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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 5 5 章 空间解析几 章 空间解析几 何 何

高等数学 A

5 . 5 曲面及其方程

5 . 5 曲面及其方程

曲面及其方程 曲面方程引例

旋转曲面 柱 面

二次曲面

举例 概念

椭球面 抛物面 马鞍面

锥面 双曲面

单叶双曲面 双叶双曲面

曲面及其方程引例

) , ,

( _{0 0 0}

0 x y z

引例：在空间直角坐标系中，球心在 ，半径P

为 R 的球面上的点 满足什么条件？

点 到 的距离等于定值 R ，即，

构成一个中心轴为 Z 轴的单位圆柱面。

引例：在空间直角坐标系中，满足 的点构成什 么图形？

) , ,

(x y z P

) , ,

(x y z

P P0⁽x0^, y0^,z0⁾

2 2

0 2

0 2

0) ( ) ( )

(x x  y y  z  z  R

2 1

2  y 

x

水桶的表面、台灯的罩子面等．

曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．

曲面方程的定义：

曲面的实例很多：

曲面及其方程的概念

定义 5.5.1 设空间曲面 S 及三元方程 F(x, y,

z)=0. 如果 S 上任一点 M(x, y, z). 其坐标 x, y, z 都满足 F(x, y, z)=0, 则称 F(x, y, z)=0 为 S 的方程 . 反之， F(x, y, z)=0 的任一解 (x, y, z)

对应的空间点 (x, y, z) 在 S 上 ,, 则称 S 为 F(x, y, z)=0 的图形 .

研究空间曲面有两个基本问题：

（ 2 ）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．

（讨论旋转曲面）

（讨论柱面、二次曲面）

（ 1 ）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．

例 1 建立球心在 M₀(x₀, y₀, z₀), 半径为 R 的球面的方 程 .

例2求与原点O_及M₀(2,3,4)_{的距离之比为}1:2_的

点的全体所组成的曲面方程.

例3已知

A ( 1 , 2 , 3 )

_，

B ( 2 ,  1 , 4 )

_，求线段

AB

_的

垂直平分面的方程.

例 4 方程 的图形是怎 样的？

1 )

2 (

) 1

( 

²

 

²



 x y

z

例 5 求

表示的曲面，其中 为常 数。

2 2 2 0

x  y  z  Dx Ey Fz G   

, , ,

D E F G 曲面及其方程 --- 举

例

以下给出几例常见的曲面 .

例 1 建立球心在 M₀(x₀, y₀, z₀), 半径为 R 的球面的方 程 .

解：

M₀• R

x O y

z

M

根据图形知，球面上任一点 M 到球心的距离为 R.即 |M₀M|=R.

曲面及其方程 --- 举 例

设 M 点坐标为 (x, y, z) ，则根据两点间距离计算公 式

, )

( )

( )

(x  x₀ ²  y  y₀ ²  z  z₀ ²  R

或 ^{(x  x}₀^{)2  (y  y}₀^{)2  (z  z}₀^{)2  R2.} (5.1)

反之 , 任取 (x, y, z) 满足 (5.1). 则 M(x, y, z) 到 M₀ 的距离为 R. 故 (x, y, z) 在球面上 . 因此

(5.1) 即为所求球面的方程 .

--- 球面标准方程

特殊地：球心在原点时方程为

2 2

2

2

y z R

x   

曲面及其方程 --- 举 例

例2求与原点O_及M₀(2,3,4)_{的距离之比为}1:2_的 点的全体所组成的曲面方程.

解 _设

M ( x , y , z )

_{是曲面上任一点，}

2 ,

1

|

|

|

|

0

MM 

根据题意有

MO

      ^{2 ,}

1 4

3

2

^{2 2 2}

2 2

2

















z y

x

z y

x

  .

9 116 3

1 4 3

2

2 ²

2

 



 

  





 



 

   x y z

所求方程为

曲面及其方程 --- 举 例

例3已知

A ( 1 , 2 , 3 )

_，

B ( 2 ,  1 , 4 )

_，求线段

AB

_的

垂直平分面的方程.

设

M ( x , y , z )

_{是所求平面上任一点，} 根据题意有

| MA |  | MB |,

 x  1  

²

 y  2  

²

 z  3 

²



^{ 2}

 

^{2   1}

 

^{2   4}



^2,

 x y z

化简得所求方程

2 x  6 y  2 z  7  0 .

解

曲面及其方程 --- 举 例

z

x

o y

例 4 方程 的图形是怎 样的？

1 )

2 (

) 1

( 

²

 

²



 x y

z

根据题意有

z   1

用平面

z  c

_{去截图形得圆：}

) 1 (

1 )

2 (

) 1

( x 

²

 y 

²

  c c  

当平面

z  c

_{上下移动时，}

得到一系列圆

圆心在

( 1 , 2 , c )

_，半径为

1  c

半径随

c

_{的增大而增大}^.图形上不封顶，下封底．

解

c 曲面及其方程 --- 举

例

例 5 求

表示的曲面，其中 为常 数。

2 2 2 0

x  y  z  Dx Ey Fz G   

, , ,

D E F G 解 通过配方，有

2 2 2

0



x



y



z



Dx Ey Fz G

  

2 2 2 2 2 2

(x D / 2) (y E / 2) (z F / 2) G (D E F ) / 4

         

即

2 2 2 2 2 2

(x D / 2)  (y E / 2)  (z F / 2)  (D  E  F ) / 4 G

当 时，方程表示的曲面为 以 为球心，

为半径的球面。当 时，

球面退化为一点 。

当 时，在空间中不存 在坐标满足方程的点，这时常称方程所表示的“曲

面”为虚球面。

2 2 2

(D  E  F ) / 4  G 0



^{D / 2, E / 2, F / 2}



(D²  E²  F²) / 4 G

2 2 2

(D  E  F ) / 4  G 0



^{D / 2, E / 2, F / 2}



2 2 2

(D  E  F ) / 4  G 0

2 2 2

0

, ,

1

, .

x  y  z  ax by cz d     形如

的二次方程其图形或者是球面或者是一个 点或者不代表

定

任何图形 理

曲面及其方程 --- 举 例

定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面 . ^{C L}

柱 面

观察柱面的形 成过程 :

这条定曲线叫 柱面的准线，

动直线叫柱面 的母线 .

母线

准线

柱面举例

柱 面

x

o z

y

x

o z

y

y x²  2

抛物柱面

y  x

平面

y

x

²

 2 y  x

抛物柱面方程： 平面方程：



) , ,

(x y z M



) 0 , ,

1(x y M

x

z

y l2

一般地 , 在三维空间

柱面 ,

柱面 , 平行于 x

轴 ;

平行于 y 轴 ; 平行于 z

轴 ;

准线 xoz 面上的曲线 l_3.

母线

柱面 , 准线 xoy 面上的曲线 l_1.

母线

准线 yoz 面上的曲线 l_2.

母线

表示 方程 F(x, y)  0

表示 方程 G(y, z)  0

表示 方程 H (z, x)  0

x y

z l3

x y

z

l1

从柱面方程看柱面的特征：

只含

x , y

_而缺

z

_的方程

F ( x , y )  0

_，在

空间直角坐标系中表示母线平行于

z

_轴的柱

面，其准线为

xoy

_面上曲线

C

（其他类推）. 实

例 ₂

1

2 2

2

 

c z b

y

椭圆柱面 //

x

轴

2

1

2 2

2

 

b y a

x

双曲柱面 //

z

轴

pz

x

²

 2

抛物柱面 //

y

轴 柱 面

椭圆柱面

2

1

2 2

2

  b

y a

x

x

y z

O

双曲柱面

2

1

2 2

2

 

 b

y a

x

x

o z

y

定义

这条定直线叫旋转

曲面的轴． ^播放播放

旋转曲面

以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 .

建立 yoz 面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方 程 :

故旋转曲面方程为 ,

) , ,

(x y z M

当绕 z 轴旋转 时 ,

0 )

,

(y₁ z₁  f

, )

, ,

0

( _{1 1}

1 y z C

M 

若点

给定 yoz 面上曲线 C:

) , , 0

( _{1 1}

1 y z

) M , ,

(x y z M

2 1

1, x2 y y

z

z   

则有

0 )

,

( x²  y² z  f

则有 该点转到

0 )

,

( y z  f

o z

y x

C 旋转曲面

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何

？ C : f (y, z)  0

o y

x z

0 )

,

( y  x

²

 z

²

 f

旋转曲面

旋转曲面举例

例 6. 试建立顶点在原点 , 旋转轴为 z 轴 , 半顶

角为



的圆锥面方程 .

解 : 在 yoz 面上直线 L 的方程 为 z  y cot



绕

z

轴旋转时 , 圆锥面的方程 为 z   x²  y² cot



)

( ^{2 2}

2

2 a x y

z  



 cot 令 a

x

y z



两边平方

L

) , , 0

( y z

M

例 7 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．

绕

x

_轴旋转

绕

z

_轴旋转

2

1

2 2

2

2

  

c z y

a x

2

1

2 2

2

2

  

c z a

y x

旋 转 双 曲 面

旋转曲面举例

（2）椭圆

 

 







 0

2

1

2 2

2

x

c z a

y

绕

y

_轴和

z

_轴；

绕

y

_轴旋转

绕

z

_轴旋转

2

1

2 2

2

2

  

c z x

a y

2

1

2 2

2

2

  

c z a

y x

旋 转 椭 球 面

pz y

x

²



²

 2

_{旋转抛物面}

旋转曲面举例

思考题

指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？

; 2 )

1

( x  ( 2 ) x

²

 y

²

 4 ; .

1 )

3

( y  x 

思考题解答

平面解析几何中 空间解析几何中

 2 x

2 4

2  y  x

 1

 x y

平行于

y

_{轴的直线平行于}

yoz

_面的平面

圆心在

( 0 , 0 )

_，

半径为

2

_的圆^以

z

_{轴为中心轴的圆柱面}

斜率为 1 的直线 平行于

z

_轴的平面

方程

二次曲面的定义：

三元二次方程所表示的曲面称之．

相应地平面被称为一次曲面．

讨论二次曲面性状的截痕法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相 截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加 以综合，从而了解曲面的全貌．

以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．

二次曲面

o z

x y

（一）椭球面

2

1

2 2

2 2

2

  

c z b

y a

x

椭球面与 三个坐标面 的交线：

, 0

2 1

2 2

2











 y

c z a x

. 0

2 1

2 2

2











 x

c z b

y

, 0

2 1

2 2

2











 z

b y a x

二次曲面：椭球面

椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化 . 椭球面与平面 的交线为椭圆

z  z

1

同理与平面 和 的交线也是椭圆 .

x  x

¹

y  y

₁

 



 













1

2 1 2

2 2

2

2 1 2

2 2

2

1 )

( )

( z z

z c c

b

y z

c c a

x

c z | 

|

₁

二次曲面：椭球面

椭球面的几种特殊情况：

, )

1

( a  b ₂

1

2 2

2 2

2

  

c z a

y a

x

旋转椭球面

2

1

2 2

2

 

c z a

由椭圆 绕 轴旋转而成

x

．

z

旋转椭球面与椭球面的区别：

2

1

2 2

2

2

  

c z a

y

方程可写为

x

与平面 交线为圆

z  z

₁

( | z

₁

|  c )

. 二次曲面：椭球面

, )

2

( a  b  c ₂

1

2 2

2 2

2

  

a z a

y a

x

球面

2.

2 2

2 y z a

x   

). (

1

2 1 2

2 2 2

2













 z z

z c c

y a 截面上圆的方程 x

方程可写为

二次曲面：椭球面

（二）抛物面

q z y p

x   2

2

2 2

（ 与 同 号）

p q

椭圆抛物面 用截痕法讨论：

（ 1 ）用坐标面 曲面相截

xoy ( z  0 )

截得一点，即坐标原点

O ( 0 , 0 , 0 )

设

p  0 , q  0

原点也叫椭圆抛物面的顶点 . 二次曲面：抛物面

x

y z

o

与平面 的交线为椭圆

z  z

₁ .



 









1

1 2

1 2

2 1 2

z z

qz y pz

x

当 变动时，这种椭圆

的中心都在 轴上 .

z

1

z )

0 ( z

₁



与平面 不相交

z  z

₁

( z

₁

 0 )

.

（ 2 ）用坐标面 与曲面相截

xoz ( y  0 )

 





 0

2

2 y

pz

截得抛物线

x

二次曲面：抛物面

x

y z

o

与平面 的交线为抛物线

y  y

₁ .

 

 





 

 



 



1

2 2 1

2 2 y y

q z y

p

x

^{它的轴平行于 轴}

^z

顶点





 





q y y

, 2 ,

0

2 1 1

（ 3 ）用坐标面 ， 与曲面相截

yoz ( x  0 ) x  x

₁

均可得抛物线 .

同理当 时可类似讨论

p  0 , q  0

. 二次曲面：抛物面

x

y z

o

z

x o y

x y

z

o

椭圆抛物面的图形如下

：

0 ,

0 

 q

p p  0 , q  0

二次曲面：抛物面

特殊地：当 时，方程变为

p  q p z

y p

x   2

2

2 2

旋转抛物面

)

0 ( p 

（由 面上的抛物线 绕它的 轴旋转而成的）

xoz _x

²

_{ 2 pz}

 









1

1 2

2

2

z z

pz y

x

与平面 的交线为 圆 . ¹

z

z  ( z

₁

 0 )

当 变动时，这种圆 的中心都在 轴上 .

z

1

z

二次曲面：旋转抛物面

q z y p

x  

 2 2

2 2

（ 与 同 号）

p q

双曲抛物面（马鞍面）

用截痕法讨论：

设

p  0 , q  0

图形如下：

x

y z

o

二次曲面：马鞍面

（三）双曲面

单叶双曲面

2

1

2 2

2 2

2

  

c z b

y a

x

（ 1 ）用坐标面 与曲面相截

xoy ( z  0 )

截得中心在原点 的椭圆

O ( 0 , 0 , 0 )

.











 0

2 1

2 2

2

z

b y a x

二次曲面：双曲面

x

o y

z

与平面 的交线为椭圆

z  z

₁ .

当 变动时，这种椭 圆的中心都在 轴上 .

z

1

 z

 











1

2 2 1 2

2 2

2

1 z

z

c z b

y a

x

（ 2 ）用坐标面 与曲面相截

xoz ( y  0 )

截得中心在原点的双曲线 .











 0

2 1

2 2

2

y

c z

a x

实轴与 轴相合，

虚轴与 轴相合 .

x

z

二次曲面：双曲面

x

o y

z



 











1

2 2 1 2

2 2

2

1 y

y

b y c

z a

x

双曲线的中心都在 轴上

y

. 与平面 的交线为双曲

线 . ¹

y

y  ( y

₁

  b )

, )

1

(  y

₁²

 b

² _{实轴与 轴平行}

^x

, _{虚轴与 轴平行}

z

_.

,

) 2

(  y

₁²

 b

² _{实轴与 轴平行}

z

_{, 虚轴与 轴平行}

x

_.

,

) 3

(  y

₁

 b

截痕为一对相交于点 的直 线 .

) 0 , , 0 ( b

二次曲面：双曲面

x

o y

z

0 ,



 







 b y

c z a

x

0 .



 







 b y

c z a

x

, )

4

(  y

₁

  b

截痕为一对相交于点 的直线

( 0 ,  b , 0 )

.

0 ,



 











b y

c z a

x

0 .



 











b y

c z a

x

（ 3 ）用坐标面 ， 与曲面 相截

yoz ( x  0 ) x  x

₁

均可得双曲线 .

二次曲面：双曲面 z

x y

单叶双曲面图形

x

o y

z

平面 的截痕是两对相交直线

x   a

. 二次曲面：双曲面

双叶双曲面

2

1

2 2

2 2

2

   

c z b

y a

x

x

o y

二次曲面：双曲面

二次曲面：锥面

) ,

2 (

2 2 2

2 z a b 为正数

b y a

x  

上的截痕为

在平面 z  t _椭圆

在平面 x ＝ 0 或 y ＝ 0 上的截痕为过原点的两直线 .

z

x

o y

) 1 (

)

( ²

2 2

2  

t b

y t

a

x , z  t

可以证明 , 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面 上 .

①

( 椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到 )

x y

z

曲面方程的概念

旋转曲面的概念及求法 .

柱面的概念 ( 母线、准线 ).

. 0 )

, ,

( x y z  F

小结

椭球面、抛物面、双曲面、截痕

法

（熟知这几个常见曲面的特性）

.