凑微分

(2) 第一换元法的过程是 :

dx x

x f

dx x

g 

 ^{( )  [( )]( ) }  ^{f [(x)]d(x)}

 

^{u (x)} f (u)du  F(u)  C .

)]

(

) [

(^x F x C

u 

^ 

实际解题时 , 常常省略上述过程中的第三与第四等号 .

二、常见的一些凑微分形式





^{f (ax}  ^b)dx )

1

( _a¹



^{f (ax  b) d(ax  b)}



^{f (xn )xn dx}  )

2

( ¹ _n¹



^{f (xn ) dxn}



^{f (xn)1}_x ^dx  )

3

( ¹_n



^{f (xn)} _x^{1n dxn}

万能 凑幂

法



^{f (sin x)cos xdx}  )

4

(



^{f (sin x) dsin x}



^{f (cos x)sin xdx}  )

5

( ^



^{f (cos x) dcos x}

常见的一些凑微分形式 :

2

(8) (cot ) 1 (cot ) (cot )

f x sin dx f x d x

 x  

 

2

(9) (arcsin ) 1 (arcsin ) (arcsin )

f x 1 dx f x d x

 x 







2

(10) (arctan ) 1 (arctan ) (arctan )

f x 1 dx f x d x

 x 







(11)



f e( )^x e dx^x 



f e de( )^{x x}

2

(7) (tan ) 1 (tan ) (tan )

f x cos dx f x d x

 x 

 

(6) f (ln )x 1dx f (ln ) (ln )x d x

 x 

 

例 1

sin .

dx

x



x

计算 例 2 计算 .

2 3

1 dx



_ x 例 3 计

算

) . ln 2 1

(

1 dx

x



x _ ^{例 4 计}

算

) . 1

( ³dx

x



_x

例 5 计 算

1 .

2

2 dx

x



a _ ^例_算 ^{6 计}



_a²¹_{ x}^{2 dx.}

例 7 计 算

1 .

2

2

dx

a

 x _

^{例 8 计}

算

1 .

1 dx e ^x



_

例 9 计

算 1 ) .

1 (

1

2 e dx

x

x x



^{  例}_算 ^{10 计}

三、第一换元积分法习例

. d

 tan ^{x x}

例 11 计算 . cos

1



_ 1 _x ^{dx 例 12 计算}



^{sin2 x  cos5 xdx.}

例 13 计 算

. 2

cos 3



cos ^{x xdx 例 14 计算}



^{csc xdx.}

例 15 计算 . arcsin 2

4

1

2

xdx



x



例 1 7

).

( ,

cos )

(sin² x ² x f x

f 求

设   例 16 计

算 ¹⁰

1 .

(1 ) dx

x  x



例 1 sin .

dx

x



x 计算

解 dx x x dx x

x 2 sin ( )

sin 



 



x d



x

 2 sin

du

u u

x^



 2 sin  2cosu  C .

cos

2 x C

u

x  

^

例 2 计算 . 2

3

1 dx



_ x

解 dx



_{3 }¹₂x ^ ₂¹



_{3 }¹_2x ^{ (3  2x)dx}

udu

u

x^ 

 1 2 1

2

3  ln u  C

2 1

. 2

3 2 ln

1  x  C



) 2 3

2 ( 3

1 2

1 d x

x  







例 3 计 算

) . ln 2 1

(

1 dx

x



x _

解 dx

x



x_(1¹_{2ln )} ^



_{1 2}¹_{ln x}^{d(ln x)}

) ln 2 1

ln ( 2 1

1 2

1 d x

x 







x u  1 2ln



 du

u 1 2

1  ln u  C 2

1 ln1 2ln .

2

1  x  C



例 4 计算 . )

1

( ³dx x



_x

解 dx

x



_{(1 }x ₎^{3 }



^x₍₁^_¹_x^₎^31dx

) 1

( ) ]

1 (

1 )

1 (

[ 1 _{2 3} d x

x

x 

 







) . 1

( 2

1 1

1

2 C

x

x 

 

 



例 5 计算 1 .

2

2 dx

x



a _

解 dx x



a² _^{1 2 dx}

a a



x



 ₂

2 2

1

1 1



 







 



 





^d _a^x

a

a x ²

1

1

1 1 arctan .

a C x

a 



作为公式

想到公式



_1^du_u²

C u 

 arctan

练习题 .

25 8

1

2 dx

x



x _{ }

解 dx x



x² _{ 8}¹ _{ 25} ^



_{(x  4}¹₎² _{ 9}^dx

3 . arctan 4

3

1 x   C



) 4 3 (

) 4 (

1

2

2 







_x  ^{d x}

练习题 .

25 8

1

2 dx

x



x _{ }

例 6 计算



_a^2dx_{ x}^{2 (a  0).}

 



₁^du_u²

想到 arcsinu  C

解



1_ ( )2

d

ax

a

x



^{f ((x))d(x) ( 直接配元 )}

 



^{f [(x)] (x)dx}



_

 1 ( )2

) ( d

ax ax

a C x 

 arcsin



_a^2dx_{ x}^{2 }

例 7 计算 1 .

2

2 dx

a



x _

解 dx

a



x2 _ 2

1 dx

a x

a x

a 1 1 )

2 ( 1

 







] ) 1 (

) 1 (

2 [

1



_ ^{ }



_ ^

 d x a

a a x

x a d

x a

C a

x a

a x    

 [ln ln ]

2 1

. 2 ln

1 C

a x

a x

a 



 

例 8 计算 . 1

1 dx e^x



_

解 dx e^x



_1^{1 }



^1₁^e_^x_e^{xe xdx}

e dx e

x



^_^{ } _x ^_^

 1 1 dx

e dx e _x



x



^ _

 1

) 1

1 (

1 _x

xd e

dx e 

 



 

. )

1

ln( e C

x   ^x 



例 9 计算 1 ) . 1

(

1

2 e dx

x

x x



^{ }

解 1 ,

1 1

x2

x x   



 

 



dx x e

x x



^{ }

 1₂ ) ¹ 1

(

1) (

1

x x d

e^{x x} 





^{  ex1x  C.}

例 10 计 算

tan xdx .



解



_cos^{sin x}_x^{dx  }



^d_cos^cos_x^x

C x 



 ln cos

? d

cot 



^{x x}



^cos_sin^x_x^dx

C x 

 ln sin



 x

x sin

sin d



^{tan xdx} 

类似

例 11 计算 解

cos . 1



_ 1 _x ^dx



_{1 cos}¹ _x ^{dx }

 _

_{1 cos}^{1 }_x^cos

_

_1^x_{cos x}

_

^dx



^

 dx

x x sin2

cos

1 ^



2 _x ^{dx }



sin2^x_x ^dx

cos sin

1





^

 (sin )

sin 1 sin

1

2

2 d x

dx x x

sin .

cot 1 C

x  x 





例 12 计 算解

. cos

sin^{2 5}



^{x  xdx}



^{sin2 x  cos5 xdx }



^{sin2 x  cos4 xd(sin x)}



^{ }

 sin² x (1 sin² x)²d(sin x)



^{ }

 (sin² x 2sin⁴ x sin⁶ x)d(sin x) .

7sin sin 1

5 sin 2

3

1 _{3 5 7}

C x

x

x   



注意 : 当被积函数是三角函数相乘时，

拆开奇次项去凑微分 .

例 13 计算 解

. 2

cos 3



cos ^{x xdx}

)], cos(

) [cos(

2 cos 1

cos A B  A  B  A  B

), 5

cos 2(cos

2 1 cos 3

cos x x  x  x





^{cos3xcos2xdx } ₂^{1 (cos x  cos5x)dx}

. 5

10sin sin 1

2

1 x  x  C



] ) 5 ( 5

5 cos cos 1

2[

1



^



 xdx xd x

例 14 计 算

解 (1) ^



_sin¹ _x ^dx

.



csc ^xdx



^{csc xdx }



_{x x} ^dx

cos 2 sin 2

2

1



^{ }_^{ }_^

 





 2

tan 2 sec 2

2

d x x

x



^_^{ }_^

 tan 2

tan 2

1 x

x d

x  C

 ln tan 2 _{ lncsc x  cot x  C.}

（使用了三角函数恒等变形）

解 (2)



^{csc xdx }



_sin¹ _x ^{dx }



_sin^sin2x_x ^dx



_



 (cos )

cos 1

1

2 d x

x



_

 (cos )

1 cos

1

2 d x

x

1 . cos

1 ln cos

2

1 C

x

x 



 

同理可得



sec ^{xdx } lnsec ^{x } tan ^{x  C}.

例 15 计 算

解

. arcsin 2

4

1

2

xdx



x



xdx



x

 arcsin 2 4

1

2 2

arcsin 2 1 2

1

2

d x x



x



 



 



2) (arcsin arcsin 2

1 x

xd



 _.

arcsin 2

ln x  C



例 16 1 ₁₀

(1 )dx. x  x



解（ 1 ） 用万能凑幂

法



_{x (x}^d10x_1) ^ ₁₀¹

^

_x^10d₍^x_x¹⁰¹⁰ _1)

1 d

10 ( 1)

u

 u u



 ^ ₁₀^{1 1}



_u^{ }₍₁^{u u}_u)^du

 

1 1 1 1

d ln ( 1)

10 u 1 du 10 u lu u C

u u

 

 







     

10 10

1 ln 10 1

x C

 x 



解 (2)



_{x (x}^d10x_1) ^



^(x10_{x (}^_x^{101 )}_^₁₎^{x10 d x}

解 (3)



_{x (x}^d10x_1) ^



_x¹¹₍₁^d_^x_x^10₎ ^ ₁₀^1

^

₁^d_^x_x^1010

解

例 17 设f (sin² x)  cos² x,求f (x).

x u sin² 

令  cos² x  1 u, ,

1 )

(u u

f   



^u



^du

du u

f u

f ^{( ) }  ^{( ) }  ^{1 } , 2

1 ₂

C u

u  



2 . ) 1

(x x x² C

f   



另解 ^{f (sin2 x) }



^{f (sin2 x)d(sin2 x) }



^{cos2 xd(sin2 x)}



^

 (1 sin² x)d(sin² x) . )

2(sin

sin² x  1 ² x ²  C



问题



^a2  ^x2dx  ? (^a  0)

方法 改变中间变量的设置方法 . t

a

x sin 

令 ^{ dx  acostdt,}





^a2  ^x2dx



^{a2  a2 sin2 t  acostdt}



 a² cos² tdt  

（应用“凑微分”即可求出结果）

四、第二换元积分法

定理 2

其中



(x)_是^x



^(t)_的反函数.

证 设 为 的原函数(t) f [ (t)] ^(t) ,

设x^



(t)_{是单调的、可导的函数，}



^{[ ( )] ( )}



_{( )}

)

(x dx f t t dt t x

f



  _



^{ }

则有换元公式

并且(t)  0_，又设^f[



^(t)]



^(t)_{具有原函数，}

, )]

( [ )

(t  C   x  C



 

左边

令F (x)  [ (x)]

则 dx

dt dt

x d

F( )     _{f [} _(t)] ^_(t)

) ( 1

 ^ t





^{ }

 f (x)dx F( x) C  [( x)] C,

 ^{[ ( )] ( )} 

_{( )}

)

( x dx f t t dt

t x

f   

_

 ^{ }

)]

( [ t f 

  f ( x).

说 明 F ( x ) _为 f ( x ) _{的 原 函 数}

^,

注意 :

dt t t

f dx

x

f ^{x t} 

 ^{( )  [ ( )] ( )}

) 1

( ^{( )}   ^  _g⁽_t⁾_dt ^{ (t)  C}

. ]

) (

) [

(^x x C

t  

^ 

(2) 一般规律如下：当被积函数中含有

2

) 2

(a a  x 可令x  asin t;

2

) 2

(b a  x 可令x  a tant;

2

) 2

(c x  a 可令x  asect.

(3) 以上三种代换称为三角代换 . 通常通过三角代换去根 号 .

. .

,

, ,

) 4 (

2 2

2 2

2 2

2 2

dx x

a x

a x

a x

x a

 ^







如 也可凑微分

用三角代换

的积分都 并不是所有含

1 . )

5

( 第二换元法除了三角代换外还有倒代换 及其他 x  t

五、第二换元积分法习例

例 19 计算 1 ( 0).

2

2 



_x  _a ^{dx a}

例 20 计算 1 ( 0).

2

2 



_x  _a ^{dx a}

例 18 计算



a²  x dx² (a  0).

. ) 0 (

2 d

2  



^{a x x a}

解 令 x  asin t , t (^₂ , ^₂), _则 t a

a x

a²  ²  ²  ² sin²  acost t

t a

x cos d d 

∴ 原式^



acost ^{ a cost d t  a2}



^{cos2 t d t}

 

^C

a 

 ²

4 2 sin 2

t t 

a x

2

2 x

a 

t

a

arcsin x  x a²  x²  C 2

1 2

a2



t t

t 2sin cos 2

sin   2

a

 x

a x a²  ²

 例 18 计算