体积

Ⅱ 。求微元

] ,

[ ]

,

[ x x  dx  a b 上的部分量

 U

的近似值 dU  f ( x ) dx

Ⅲ 。求积分 ^ 

^b

a

dx x

f

U ( )

6.1 元素法求量 U 的步骤

Ⅰ 。选择积分变量 x [a,b]; ∈

一、直角坐标情形

x y

o

A

a b

) (x f y 





^b

a

f x dx

A ( )

x y

o

A

a b

)

2(x f y 

)

1(x f y 

 ^



^b

a

f x f x dx

A [

₂

( )

₁

( )]

6.2 平面图形的面积

)) (

) (

(  y   y

 ^



d

c

dy y

y

A [  ( )  ( )] ^c

d

dy y 

y

) ( y x 

x   (y)

二、曲边为参数方程

 







) (

) (

t y

t x





2 1

( ) ( )

b t

a t

A   ydx     t ^ t dt

^{a b x}

y

o

) (x f y 

三、极坐标情形

o x





d



) (



 r



 ^

   d

A [ ( )]² 2

1





o x

)

2(



 r )

1(



 r



^

 ^

     d

A [ ( ) ( )]

2

1 ₂

1 2

2

, )

(x dx A

dV 

. )



(

 ^b

a A x dx

V

o _a

^x

^{x  dx} _b x

6.3 体 积

一、平行截面面积为已知的立体的体积

) ( x

A

_表示过点

x

且垂直于

x

轴的截面面积，

解 : 如图 :x 轴为平面与圆柱体底面交线， y 轴为过圆 心且垂直于 x 轴的直线。

1⁰ 取 x 为积分变量， x

∈ [-R,R]

底圆方程为 x²  y²  R²

 R

 R

x o y

2

⁰ _截面面积 ^{( )tan ,}

2 ) 1

(x R² x² 

A  

3

⁰ _体积V ^R _{R x dx}

R( )tan

2

1 ₂  ₂







. 3 tan

2 R₃ 



x



R

 R

x o y

x

2 2

y  R  x

2 2 tan

R  x



截面面积 ( )tan , 2

) 1

(x R² x² 

A  

立体体积 V ^R R x dx

R( )tan

2

1 ₂  ₂





 tan .

3

2 R₃ 



旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一 条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋 转轴．

圆柱 圆锥 圆台

二、旋转体的体积

( ) [ , ] f x  C a b

dx x

f

dV   [ ( )]

²

dx x

f

V

^b

a

)]

2

(

 ^ [



x y

o

) (x f y 

x x  dx

( ) [ , ] x   y  C c d





d

c

dy y

V  

²

( )

^x

y

o

) ( y x  

d 2

( )

dV   y dy

^y+dyy

) ( y x  

二、 旋转体体积

dx x

f

V

^b

a

)]

2

(

 [

 

dy y

V

^d

c

)]

2

( [ 

 



c

d

x y

o

) ( y x  

x y

o

_{x  dx}

例 1 求椭圆

2

1

2 2

2

 

b y a

x

分别绕

x

_轴和

y

轴旋转一周所成的旋转椭球体体 积

① 由半椭圆 a² x² a

y  b 

及

x

_{轴所围图形绕}

x

_{轴旋转而成} ^.

2 2 2

1 2

( )

a

a

V b a x dx

 a



   ^{ 4} ₃ ^{ ab}

²

解：

② 由半椭圆 b² y² b

x  a 

及

y

轴围成图形绕

y

轴旋转而成 .

2 2 2

2 2

( )

b

b

V a b y dy

 b



   ^{ 4} ₃ ^{ a}

²

^b

特别当

a

=

b

时

旋转体成为球体 _{1 2} ³

3

4 a V

V   

解 ³

,

2 3

2 3

2

x a

y  



3 3 2 3

2

2 



 



 



 y a x x [a, a]

旋转体的体积

V

^a

a x dx

a

3 3

2 3

2

 

 



 



 

 .

105

32 ₃

a



面积： P140 4 ；弧长 P145 3

dx x

f

V

^b

a

)]

2

(

 [

  x

y

o

_{x  dx}

 





 1

4 y

xy

交点 ^(4,1), 立体体积 V_y ^{ }



1^ x dy

2

y dy



^



 1 2

16 ^









1

16

y ^{ 16.}

y

o x

练习 1 ：

求 曲 线 xy  4 _， y  1 _， x  0 _{所 围 成}

的 图 形 绕 y _{轴 旋 转 构 成 旋 转 体 的 体 积}

^.

(4,1)