第二节 定积分在几何学上的应用

四、 旋转体的侧面积

^{( 补充 )}

三、已知平行截面面积函数的 立体体积

第二节

一、 平面图形的面积 二、 平面曲线的弧长

定积分在几何学上的应用

第六章

y

a b x

)

2(x f

y  )

1(x f

y 

O

一、平面图形的面积

1. 直角坐标情形

设曲线 y



f (x) (



0) 与直线

) (

, x b a b

a

x

  

_{及 x 轴所围}

则曲 x x

f

A ( )d d 

x x

f

A ^b

a ( )d



 边梯形面积为 A ,

右下图所示图形面积为 x x

f x

f

A ^b

a ₁( ) ₂( ) d



^



O a b ^x y y  f (x)

x x  d x

x x  d x

例 1. 计算两条抛物线 y²  x , y  x² 在第一象限所围 图形的面积 .

解 : 由 y²  x x2

y 

得交点 (0, 0) , (1,1)

x x

x

A ( )d

d   ²



²³

3 2 x





0 3 1

3 1 x



 1





 ¹

A 0

x y

O

x y² 

x2

y  xx  d x

) 1 , 1 (

1

O

x y²  2

 4

 x

y x

y 例 2. 计算抛物

线 y²  2x 与直线 的面积 .

解 : 由 y²  2x

 4

 x

y ^得交点

) 4 , 8 ( , ) 2 ,

2 ( 

) 4 , 8 (

y y

y

A ( 4 )d

d    ¹₂ ²

18

 4

 x

y _所围图形

) 2 ,

2 ( 



¹₂ ^y2

  4y ^ ₆^{1 y3}



⁴_2

为 为 便计算 , 选取 y 作积分变量 , 则有







 ⁴

A 2

yy y  d

a b

例 3. 求椭圆 ₂ 1

2 2

2  

b y a

x 解 : 利用对称性 ,

x y

A d

d 

所围图形的面积 . 有



 ^a y x A 4 0 d 利用椭圆的参数方程

π) 2 0

sin (

cos  

 t

t b

y

t a

x

应用定积分换元法得



 ⁰

π2

4

A bsin t (asint) dt ^{ 4ab}



₀^{2π sin2 t dt}

b a

 4

21

 

^π₂ ^{ π ab} 当 a = b 时得圆面积公 x x  d x x y

O

y

a b x

O

a b

O y

x 一般地 , 当曲 梯形的曲 由参数方边 边

程



 

) (

) (

t y

t x

 

给出时 , 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 t₁ , t₂

则曲边梯形面积 ^{A }



^{t 2}

^

^{(t) }

^

^{(t) dt}

)

(t₁ 对应 x  a (t₁ 对应 x  b)

x y

a π O 2

例 4. 求由摆线x  a(t  sint), y  a (1 cost) (a  0) 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积

. 解 : dA  a (1 cost)  a(1 cost)d t

t t

a d

sin 2 4 ^2π

0

4 2





2)

( t

u  令

u u

a sin d

8 ^π

0

4 2





u u

a sin d

16 ^2π

0

4 2





16a2

  3  1  π  3π a₂



 ^2π A 0

t t

a ^2π (1 cos ) d

0

2

2



^



2. 极坐标情形

, 0 )

( ,

] ,

[ )

(





   





C

设 ^求由曲线 r 



(



) _及









 , 

射线 ^{围成的曲边扇形的面积 .}

) (



 r

 

 d 在区间[



,



]上任取小区间 [



,



 d



]

则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为

 ^

⁽

^

⁾



^d

^

2

dA  1 ² 所求曲边扇形的面积为









 ( )d 2

1 ₂





A ^

O x

对应  从 0 变

例 5. 计算阿基米德螺线 解 :

) 0 ( 

 a a

r





 d





) d 2 (

1 ₂



a

 ^2π A 0

2 a2

 

 3

3 1

0 π 2

2

π3

3

4 a



到 2 所围图形面积 .

a π 2 x O

a x O 2

t t a cos d 8 ^2π

0

4 2





例 6. 计算心形线 所围图形的 面积 .

解 :

) 0 (

) cos 1

(  

 a a

r





 d





) d cos

1 2 (

1 a₂  ₂



 ^π 2 0

A



 ^π

0

a2

 

2 d cos

4 ⁴

( 利用对称性 )

2

 令t



 8a²  4

3 

2 1

2

π ₂

2 π

3 a



心形线



 cos² cos

2

1 

) 2 cos 1

2 (

1 



a _{2a x} y

O

例 7. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 .

解 : 利用对称 性 ,

) 0 (

) cos 1

(  

 a a

r



所求面积

a r 





) d cos

1 2 (

1 ₂  ₂



^a

 2 π 2

2

1 a A 

2π





 π ^{2 2} 2

1 a a



cos2



)d



2 cos 1

2 2

(3  



^{π 2}



4 π 3

2

1 ₂  ₂ 

 a a

2 2 2 5 π

a a 



π

π2

π



^{sin 2}

^ 

a a2



例 8. 求双纽线 所围图形面 积 .

解 : 利用对称性 ,



2

2cos

2 a

r 





d 2

2 cos 1 ₂



a

 ^π4 4 0

A



 ^4π

0

a2 cos2



d (2



) 0

则所求面积为

4π

a2



思考 : 用定积分表示该双纽线与 圆



sin 2

a r  所围公共部分的面

积 . ^{A  2}

 

₀^{6π a2 sin2}

^

^d

^

^



^{ππ4 1}₂ ^{a2 cos 2}

^

^d

^{ }

4π

 

答案 :

4π



  y

O x

二、平面曲线的弧长

定义 : 若在弧 AB 上任意作内接折 线 ,

M0



1

Mi

Mi

Mn



当折线段的最大 边长 → 0

时 ,

折 的 度 向于一个确定的极线 长 趋 限 ,

为 为 为 为

此极限曲弧 AB 的弧长 ,

即

并称此曲线弧为可求长的 .

i

i M

M _1

定理 : 任意光滑曲 弧都是可求线 长

的 . _{( 证明}



 n

i 1

lim0

 

s 

则称

O

A B

y

x

s d

a b

y

O x (1) 曲线弧由直角坐标方程给出 :

) (

)

(x a x b

f

y   

) (x f y  弧长元素 ( 弧微分 ) :

x x  d x x

y d 1 ²

 因此所求弧长

x y

s ^b

a 1 ² d



^{ }



x x

b f

a 1 ²( ) d



^{ }



2 2 (d ) )

(d

ds  x  y

(2) 曲线弧由参数方程给 出 :

) ) (

( )

(  

 _{ }



t t y

t x

弧长元素 ( 弧微 分 ) :

因此所求弧长

t t

t

s ^



_^

^

^2( ) ^

^

^2( ) d t t

t) ( ) d

( ²

2





  ^



2 2 (d ) )

(d

ds  x  y

(3) 曲线弧由极坐标方程给出 : )

( )

(

 









 r r

, sin )

( ,

cos )

(

 

y r

 

r

x  

令

因此所求弧长









 ²( ) ²( ) d



^{ }

 r r

s







)] [ ( )] d (

[x ²  y ²







) ( ) d

( ²

2 r

r  



则得

 s d

弧长元素 ( 弧微分 ) :

( 自己验

证 )

) ch

( x 

c x

c  1sh



例 9. 两根电线杆之间的电线 , 由于其本身的重 量 ,

) (

ch b x b

c c x

y    

成悬链 线 .

求这一段弧长 .

解 : ds  1 y² dx c x

x d sh

1 ²

 x

c x d

 ch





 ^b x

c s x

0 ch d

2 



 c

c sh x

2 0

b csh b

 2

2 e ch x  e^x  ^x

  ) (ch x

2 e sh x  e^x  ^x

  ) (sh x

x sh

x ch c b x

 O b

y ^下垂

悬链线方程为

例 10. 求连续曲线

段 y ^x cos t d t

2π



_



解 : 此题 cos x  0,   ₂^π  x  ^π₂ x

y

s ^2π 1 ² d

2π  





_

的弧 长 .

x x) d cos

( 1

2 ²

0

2π







x x 2 d cos 2

2 ^2π



0



0

2π

sin 2 2

2

2 



 x

 4

例 11. 计算摆线



  

) cos 1

(

) sin (

t a

y

t t

a

x (a  0) ^一拱(0  t  2 π) 的弧长 .

解 : ds  (_d^{d x}_t)²  (^d_d ^y_t )² d t

) cos 1

( ²

2 t

a 

  a² sin² t d t t

t a 2(1 cos ) d



t t

a d

sin 2

 2

t t a

s d

sin 2

π 2

2



0



 



 2 2cos 2t

a 0

π

2  8a

x y

O 2 π a



 ^{2 2} d

2 a

a 



例 12. 求阿基米德螺线 相应于 0≤≤2

一段的弧 长解. :

) 0 ( 

 a a

r







 ) ( )d (

ds  r²  r²





d 1 ²

 a





d

π 1

2 0



^ 2



 s a

 

 1 ²

2 

a 







 ln 1 ²

2

1  

0 π 2

) π 4 1

π 2 2 ln(

π 4 1

π  ²    ²

 a

a

r

a π O 2



a r 

三 、已知平行截面面积函数的立体体积

设所给立体垂直于 x 轴的截面面积为 A(x),

] , [ )

(x a b

A 在

则对应于小区间[x, x  dx] ^{的体积元素为} x

x A

V ( )d

d 

因此所求立体体积为 x x

A

V ^b

a ( )d





a x x  dx b x )

(x A 上连续 ,

x y

) (y x   特别 , 当考虑连续曲线

段

)]2

( [

π f x

轴旋转一周围成的立体体积时 ,有

轴 绕 x b

x a

x f

y  ( ) (   )

x



d

 ^b V a

当考虑连续曲线段

) (

)

(y c y d

x 



 

绕 y 轴旋转一周围成的立体体积 时 ,

有 ^{V }



_c^d π[



( y)]2dy

y

c d

x y

a b x

y

a b

O

) (x f y 

x

a y

x b

例 13. 计算由椭

圆 ₂ 1

2 2

2  

b y a

x 所围图形绕 x 轴旋转 转而成的椭球体的体积 . 而

解 : 方法 1 利用直角坐标方

程 a² x² ( a x a) a

y  b    

则

x x

a a

b ^a

d ) (

π

2 ²

0

2 2

2 





( 利用对称性 )



 

 ²₂ ^{2 3}

3 π 1

2 a x x

a b

0

a π 2

3

4 ab



O



 ^a

V 2 0 π y² dx

x

方法 2 利用椭圆参数方程









t b

y

t a

x

sin cos

则 V 2 ^a π y dx

0



2

 ^ 2 π



ab² sin³t dt π 2

2 ab

 3

 2

π 2

3

4 ab



1

0

2π

特别当 b = a 时 , 就得半径为 a 的球体的体 积

. 3 π

4 ₃

a

a y

x b

O x

a π

2 x

y O 例 14. 计算摆线



  

) cos 1

(

) sin (

t a

y

t t

a

x (a  0)_{的一拱与 y ＝}

0

所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体 积解. : 绕 x 轴旋转而成的体积

为 y x V_x ^{2π a} π d

0



2



利用对称性





 ^{2 π}



₀^{π a2(1 cost)2 a(1 cost) dt}

t t

a (1 cos ) d π

2 ^π

0

3 3



^

 t t

a d

sin 2 π

16 ^π

0

6 3





u u

a sin d

π

32 ^2π

0

6 3



  32π a³  

6

5 

4

3 

2 1

2 π

a π y

2)

( t

u  令

x

a y

d π

2 ^π

0



2



x y

O π a ^{2π a} 绕 y 轴旋转而成的体积

为













) cos 1

(

) sin (

t a

y

t t

a

x (a  0) 2a

y y

x

V_y ^2a π ( )d

0

22







^

 π a²(t sin t)²  asint dt

π 2

y y

a x

d ) (

2 π

0

12





)

2 (y x

x 

π



^

 π a²(t sin t)² asin t dt

0 π

注意上下限 !



^



 ^2π

0

2

3 ( sin ) sin d

π a t t t t

3

π3

6 a

 注

)

1( y x

x 

柱壳体积 说明 :

x x  d x y

也可按柱壳法求出 Vy

y x  π

柱面面积 2 2 πxy  dx



  

) cos 1

(

) sin (

t a

y

t t

a x

x y x V_y 2 π ^{2π a} d



0





 2 π a(t  sin t)  a ²(1 cost)²d t

0 π 2

O 2πa x

y

偶函数

  Vy

t t

a t

t

a( sin ) (1 cos ) d π

2 ^{2π 2 2}

0   







^

 ^2π

0

4

3 d

sin 2 )

sin (

π

8 t t

t t

a

2 u  t 令



^

 ^π

0

4

3 (2 sin 2 )sin d π

16 a u u u u

2

 π

 u 令v

v v

v v

a (2 π sin 2 ) cos d π

16 ^{3 π2 4}

2π  





_

奇函数

3

π 3

6 a



轴所围图 及

表示 y f x x t x t

V ( )  ( ),  ( 0)

例 15. 设y  f (x) _{在 x≥0 时为连续的非负函数 ,} , 且

0 )

0 (  f

形绕直线 x ＝ t 旋转一周所成旋转体体 积 ,

证明 : .

) ( π

2 )

(t f t

V   证 :

x t

x x  d 利用柱壳法

x x

f x t

V 2π ( ) ( )d

d  

则 V (t) ^t 2 π (t x) f (x)d x

0 





x x

f

t ^t ( ) d π

2



0

 2 π ^t x f (x)d x



0

 x x

f t

V ( ) 2 π ^t ( )d



0

   2 πt f (t)  2 πt f (t) ) (x f

O x y

 例 16. 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心

, 并

与底面交成  角 ,



2 2

2 y R

x  

解 : 如图所示取坐标 系 ,

则圆的方程为

垂直于 x 为 的截面是直角三角 形 ,

其面积为



tan )

2 ( ) 1

(x R² x²

A   (R  x  R)



^

 ^R R x x

V 0

2

2 ) tan d

2(

2 1





^{2 1 3}



tan

2 R x  x





^R 2 ₃ tan



 R 利用对称性

计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .

O

R x y x

O

R x

) , (x y



R y 思考 : 可否选择 y 作积分变

量 ?

此时截面面积函数是什 么 ?

如何用定积分表示体积 ?

 ) (y A 提示 :



tan 2x  y

2

tan 2

2  y R  y







V ^2tan

^

^



₀^{Ry R2  y2 dy}

解 : 垂直 x 轴的截面是

椭圆 1

) 1

( )

1

( ₂^{2 2 2}₂

2 2

2 

 

 a

x a

x c

z b

y

例 17. 计算由曲面 ₂ 1

2 2

2 2

2   

c z b

y a

x 所围立体 ( 椭球

体 )

它的面积为 ( ) π (1 ₂² )

a

c x

b x

A  

因此椭球体体积为

x bc a

x )d 1

(

π  ²₂  2 π bc

0

a π abc 3

 4

特别当 a = b = c 时就是球体体积

) (a  x  a



 ^a V 2 0

x



³₂



3a x  x

的体积 .

O ^a

z

x c y

b

例 18. 求曲为 y  3  x² 1 _{与 x 轴围成的封闭图} 为 直为 y ＝ 3 旋转得的旋转体体形

积 .

(1994 考研 )

解 : 利用对称性 ,



 

y x²  2, 0  x 1 2 1  x  ,

4  x² 故旋转体体积为



V π3²  4 2 ¹π[3 (x 2)] d x

0

2



^ 2 ^



x x ) d 1

( π

2 π

36 ¹

0

2



^ 2



 2π ²(x 1) d x

1

2



2 ^

 x x 1) d (

π

2 ²

0

2



2 ^

 π

15

 448 在第一象限

x x )] d 4

( 3

[ π 2 ²

1

2



^{ } 2



1 2 x y B

C A

O 3

四、旋转体的侧面积

^{( 补充 )}

设平面光滑曲线 y  f (x)C¹[a,b], _求 上的圆台的侧面积 位于[x, x  dx]

s y

S 2π d d 

积分后得旋转体的侧面积

x x

f x

f

S ^b

a ( ) 1 ( ) d

π

2  ²





, 0 )

(x  且 f

它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面 积取侧面积元素. :

) ( π

2 f x

 1 f ²(x) dx

x x

y O

) (x f y 

a b

x y

O

) (x f y 

a b

s y S 2 π d d 

侧面积元素

 2 πy dx

s d

x 若光滑曲线由参数方程 d

) ) (

( )

(

 

 

_{ }



 

t t y

t x

给出 ,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的

) ( π

2



t



² 



^2



 ^ S

注意 :

侧面积为

x y d π

原因是 2 的线性主部 .

△

不是薄片侧面积 S

x x

f x

f

S  2π



^b ( ) 1 ²( ) d

R x y

O

例 19. 计算圆x²  y²  R²在 x [x₁ , x₂]  [R, R]上绕 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S

. 解 : 对曲线弧

] ,

[

, _{1 2}

2

2 x x x x

R

y   

应用公式得



 ²

1

π

2 ^x

S x R²  x² 1 ²





 



2

2 x

R x



 dx



 ²

1

d π

2 ^x

x R x  2π R(x₂  x₁)

当球台高 h  2 R 时 , 得球的表面公为 为 式 S  4π R²

x1 x₂

O z

y

x

例 20. 求由星形线

为 为 为 为 为 为 一周所得的旋体的表面

S .解 : 利用对称

性 ^{S  2 2π}



₀^{2π asin3 t}



 

^{2 }



²

  3acos² t sin t dt



 ^2π

0

4

2 sin cos d π

12 a t t t





 a² sin⁵ t 5

π 1

12 0

2π

π 2

5

12 a



t t

asin cos

3 ²

绕 x 为 旋为 t

a y

t a

x  cos³ ,  sin³

O y

x

星形线

)

(

x  t ^

内容小结

1. 平面图形的面积

边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长

曲线方程 参数方程方程 极坐标方程

2 2 (d ) )

(d

d s  x  y

弧微分 :







) ( ) d (

d s  r²  r² 直角坐标方程

上下限按顺时针方向 确定

直角坐标方程

注意 : 求弧长时积分上下 限必须上大下小



^{ }

 ²

1 ( ) ( )d

t

t t t t

A

 









 ( ) d 2

1 ₂



 A

3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体 积



 ^b

a A x x

V ( )d

旋转体的体积

π 2

)

(x y

A 

绕 x 轴 :

4. 旋转体的侧面积

s y

S 2 π d d 

侧面积元素为 ( 注意在不同坐标系下 ds 的表达

y x x

A( )  2π 绕 y 轴

:

( 柱壳法 )

) (x y y 

, )

(x 绕 x轴旋转 y

y 

思考与练习

1. 用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示 : 交点为(1, 1), (9, 3),

 

^y

A ³ d



_1



y2

x 

0 3

2  

 y y x

O x

1 3

) y

3 2

( y   y²

3

 32

y d

3



_1 ^{1 4y2 }



_³₁ ^{1 2 2 dy}

弧线段部分 直线段部分



^{ln(6 37) ln(2 5)}



4 5 1

5 37

3     



 s

以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分 , 故以 y 为积分变量 .

2. 试用定积分求圆x²  (y  b)²  R² (R  b) 绕 x 轴

R

b



R

上 半圆为 y  b  R²  x²

 

y _{2 2}

x R

x

 

下 



2 2

2 )

(b  R  x  (b  R²  x² )²



^dx

求体积 : 提示 :

方法 1 利用对称 性

旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .

O

x

y

 

 ^R V 2 0 π

b R² π2

 2

O

x y

R

b



R

方法 2 用柱壳法

 V

d 2 πy  2x dy



_^

 ^{b R}

R

V 4 π b y R²  (y  b)² dy

y

b R² π2

 2

说明 : 上式可变形为 π R2

V   2 π b ^



₀^2π R² b d



上 半圆为 y  b  R²  x² ,

下  y  _{2 2} x R

x

 



此式反映了环体元素的另一种取法 ( 如图所示 ).



d π

dV  R² b

O

x y

R

b



R

求侧面积 :



₀^R

2 2 π (b  R²  x² ) 1 y² dx



 ^R

2 0 2π (b  R²  x² )  1 y² dx 相同

二者 y²



 b ^R π 0

8 1 y² dx  4 π² bR

利用对称性

R

S  2 π  2π b

 S

上式也可写成 ^



₀^2π2π R b d



上 半圆为 y  b  R²  x² ,

下  y  _{2 2} x R

x

 



它也反映了面元素的另一种取法  



作业

P284 2

^{(1) , (3)}

; 3; 4; 5

^{(2) , (3)}

; 8

⁽²⁾

; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30

面积及弧长部分：

体积及表面积部分：

P286 13; 14 ; 15

(1), (4)

; 17; 18

补充题 : 设有曲线 y  x 1,_{过原点作其切线 , 求} 由此曲线、切线及 x 为 为 成的平面形为 为 为 x 轴旋转一

为 为 为 为 为 为 周所得到的旋体的表面 .

备用题

解：

1. 求曲线 ln x  ln y  1所围图形的面积 . 显然 ln x 1, ln y  1

O y

x e

1

1e 1e

1 ^e

e e

, e

e^1  x  ^1  y 

 x

ln

^{ln x ,}

, ln x



e 1 x 

1 e^1  x 

 y

ln ln y ,

, ln y



e 1 y 

1 e^1  y  1

e^1  x  1

e^1  y  ,

e

 1 中曲线为 xy

面积为

同理其他 .

1e

 y x

x y  e

ex

y 

 e xy





^{1(e x  1 )dx }



^{e(e  x)dx  e 1  1}

又

故在区域

分析曲线特点 2.

) 1 ( 

 x x y

O y

 x 解 :

4 ) 1

( 

¹₂ ²



 x

A1

) 1 ( 

 x x

y 与 x 轴所围面积



^{ } 1

 ¹

1 0 x (x 1)d x

A 6

 1 ,

0时

 

A2



^

 ^

2 1 x (x 1)d x A

2 ,

1 A

A  由

6 1 2

1 3

1 ₃  ₂ 



 

, 0 2)

1 3

(1

2



 

得



0 2 ,

3

2

1 







12

1 









 为何值才能 使

) 1 ( 

 x x y

. )

1

( 与 及 轴围成的面积 于 y  x x  x 



x

与 x 轴围成的面积等

故

12



, 0 )

2(



 令 r

3. 求曲线 r₁  a cos



图形的公共部分的面积 . 解：

与r₂  a(cos



 sin



) _{所 成围}

) sin

2  a(cos







得 r 所 区域的面围 积为



S





 

0 4

π 2

2( ) d 2

1 r  

 

²

π 2 2

1   a





 

 ⁰

4

π 2

2

d ) sin

2 (cos  

a 2

8 π a



2 ) 2 ( cos

2

2







 a

π

0



2

8 π a

 4

) 1

2(π

 a

 4

 π





O



1 a cos r 

x

设平面图形 A 由

x y

x²  ²  2 _与 y  x_{所确定 , 求}

图形 A 绕直线 x  2 旋转一周所得旋转体的体

积提示：. 选 x 为积分变量 . 旋转体的体积为



V ^2π



¹₀^{(2  x)( 2x  x2  x)dx}

3 π π 2

2

1 ₂



2

O 1

y

x

1

4.

若选 y 为积分变量 , 则



V ^π



₀¹



^{2  (1 1 y2 )}



^{2dy  π}



¹₀^{(2  y)2 dy}

y x

x y 