第三节 定积分的换元法和分部积分法

二、定积分的分部积分法

第三节

不定积分

一、定积分的换元法

换元积分法

分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法

定积分的换元法和

分部积分法

第五章

一、定积分的换元法

定理

1.

设函数

f (x)C[a,b],

_单值函数

x  (t)

_满足

1) (t) C¹[ ,  ], :

2)

在

[ ,  ]

_上

a  (t)  b,

; )

( ,

)

(  a    b



t f

x x

b f

a ( )d



[ ] d



^ _^{ (t) (t)}

证

:

所证等式两边被积函数都连续

,

因此积分都存在

且它们的原函数也存在

.

设

F(x)

是

f (,x)

的一个原函数

,

是 的原函数

,

因此有

则



_a^{b f (x) dx  F(b)  F(a)  F[( )]  F[()]}

t

f [ ] d



 ^

 (t) ^(t) ]

[

F (t) ^{f [}^{(t) ]}^(t)

则

说明 :

1)

当

 <  ,

即区间换

为

[ ,]

时 ， _定理

1

仍成立

2)

必需注意换元必换限

,

原函数中的变量不必代回

. .3)

换元公式也可反过来使用

,

即

^b f x x (

令

x  (t))

a ( )d





或配元

^



_^{ f} [ ^(t) ] ^d(t)

配元不换限

t

f [ ] d



_^{ (t) (t)}

t f

x x

b f

a ( )d



[ ] d



^ _^{ (t) (t)}

t

f [ ] d



_^{ (t) (t)}

例

1.

计算

d ( 0).

0

2

2  



^{a a x x a}

解

:

令

x  asint ,

则

dx  a cost dt ,

; 0 ,

0 

 t

x

时

当

x  a

时

, t  ₂^π.

∴ 原式

=a²

t a t

d ) 2 cos 1

2 (

2π

0

2



^



) 2 2sin

( 1 2

2

t a t 



0

π2

4 π a²





₀^{2π cos2 t dt}

O

2

2 x

a

y  

x y

a S

且

例

2.

计算

d . 1

2

2

4

0 x

x



x ^_

解

:

令

t  2x 1,

_则

, d d , 2

2 1

t t t x

x   

, 0

时

当

x  x  4

时

, t  3 .

∴ 原式

=

t t t

t

2 d

3 1

2 1

2



^{ }

t t 3) d 2 (

1 ³

1



2 ^



) 3 3

(1 2

1 ₃

t t 

 1

3

3

 22

;

1 t

且

例

3.

设

f (x)C[a, a],

证

:

(1)

若

f (x)  f (x),

^则 

_^a_a ^{f (x)dx  2}



₀^{a f (x)dx}



_^a_a ^{f (x)dx} 

(2)

若

f (x)   f (x),

^则 

_^a_a ^f (^x)d^x  0 x

x

a f ( )d



_0 ^



₀^{a f (x)dx}

t t

a f

d )

0 (



^

 ^a f (x) dx



0



x x

f x

a f

d ] ) ( )

(

0[



^{ }



, d ) (

2



0^a f x x ^{f (x)  f (x)}

^时 时

) ( )

( x f x

f    ,

0

偶倍奇零

t x  

令



例

4.

设

f (x)

是连续的周期函数

,

周期为

T,

证明

：

^{a T} f x x ^T f x x

a ( )d ( )d

) 1

(



^{ }



0

解

: (1)

记

0^nπ 1 sin 2 d I 



 x x

, d ) ( )

(a ^{a T} f x x



a ^

 

) ( )

( )

(a  f a  T  f a

  0

无关，

与

可见

 (a) a

因此

 (a)   (0),

), (

d ) ( d

) ( )

2

(



a^{anT f x x}  ⁿ



0^{T f x x n} N

并由此计算

则

即

x

x f x

x

f ^T

T a

a ( )d ( )d



0



^{ }

(2) ^{a nT} f x x

a ( )d



^{ n} _a^a _kT^{kT T f x x}

k

d )

1 (

0





^ _^{ }





x

n x

d 2 sin

0 1



^{ }

), (

d ) ( d

) ( )

2

(



a^{anT f x x}  ⁿ



0^{T f x x n} N

并由此计算

, )

1

( a

kT

a

看作 中的

将



) (

d )

0 ( N

 ⁿ



^{T f x x n}

为 是以

 x

2 sin 1

周期的周期函数

x

n x

d 2 sin

0 1



^{ }

x x n 1 sin 2 d



0 ^

 ^

x x

f x

x

f ^T

T kT a

kT

a ( )d ( )d



0



^{  }

则有

x x f

x x f

T T a a

d ) (

d ) ( )

1 (



0







x x n

x

n x

d 2 sin 1

d 2 sin

1 0

0





^{    }

x x

x

n (cos sin ) d

0



^ 2

 ^

x x x

n cos sin d



0 ^

 ^

x x

n 2 sin( ) d

0 4



^

 ^{ }

4



 x

令

t

t t

n 2 ⁵⁴ sin d



4

 _ ^

t t

n 2 sin d



0

 ^

t t n 2 sin d



0

 ^  2 2 n

x x

f

x x

f

T T a a

d ) (

d ) ( )

1 (



0







二、定积分的分部积分法

定理

2.

设

u(x), v(x)C¹[a, b] ,

^则

) ( ) ( d

) ( )

(x v x x u x v x

bu

a  



^b_a ^

^

^{abu(x)v(x)dx}

证

:  [u(x)v(x)]  u(x)v(x)  u(x)v(x)

) ( )

(x v x

u a

b u x v x x ^bu x v x x

a b

a ( ) ( )d  ( ) ( )d



 



^

 ^b

au(x) v (x) dx  u(x)v(x) a

b ^



_a^{bu(x)v(x)dx}

上 上 上

上 上 上

[a,b]

例

5.

计

算

¹²arcsin d .



0 ^{x x}

解

:

原式

= x arcsin x 0

12



 ¹²

0 x

x

x d

1 ² 12

 π (1 ) d (1 ) 2

1 ₂

0

2 ₂¹

21

x

x 







^

12

 π  (1 x²)²¹ 0

21

12

 π

2

 3 1



 ^2π

0 cosⁿ t dt



 ^2π

0 cosⁿ x dx

例 6. _证明

^{In }



₀^{2π sinn x dx}

证

:

令



 ^2π

0 cosⁿ x dx

 ⁿ_n^1



_nⁿ_^₂³

  

₄³



₂¹



^π₂

,

ⁿ

^为偶数

3

,

5 2 2 4

3

1



_^

  

 _nⁿ



nn n

为奇数

2 ,

π x

t  

则



₀^{2π sinn x dx  }



⁰ 2π ^

2π sinⁿ( t)dt

令

u  sin^n1 x, v  sin x,

_则

u  (n 1)sin^n2 xcos x, x

v  cos

] sin

cos

[ x ¹ x

I_n    ^n

 0

π2



^



 ^2π

0

2

2 cos d

sin )

1

(n ⁿ x x x

0



^



 ^2π

0

2

2 cos d

sin )

1

(n x x x

I_n ⁿ



^



 ^{2π }

0

2

2 (1 sin ) d sin

) 1

(n ⁿ x x x

) 2

1

(  _

 n I_n  (n 1) I_n

由此得递推公式

I_n  ⁿ_n^1 I_n2

于是

I_2m  ²₂^m_m^1

1 

2m

I ₂²_m^m_1

而

I₀ 



₀^{2π dx} 2 ^,

 π



 ^2π

0 sin xdx

I_n ⁿ



 ^π2

1 0 sin x dx

I 1

故所证结论成立

.

I0

I1 2

2 

 I _m

2 22 3

 mm

4 2 

 I_m



₄³



¹₂



1 2 

 ²I₂^m_mm^_1²  I_2m



_35⁴



₃²



内容小结

基本积分法 换元积分法 分部积分法

换元必换限 配元不换限 边积边代限

思考与练习

1.

提示

:

令

, t x u  

________

d ) (

d sin d

0

100  



^{x t t}

x

x

则

t t

x x

d ) (

0sin



100 ^{  }



_x^{0sin100 udu}

100 x sin

2.

设

f (t)C ¹, f (1)  0 , ³ ( ) d ln ,

1^x f  t t  x

 ^求

^{f (e).}

解法

1. ^{ln x }



₁^{x3 f (t)dt  f (x3)  f (1)  f (x3)}

3, x u 

令 得

f (u)  ln³ u  ₃¹lnu f (e)  ¹₃

解法

2.

对已知等式两边求导

,

x x

f

x² ( ³) ¹

3  

3, x u 

令 得

f (u)  ₃¹_u

) 1 ( d

) ( (e) ^e

1 f u u f

f   







 ^e

1 3 1

1 _u du  ₃¹

思考

:

若改题为

x t

t

x f

ln d

)

3 (

1

3 





? (e)  f

提示

:

两边求导

,

得

₃

3

) 1

(x x

f  



^

 ^e

1 ( )d

(e) f x x

f

得

3.

设

f (x)

在

[0,1]

连续

,

且

f (0) 1, f (2)  3, f (2)  5,

求

¹ (2 )d .

0 x f  x x



解

:



₀^{1x f} ^(2x)dx  ₂¹



0¹x ^d f ⁽²x⁾



¹

0

) 2 2 (

1 x f  x

 ^{1 f (2x)dx}





0 ^





 2

5 ¹

0

) 2 4 (

1 f x

 2

(

分部积分

)

作业

P253 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ;

3 ; 7 (4), (9), (10)

备用题

1.

证明 证：



^

 ²

π

d sin

)

( ^x

x x x

x

f

_是以



为周期的函数

.



^ ^



 ^{π π2}

π sin d

) π

( ^x

x u u

x f

 π

 t

令

u



^{ }

 ^{x 2π} sin( π) d

x t t



^

 ^{x 2π} sin d

x t t ^



^xx^{2π sin} x ^dx )

(x

 f )

(x

 f

_是以

_

_{为周期的周期函数}

_.

证：

2.

右端

, ]

, [ )

(

在 上有连续的二阶导数

设

f x a b

且

f (a) 

试证 

_a^{b f (x)d x } ₂¹



_a^{b(x  a)(x  b) f (x)d x}



^{  }

 ^b

a (x a)(x b) d f (x) 2

1

 

a

x b

f b x

a

x )( ) ( )

2 (

1   



x b

a x

x

b f

a ( )(2 ) d

2

1



^{  }



分部积分

) ( d ) 2

2 (

1 ^b x a b f x



a ^{ }





_{再次分部积分}

x x

b f

a ( ) d



 



a

x b

f b a

x ) ( )

2 2 (

1  



 =

左端

, 0 )

(b  f