第五节 对坐标的曲面积分

第五节

一、有向曲面及曲面元素的投影

二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法

四、两类曲面积分的联系

对坐标的曲面积分

第十一章

一、有向曲面及曲面元素的投影

• 曲面分类 双侧曲面

单侧曲面

莫比乌斯带 ^{曲面分上侧和}

下侧

曲面分内侧和 外侧

曲面分左侧和 ( 单侧曲面的典型 ) 右侧

其方向用法向量指向

方向余弦 cos



cos



cos



> 0 为前侧

< 0 为后侧

封闭曲面

> 0 为右侧

< 0 为左侧

> 0 为上侧

< 0 为下侧

外侧 内侧

• 设  _{为有向曲面} , ,

) (S _xy

S



S)_xy (

侧的规定

• 指定了侧的曲面叫有向曲面 , 表示 :

其面元 在 xOy 面上的投影记 为 0,

)

(



_xy 

y

S)x

( _的面积为 则规定

, )

(



_xy , )

(



_xy



, 0

时 当cos  0

时 当cos  0

时 当cos  0

类似可规定

zx

yz S

S) , ( )

( 

二、 对坐标的曲面积分的概念与性质

1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 _的流量 .

 S 分析 : 若 _是面积为 S 的平面

,

则流量



 法向量 :

流速为常向量 :

)) ,

, ( ),

, , ( ),

, , (

(P x y z Q x y z R x y z v 

) cos ,

cos ,

(cos

  

 n

v



cos v

S 

n v

S 



n v

Σ 对一般的有向曲面 ,

用“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极

限”



 n i 1

lim0







lim0

 





 n i 1



^P(

^

_i^,

^

_i^,

^

_i^)cos

^

_i

i i

i

R(



i,



,



)cos



 lim0

 





 n

i 1



^P(

^

_i ^,

^

_i^,

^

_i ^)(S_i ⁾_yz ^{ Q(}

^

_i^,

^

_i^,

^

_i ^)(S_i ⁾_zx

y



x i i

i

i S

R( , , )( )



  

i i

i

Q(



i,



,



)cos







^S_i

对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 v  (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

进行分析可得

ni v_i

i i

i n S

v   )

cos ,

cos ,

(cos _{i i i}

ni 

  

设



, 则

设 _{为光滑的有向曲面} , 在 _{上定义了一个}

意分割和在局部面元上任意取点 , lim0



 

 n

i 1 P(



i,



i,



i )(Si )yz

x z i i

i

i S

Q( , , )( )



  

分 ,



_ ^{Pdy d z  Qd z d x  Rdx dy}

记作

P, Q, R 叫做被积函数 ; _{叫做积分曲面} .

y x i i

i

i S

R( , , )( )



   

或第二类曲面积分 .

下列极限都存在 向量场

x d y

d d z

P

Q R

)), ,

, ( ),

, , ( ),

, , (

(P x y z Q x y z R x y z

A  _若对 _的任

则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 2. 定义

：

引例中 , 流过有向曲面  _{的流体的流量为}



_ ^{Pd y d z}



_ ^{Qd z d x 称为 Q 在有向曲面 上对 z, x 的曲面积}

分 ;



_ ^{R d xd y 称为 R 在有向曲面 上对 x, y 的曲面积}

分 .

称为 P 在有向曲面 _上对 y, z 的曲面积 分 ;



^{ }

 



Pdy d z Qd z d x Rdx dy 若记  _{正侧的单位法向量为}

令

) cos ,

cos ,

cos

(

  

 n

) d d

, d d , d (d d

d S  n S  y z z x x y

) ) , , ( , ) , , ( ,

) , , (

(P x y z Q x y z R x y z A 

则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式

3. 性质

(1) 若 ,



^k1

i i













 ^k

i 1

之间无公共内点 , 则



i

且

(2) 用 ^¯ _表示  _{的反向曲面} , 则



_ ^{Ad S}





_ ^{ Ad S  } _ ^{Ad S}



_{ i} ^{Ad S}



_ ^{Pd y d z  Q d z d x  Rd x d y}



^

  A nd S ^



_ ^{Ad S}

三、对坐标的曲面积分的计算法

定理 : 设光滑曲面



: z  z(x, y), (x, y)  D_{xy 取上侧 ,} )

, ,

(x y z

R _是  _{上的连续函数} , 则



_ ^{R(x, y, z)d x d y }



_Dxy ^{R(x, y, z(x, y )) d x d y}

证 :

lim0

 





 n

i 1 ^{i i i i xy}

S R(



,



,



)( )

y x

Si ) (

  (



_i )_xy

∵ _取上侧 ,



_i  z(



_i ,



_i )

lim0

 





 n i 1

)

, ,

( _{i i}

R

 

z(_i,_i) (



_i)_xy y

x x,y

z y x R

y

Dx ( , , ( ))d d







_ ^{R(x, y, z)d x d y}

• 若



: x  x( y, z), ( y, z)  D_yz ,_则有



_ ^{P(x, y, z) d ydz  }



_Dyz ^{P( x( y, z ) , y,z) d y d z}

• 若



: y  y(z, x), (z, x) D_zx , _则有



_ ^{Q(x, y, z)d z d x  }



_Dzx ^{Q(x, y(z, x ), z ) d z d x}

( 前正后负 )

( 右正左负 )

说明 : 如果积分曲面  _取下侧 , 则



_ ^{R(x, y, z)d x d y  }



_Dxy ^{R(x, y, z(x, y ))d x d y}

例 1. 计算



_ ^{(x  y)d y d z  (y  z)d z d x  (z  x)d x d y}

其中 _{是以原点为中心} , 边长为 a 的正立 方体的整个表面的外侧

. 解 : 利用对称性 .

原式 ^{ 3}



_ ^{(z  x)d x d y}

 的顶部



₁ : z  ^a₂ ( x  ₂^a , y  ^a₂ ) _取上侧

 _的底部



₂ : z   ₂^a ( x  ^a₂, y  ^a₂ ) _取下侧

 

^



1 ( )d d

3  z x x y

 

^



y

Dx a x x y

d d

2 ) ( 3



y x

x



z ^



2 ( ) d d





y x a x

y

Dx



^{ }

 )d d

( 2





y

Dx x y

a d d

3  3a³

x

z O y

解 : 把 _{分为上下两部分}

2 1 : z   1 x2  y



根据对称性



_ ^xyzd ^x d ^y  0 思考 : 下述解法是否正确 :

例 2. 计算曲面积分



_ ^{x yz} d ^x d ^y, ^{其中 为球面 x2 } 外侧在第一和第八卦限部分 .

z

x O 1 y



1



2

y

Dx







 

 0, 0

: 1 )

,

( ^{2 2}

y x

y D x

y

x _xy

2 2 : z  1 x2  y



2 1

2  

 y z

z

x O 1 y



1



2

y

Dx



^{ }



y

Dx xy 1 x y d x d y

2 ^{2 2}

2 2 sin cos 1

2 r r

y

Dx 



 ^{ }

r r

r 1 ² d

1 0

3 



215





 ^π2

0 sin 2



d





  xyz d x d y ^



_1 ^{xyz d x d y }



_2 ^{x yz d x d y}







y

Dx xy ( 1 x²  y² )d x d y





y

Dx xy 1 x ²  y² d x d y



d d r r



S上 z z

y x

cos2

d

d



下

＋

S z z

y x

cos2

d d

例 3. 设 S 是球

面 x²  y²  z²  1 的外侧 , 计算







S x x

z

I y ₂

cos d d

2

解 : 利用轮换对称性 , 有



S x x

z y

cos2

d d

2



^



S

S z

y x

y x z

2

2 cos

d d

cos d d









S z z

y

I x ₂

cos d d

1

2 2 2

0

d

1 cos 1

r r

r r

 



0¹ 2 ² 2

4π d 1

cos 1 r

r

  





1 tan π

 4

y x z

cos2

d d

z z

y x

cos2

d

 d

cos , d d

2



2



S z z

y x





 _{2 1}  ²  ^{2 2}  ²  ²

2 1 cos 1

d d

y

x x y x y

y x

2π

2 0 d





2

 0

四、两类曲面积分的联系



 n i 1



^P(

^

_i ^,

^

_i^,

^

_i ^)(S_i ⁾_yz ^{ Q(}

^

_i ^,

^

_i^,

^

_i ^)(S_i ⁾_zx



_ ^{Pdy d z  Qdz d x  Rdxd y}

y x i i

i

i S

R( , , )( )



   

lim0

 



lim0

 





 n i 1



^P(

^

_i^,

^

_i ^,

^

_i ^)cos

^

_i ^{ Q(}

^

_i^,

^

_i^,

^

_i ^)cos

^

_i

i i

i

R(



i ,



,



)cos







^S_i



^{Pcos Qcos Rcos}



^{d S}



^{ }

 

  

曲面的方向用法向量的方向余弦刻画

令



_ ^{Pdydz  Qdzdx  Rdxdy}



^{Pcos Qcos Rcos}



^{d S}



^{ }

 

  



  A_n dS 向量形式

), ,

,

(P Q R

A  n  (cos



, cos



, cos



) )

d d , d d , d (d d

dS  n S  y z z x x y



_ ^{Ad S}

n A A_n  



^

  A nd S

( A 在 n 上的投

影 )

例 4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场 为

解 :

r S q₂ d



  S

R

q



 ₂  d q

π

 4

q

。 ) (

) , ,

( ^{2 2 2}

3

3 x y z r x y z

r r q

r

E  q    

求 E 通过球面  : r = R 外侧的电通量

 .



^

 



E d S



^

  E nd S S

r r d







_{ r}^q3 ^r

x y z

1 1

1

例 5. 设



: z  1 x²  y²,



_{是其外法线与 z 轴正}

夹成的锐角 , 计算^{I }



_ ^z2 cos

^

向d ^S. 解 : ^{I }



_ ^{z2 cos}

^

^{d S}



  z² d x d y

r r r ) d 1

(

d ^{1 2}

0 π

2

0 



 ^ 

2

 π



^{ }



y

Dx (1 x² y² )d x d y

n

2

1 2

cos x y

x



 



例 6. 计算曲面积分 其中

解 : 利用两类曲面积分的联系 , 有



_ ^{(z2  x) d y d z}



^

 _ (z² x) cos



dS

y xd cos d

cos





O y

x z 2

∴ 原式 =



_



^{( z2  x)}(x) ^{ z}

^

^{d x d y}

, d d

d d

) ( ²



_ ^{z  x y z  z x y}

旋转抛物面 z  ¹₂ (x²  y²)_介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧 .



^

  (z² x) 1 2 2

cos 1

y x 



 



∴ 原式 =



_



^{( z2  x)}(x) ^{ z}

^

^{d x d y}

O y

x z

 

^x



^{( x)} 2

y

Dx  





14 (x²  y²)² 原式 =

)

( ^{2 2}

12 x  y





^{x x y}



^{x y}

y

Dx ^{2 1}₂ ( ^{2 2} ) d d



^{ }



r r r

r cos ) d

( ^{2 1}₂ ²

2 0

2 

 ^



 ^2π

0 d



π

 8



d x d y 得

代入 将 z  ₂¹ (x²  y² ) ,

内容小结

定义 :



_ ^{f (x, y, z)d S n i i i}

i

i S

f 





  ( , , ) lim

0 1

  





_ ^{Pd y d z  Q d z d x  Rd x d y}



_{i i i}



_i



_{y z}

n i

S

P 





  ( , , ) lim

0 1

  





_i



_{x y}



i i

i S

R 

 (



,



,



) 1. 两类曲面积分及其联系



_i



_{z x}

i i

i S

Q 

 (



,



,



)

•

•

性质 :



_ ^{ P d y d z  Qd z d x  Rd xd y}



^{ }



  P d y d z Q d z d x Rd x d y 联系 :



_ ^{P d y d z  Q d z d x  R d xdy}

 



^{ }

  Pcos



Q cos



Rcos



dS

思考 :

的方向有关 ,上述联系公式是否矛盾 ?

两类曲面积分的定义一个与  _{的方向无关} , 一个与

2. 常用计算公式及方法 面积分 第一类 ( 对面

积 )

第二类 ( 对坐 标 )

二重积分 (1) 统一积分变量 代入曲面方程

( 方程不同时分片积分 ) (2) 积分元素投影 第一类： 面积投影

第二类： 有向投影

(4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况 .

转化

当



: z  z(x, y) , (x, y) D_{xy 时，}

y x

z z

y x z y x f S

z y x f

y

Dx

y

x d d

1 ))

, ( , , ( d

) , ,

( ^{2 2}



^



^{ }



y x

y x z y x R y

x z

y x R

y

Dx

d d

)) ,

( , , ( d

d ) , ,



( ^{ }





（上侧取“ +”, 下侧取“” )

类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公 式 .

思考与练习

1. P227 题 2

提示 : 设



:z  0, (x, y) D_xy , _则

 _取上侧时 ,



_ ^{R(x, y, z) d x d y }



_{Dx y} ^{R( x, y , 0 )d xdy}

 _取下侧时 ,



_ ^{R(x, y, z)d x d y  }



_Dxy ^{R( x, y, 0 )d x d y}

2. P244 题 1 3. P227 题 3(3)



 , )

, ,

(x y z C

f 是平面 x  y  z  1

在第四卦限部分的上侧 , 计算



^{f x y z x}



^{y z}

I 



_ ( , , )  d d ^

^

^{2 f (x, y, z)  y}

^

^{dz dx}



^{f (x, y, z)  z}



^{dx dy}



提示 : 求出 _{的法方向余弦} , 转化成第一类曲面积分 P227 题 3(3).

设

作业

P227 3

(1) ,(2) , (4) ;

4

^{(1), (2)}



^{ }

  x y z S

I ( )d

13 ^{ 13}



_ ^{d S}

y x x 3d

d ⁰

1 1

3 0

1

 

_

  ₂¹



^{d d d d d d}



^,

z y x

y x z

x z

I 



_ y   备用题 求

1 : ₂²  ₂²  ₂² 

c z b

y a



x _取外侧 .

解 :



_ ^{d x}_z^{d y}

y c ^{Dx y} x

b y a

x d d

1

1 1

,

2 2 2



2





y c ^{Dx y} x

b y a

x d d

1

1 1

,

2 2 2



2





 

y c ^{Dx y} x

b y a

x d d

1

1 2

,

2 2 2



2



 

, sin

,

cos



y br



r

a

x   d x d y  abr d r d



r r

ab r

c d

d 1

2 ¹

0 2

π 2

0





_





2

1

 c

 4π abc

注意 ± 号 1

: ₂

2 2

2

,  

b y a

D_{x y} x

其中



_ ^{d x}_z^{d y } _c^{12  4π abc}

利用轮换对称性



_ ^{d y}_x^{d z } _a^{12 4π abc}



_ ^{d z}_y^{d x } _b^{12  4π abc}



¹₂ ¹₂ ¹₂



c b

a  

c b a I  4 π

