drhuang.com

7.1 重积分

7.1.2 极坐标系下二重积分的计算

一、相关问题

1．写出下列常见曲线的极坐标方程：

y x_；x² y² 9；x² y² 6x；x² y² 6y

解：y  x  4 ；x² y²   9 r 3；x²y² 6x r 6cos ；

2 2 6 6sin

x y  y r 

2. 比较圆形域D：x² y²9下的二重积分 ( , )

D

f x y d



，分别在直角坐标系下和极 坐标系下对区域D的不等式组表示，哪种较简便？

解：在直角坐标系下： ₁ 3₂ 3 ₂

9 9

D x

x y x

  



    

 ^；

极坐标系下： ₁ 0 2

0 3

D r

 

  

  

 ^{，较简便。}

3. 写出极坐标系下积分区域的不等式组表示

（1）a² x²y² b²，且x0,y0_（a0,b0_）。

（2）x²y² 2ax、x²y² 2ay

（3）D{( , ) | 1x y   x y 1x²,0 x 1}

解：1. a² x²y² b²，且x0,y0（a0,b0）。

D： 0

2 a r b

 

  



  



2. x² y²2ax

a 2

 cos 2a r

r b ra

2 2

: 0 2 cos

D r a

  



  

  



3.D{( , ) | 1x y   x y 1x²,0 x 1}

0 ,

: 2

1 1,

sin cos D

r

 

 

  



  

 



二、有关知识

1. 写出极坐标系下二重积分计算的步骤和方法

解：用极坐标系中的曲线网分割区域D时，d rdrd



D f(x,y)d ^



D f(rcos,rsin)rdrd 极坐标系下二重积分的积分次序：

半射线  0与区域D边界曲线的交点不超过两个，则D为极坐标系下的简单区域。

方法：过原点作两条射线，使区域恰好在两条射线之间得    ；

过原点作射线交区域两边界曲线于两点，得 1( ) r  2( )，从而D：

1( ) r 2( )

  

   

  

  

 ^，于是

( cos , sin )

D f r  r  rdrd



^d ^{ }₁²( )^{( )} f r( cos , sin )r rdr

     



 

三、练习题

1． 将 二 重 积 分 ( , )

D f x y d



化 为 极 坐 标 系 下 的 二 次 积 分 ， 其 中 积 分 区 域 D为

2 2 2 2

a x y b ，且x0,y0（a0,b0）。

O )

1(





r r₂()

解：D： 0

2 a r b

 

  



  



，则 ( , )

D f x y d



₀^{2 b} ( cos , sin )

d a f r r rdr

   



 

注：①注意到两组积分限均为常数。因此如果积分区域为上述的环形或圆形区域，被积函 数中含有x²y²，可以考虑使用极坐标。

②最常用的三种圆的极坐标方程：x²y² a²—r a

2 2 2

(x a ) y a —r2 cosa  x²(y a )² a²—r2 sina 

2．将二重积分 ( , )

D f x y d



化为极坐标系下的二次积分，其 中积分区域D分别为x²y² 2ax、x²y² 2ay

解 ： （ 1 ） ( , )

D f x y d









 ^_  ^{2 cos}  

0 ( cos , sin )

2 2

a f r r rdr

d

（2） ( , )

D f x y d



^



0^d^



0^2asin f(rcos^,rsin^)rdr

3．将二次积分 2

1 2 2 2

0 1 ^y1 ( )

dy ^ y f x y dx

  

 

化为极坐标系下的二次积分。

解：D： 0 ₂ 1

1 1 2

y

y x y

  

     



D： ₂⁴

sin cos

0 0 r



 





  

  

 ^及

4 2

0 r 2cos

  



  

  



2

1 2 2 2

0 1 ^y1 ( )

dy ^ y f x y dx

  

 

^



^{Df x( 2y d2) } 



D f r rdrd^{( )2} 

 sin 2a r

a 2

 cos 2a r

1 1 2

x  y

2 x y 2cos

r 

2 sin cos

r _{ }

0 ¹ 2

4 sin 2cos 2 0^d 0 ^{ } f r rdr( )



 

^

 

^₄^{2d 02cos f r rdr( )2}

四、思考题

1. 在什么情形下使用极坐标系下计算二重积分？

答：坐标系下计算二重积分也要化为二次累次积分，当被积函数含有x²y²或积分区域与 圆，圆环及其一部分时，采用极坐标计算要方便一些。