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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 7 7 章 多元函数积分 章 多元函数积分 学 学

高等数学 A

7.2 7.2 曲线曲面积分 曲线曲面积分

习题课

一、内容小结

二、曲线积分的计算法

三、第二类曲线积分计算方法 四、曲面积分的计算法

7.2 7.2 曲线曲面积分复习课 曲线曲面积分复习课

曲 线 积 分

对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分

定义

 

 

   

 ⁿ

i

i i

L f x y ds f i s

0 1 ( , )

lim )

,

(



L P(x, y)dx ^ Q(x, y)dy

] )

, ( )

, ( [ lim

0 1 i i i

n i

i i

i x Q y

P       





 



联系 Pdx Qdy P Q ds

L

L



( cos cos )



^{  }

计

算







     

 f dt

ds y x

L f

2

] 2

, [

) , (

一代二换三定限 (  )







       





dt Q

P

Qdy

LPdx

] ) , ( )

, ( [

一代二换三定向（限）

1. 曲线积分与曲面积分

一、内容小结

与路径无关的四个等价命题

条 件

在 单 连 通 开 区 域 D _上

P

(

x

,

y

),

Q

(

x

,

y

) _{具 有}

连续的一阶偏导数, 则以下四个命题成立.



L

Pdx ^ Qdy

D 内 与路径无关 在

) 1 (



C

Pdx ^ Qdy ^

0,

闭曲线 C ^ D

)

2 (

Qdy Pdx

du y

x U

D 内存在 使  

在

( , ) )

3 (

x Q y

D P



 



,



)

4

(

在 内

等

价

命

题

曲 面 积 分

对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 ^{    }

n

i f i i i si

ds z y x f

0 1 ( , , )

lim )

, ,

(   

 i xy

n

i R i i i S

dxdy z

y x

R( , , ) lim ( , , () )

0 1 

 

  







 

联系







 Qdzdx Rdxdy Pdydz

计

算 一代 , 二换 , 三投四定限 ( 与侧无关一代) , 二投 , 三定向 ( 与侧有 关 )









 (Pcos Qcos Rcos )dS



ds z y x

f( , , )

 ^{ }



Dxy

y

x z dxdy z

y x z y x

f[ , , ( , )] 1 ^{2 2}



dxdy z

y x

R( , , )







Dxy

dxdy y

x z y x

R[ , , ( , )]

定积分 定积分 曲线积分 曲线积分

重积分 重积分 曲面积分 曲面积分

计算

计算 计算 Gree n Stokes 公式 公式

Guass 公式

2. 各种积分之间的联系

3. 三重积分与曲面积分的联系





 





 

 



 



 dv Pdydz Qdzdx Rdxdy

z R y

Q x

P )

(

高斯公式 4. 曲面积分与曲线积分的联系

y dxdy P

x dzdx Q

x R z

dydz P z

Q y

R ) ( ) ( )

( 

 



 



 



 



 

















 Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式

( )

A ds rotA n dxdy

 

  



^{ }



^{ }

 ^

^{L(A  n)ds }

^

_D ^divAdxdy

Green 公式 ,Guass 公式 ,Stokes 公式之间的关

系



A dS   (rotA n)dS



















 





R Q

P

z y

x

dxdy dzdx

dydz

Rdz Qdy

Pdx



 



 n ds divAdv

A  

) (

z dv R y

Q x

P

Rdxdy Qdzdx

Pdydz

)

( 

 



 



 















 ^{  }_ ^{ }_

L D dxdy

y P x

Qdy Q

Pdx ( )  ^{  }  ^_ ^{ }_

L D dxdy

y Q x

Pdy P

Qdx ( )

或

推广 推广

为平面向量场 )

(M A

为空间向量场 )

(M A

梯度 k z j u

y i u

x

gradu u   



 



 



  通量

旋度 环流量

z R y

Q x

A P

div 

 



 



 













 Pdydz Qdzdx Rdxdy

y k P x

j Q x

R z

i P z

Q y

A R

rot    

) (

) (

)

( 

 



 



 



 



 



 



  



 Pdx Qdy Rdz 散度

5. 场论初步

二、曲线积分的计算法

1. 基本方法

曲线积分 第一类 ( 对弧长 第二类 ) ( 对坐标 (1) 统一积分变量)



 转化 定积分

用参数方程

用直角坐标方程 用极坐标方程

(2) 确定积分上下限 第一 类 : 下小上 大第二类 : 下始上终 第一类 :

用参数方程

用直角坐标方程 第二类 :

(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件 ;

(3) 利用格林公式 ( 注意加辅助线的技巧 ) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;

(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .

2. 基本技巧

例 1. 计

算 x² y² ds,



L ^{ 其中 L 为圆周x2  y2  ax.}

解：一代： 利用极坐标 , ) 2 ( 2

cos

: r  a















L



d ds  r²  r² 原式 =

L

r d s



^{ 2a2}

说明 : 若用参数方程计算 ,

:

L (0  t  2



) o a x

y r





d

 a

) cos 1

2 ( t

x  ^a  t y  ^a₂ sin

t 则

t y

x

s d

d  ²   ² a t 2 d

 则化为定积分的计算式 较复杂…… .

二换

2 2

cos a d

 a

  





 

t t

a(1 cos )d



例 2 计算



_L(2^{a  y})d ^{x  x}d ^y, ^{其中 L 为摆线} ,

) sin (t t a

x   y  a(1 cost) 上对应 t 从 2 到 0 的一段 弧 .

解 1:

2 0

(2 ) 2 sin

L a y dx xdy a t t td





  





 

⁰

2

cos sin

2

a t t t

_

    2  a

²

) cos 1

( t

a 



t t a

t t

a(  sin )  sin d



t t t

a² sin d

 一代二换三定向

(2 a  y ) d x  x d y

x

y

o _A(2a,0)

解 2: _{1, 1,}

2( )

P Q

y x

Q P

x y

 

  

 

 

 

  形式简单

x

y

o _A(2a,0) 补充路径： ^{L y1 :  0, : 0x  2a}

1 1

2 2

0

(2 )

2 2

L L L L

a

D

a y dx xdy

dxdy ^ adx 

    

  

  

 



摆线的面积. . . - 4 a 说明 : 解法 1 较好

？

解 1 一代二换三定向

2 4

(

2

2 ) ( )

L

x  x y dx  x  y dy



1 2 2 2

0 ( 2 sin ) ( sin ) cos

2 2 2 2

x x  x x  x  x  dx

 

      

 



化为定积分的计算式较复杂…… .

解 2 P ( 2 2 ) 2

x xy x

y y

    

 

x y

x x x

Q ( ²  ⁴)  2



 





P Q , y x

 

  

即知 曲线积分与路径无关



 ^{ }



¹

0 1 4

0

2

dx

(1

y

)

dy

故原式 x

.

15



23

x

y

o ₁

1 ^A

3 5

(1,1) 2 (1,1) 23

( , )

(0,0) 3 5 (0,0) 15

x y

u x y x y

    

或: 原式

解 ^{e y my e y m} y

y

P _x   _x 



 



 ( sin ) cos



y e

m y

x e x

Q _{x x}

cos )

cos

(  



 





x Q y

P



 

 即 

x

y

o _A(a,0)

M

Q P x y m

   

  （较简单）

x

y

o _A(a,0)

M

y dxdy P

x Q

AMOA



D

 ^

⁽

^ _ ^{ } _

⁾





D

dxdy

m

_,

8

a2

m 



0 ) (

0 0

   

 



OA ^a

^{dx e}

^x

^m

 0, 8 0

2 



 m a

8 .

a2

m 



 



 ^{  }



LOA OA AMOA OA

I

 ^ 



 I

AMOA OA

三、第二类曲线积分计算方法

• 若路径不封闭，先判断积分是否与路径无关

• 若路径封闭，先看能否利用格林公式

• 若路径不封闭，且积分与路径有关，但 的形式较简单，则添加路径使之封闭，考虑 利用格林公式（二重积分以求得）；

Q P

x y

  

 

z

o y

x

1 例 5 计算 其中由平面 y = z 截球

2 面

2 y x 

解 1: （参数法）因在 上有x²  2y² 1, 故  :

原式 = ² cos t sin td t

0

2 2

2

21



^

t t

t (1 cos )d cos

4 ²

0

2 2

2

21 ^



^

 ^



 



    

 2 2

1 4 3 2

2

2 1

 

16 2



 t

x  cos

t y  ¹₂ sin

2 sin

1 t

z 

) 2 0

(  t 



,



_ ^xyzd^z

从 z 轴正向看沿逆时针方向 . ,

2 1所得

 z

z

o y

x

1 解 2 ： 斯托克斯公式

{ , ,0}

0 0

i j k

rotA xz yz

x y z

xyz

  

  

  

  



2 2

0 2

: 2 1

D xxy y

W rotA n dS yzdxdy y dxdy

   

  ^  ^    

(0, 1,1) n   

设为 z=y , 方向向上 ,

16 2



 ^{广义极坐标}

变换求二重 积分

例 6. 计算 ^{I }



_ (^{x2 y z2}) d^s,^{其中 为曲线}









  



0

2 2

2 2

z y

x

a z

y x

解 : 利用轮换对称性 , 有

s z

s y

s

x² d



² d



² d



_ ^ _ ^ _

利用重心公式知



_ y ^ds ^ y



_^ds ^{ 0} s

z y

x

I ( )d

3

2 ₂  ₂  ₂







_



_

 a d s 3

2 _{2 3}

3

4



a



z

o y

x



( 的重心在原点 )

例 7 求力 沿有向闭曲线  所作的^功 , 其中

 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三角形的 从 z 轴正向看去沿顺时针方向

整个边界 , .

) , ,

(y z x F 

B A

z

y x

o C 则



_ ^{ }

 y x z y x z

W d d d

0

3

W rotA n dS dxdy

 

  ^  ^  

^

^{n }

^:

^{   }

^z

^{( 1, 1, 1)}

^{  1 x y,下侧}

解：

n

2

 3 设三角形区域为 , 方向向下 ,

利用 Stokes 公式

{1,1,1}

i j k

rotA x y z

y z x

  

  

  

  



2 2 2

2 2

8 ( 1) ( 0)

L 4

xdy ydx

I L x y R R

x y

     





例、计算其中为取逆时针。



2 2

2 2

4

4 y x

x y

y P x

Q



 



 

 解：

0 )

( )

1 )

1

( 



 



 

 ^I



^Q_x ^P_y ^dxdy

R

D

（

) 1 )

2

( （R 

2 2

(3) 1) ( ) 0

L l 4 D

xdy ydx Q P

R I dxdy

x y _ x y



  

    

  

 

（



2 2

4 2

: x  y   l

2 2 2

L l 4 l

xdy ydx xdy ydx

I _ x y



 

 

  

 

2 2 2

1 1 2

1 2 2

l D

xdy ydx

dxdy

   

  



 

 



 

四、曲面积分的计算法

1. 基本方法

曲面积分  第一类 ( 对面积 第二类) ( 对坐标 )

转化 二重积分 (1) 统一积分变量 — 代入曲面方程

(2) 积分元素投影



 第一类 : 始终非负 第二类 : 有向投影 (3) 确定二重积分域

— 把曲面积分域投影到相关坐标面

思 考 题

1) 二重积分是哪一类积分 ?

答 : 第一类曲面积分的特例 .

2) 设曲面 : z  0 , (x, y)  D ,_{问下列等式是否成立 ?}





_ ^{f (x, y, z)d S } _D ^{f (x, y,0)d xdy}

不对 ! 对坐标的积分与  的侧有 关





_ ^{f (x, y, z)d x d y } _D ^{f (x, y,0)d xdy}

2. 基本技巧

(1) 利用对称性及重心公式简化计算

(2) 利用高斯公式



 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧

( 辅助面一般取平行坐标面的平面 ) (3) 两类曲面积分的转化

解法 1 ：见典型例题解析

5. 计算曲面积分

I 



_



(x  y)²  z²  2yz



d S,其 中 是球面 x²  y²  z²  2x  2z .

解 :



_ ^

 (2x 2z)d S



 32



^{x y z}



^S

I 



_ ( ²  ²  ²)  ^{2xy  2yz} d



_ ^

 2 (x z)ydS



_



 2(x z) d S

 0

利用对称性 用重心公式

6. 计算曲面积分

y r x

x z r z

z y r y

I 



_ x₃ d d  ₃ d d  ₃ d d

其中 , r  x²  y²  z² ,  : x²  y²  z²  R² 取外侧. 解 : x y z y z x z x y

I R1 d d d d d d

3  





_

z y

R1 3d xd d

3



_

  4



思考 : 本题  改为椭球面 ₂²  ₂²  ₂² 1 c

z b

y a

x 时 , 应如

计算 何

? 提示 : 在椭球面内作辅助小球面 x²  y²  z² 



² 取 内侧 , 然后用高斯公式 .







_{ } ^ _ ^ _



2 1

2 1

I

7 . 设  是曲面

9 ) 1 (

16 ) 2 (

1 5z  x  ²  y  ²



  



 

32 2 2

2 )

(

d d d

d d

d

z y

x

y x

z x

z y

z y

I x

2 2

1 : z  2 x  y

 

解 : 取足够小的正数 , 作曲

面 取下侧

使其包在  内

, ^{2为 xoy 平面上夹}

之间的部分于, 且取下侧

1,



与 ²



1

o z

y x

取上侧 , 计算

, ) 0 (z 

则

2



1

o z

y x

) 2

1 ( ₃

3

 



^



 I







_{ } ^ _ ^ _



2 1

2 1

I



_ ^

 0 dv ^

_

¹³



_1 ^{xd y d z  y d z d x  z d x d y}



_



 

2 ( 2 2)32

d d

0

y x

y x



 2

第二项添加辅助面 , 再用高斯公式 计算 , 得

的矩形路径。

为连接点 其中

、

) 6 , 5 ( ), 6 , 5 ( ), 6 , 5 ( ), 6 , 5 (

, ) )

4 (

) 3 (

( 3 ) )

4 (

) 3 (

( 4

4 _{2 2 2 2 2 2 2 2}















 



 







 







D C

B A

L

y dy x

x y

x dx x

y x

y y

x I y

L

y dy x

dx x y

x I y

L 2 2  2  2





 解：

y dy x

dx x y

x

y

L 2 2 ( 3)2 ( 4)2

3 )

4 (

) 3 (

4







 







  

y P x

Q y

P x

Q



 







 



 _{1 1 2 2}







 

 

1

2

2 2

2 y

x x y

xdy

I ydx









   





 

1 )

4 (

) 3 (

2

2 2

2 ( 3) ( 4)

) 3 (

) 4 (

y

x x y

dy x

dx y

4



 8

轴正向看去为顺时针。

从

的交线，

与旋转抛物面 为球面

其中

、计算：

oz

y x

z z

y x

L

dz y

x dy

y x

yzdx x

I

L

2 2

2 2

2

2 2

2

1 5

, ) 1 (

) (

5



































 2

2 1

2

z

y L x

解： 













2 sin cos z

y x

L 













  d

I ⁰ [ 2cos sin cos (cos sin 1) 0]

2

2



^ 2 ^{    }



2

 

9

内的部分。

在柱体 为锥面

其中

、计算

x y

x

y x

z zds

2 , 6

2 2

2 2







 





dxdy z

z

ds  1 _x²  _y²

解：  2dxdy dxdy

y x

I

D

2

2 2 





dr r

d







 ^_  ^2cos

0 2 2

2

2 。

9 2

 32 10















 











2 2

2 2

2 2

0 ) ,

, , (

, ) , , ( )

( 7

2 2 2 2

y x

z

y x

z y z x

y x f

ds z y x f t

F

t z y x

，

其中

、求



 ^



2 1

) , , ( )

, , ( )

(

s s

ds z y x f ds

z y x f t

解：F





1

) , , (

s

ds z y x f

dxdy y

x t

ds t

2 2

2  











 



2 2 2 2

2 2

2 2

2 )

( )

(

y t x

dxdy y

x t

y t x

t

F .

6 2 5

8 ₄

t

  s₁

s₂ 11

轴夹角为锐角。

其法向量与

为有向曲面 其中

、计算

z z

y x

z

s zdxdy

dydz z

x I

s

), 1 0

(

, )

2 ( 8

2

2   











s1





^{  }



v s

dv

I (2 1)

1

解： 

2

 3







^

1

1 s

s

zdxdy ^{ }



D

dxdy

  

2 。



 

 I

12