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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 2 2 章 一元函数微分 章 一元函数微分 学 学

高等数学 A

2.1 导数及微分

2.1.6 函数的和、积、商的导数

2.1.7 反函数的导数 2.1.8 复合函数的导数

2.1 导数及微分

导数基本公式 导数基本公式

反函数的求导法则

复合函数的求导法则

2.1.6

2.1.6 函数的和、积、商的导数函数的和、积、商的导数 ^{导数的四则运算导数的四则运算}

求函数导数习例 1-5

2.1.7

2.1.7 反函数的导数 反函数的导数

反函数的求导数习例 6-9

2.1.8

2.1.8 复合函数的导数复合函数的导数

复合函数求导数习例 10-17

导数基本公式 导数基本公式

初等函数求导数的习例

初等函数求导数的习例 18-2018-20

内容小结

课堂思考与练习

导

数

及

微

分

复习上节推导的基本初等函数的导数公式

( ) C   0.

(sin ) x   cos . x

) (

. )

( x

^

   x

^1

  R

)

( x  .

2 1

 x

) (

1)

(   x^1  x

1 . x2





2

( ) 1,

( ) 2 , x

x x

 

 

3 2

3

3 ) 1

( x   x

( ) a

^x

  a

^x

ln . a ( e

^x

)   e

^x

.

(cos ) x    sin . x

  ) 4 (

^x

  ) ( a

^bx

b x

b

a

a ) ln

 (  ba

^bx

ln a

4 ln 4

^x

) )

(( a

^{b x}



) 0

( a  、 b 为常数

例 1

一、导数的四则运算

定理 1 ：设函数u  u(x), v  v(x)都在x处可导,则



^{( ) ( )}



^{( ) ( )}

) 1

( u x  v x   u x  v x



^{( ) ( )}



^{( ) ( ) ( ) ( )}

) 2

( u x  v x   u x v x  u x v x



^{( )}



^{( )}

) 3

( Cu x   Cu x

) 0 )

( ( )

(

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ) (

4

(  ₂  









x x v

v

x v

x u x

v x u x

v x u

 

), (

) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) 5 (

x w

x v x u x

w x v

x u x

w x v x u

x w x v x u

 

 

 



).

0 )

( ( )

( ) ( )

( ) 1 6

( ₂ 











x x v

v

x v

x v

证明 :

则 设 ( ) ( ) , (1) y  u x  v x

x

x v x

u x

x v x

x u x

y y

x

x 













 



 

    

) ( )

( )

( )

lim (

lim0 0

x v u

x 





 



lim0 lim ( ) ( ) ( ),

0 u x v x

x v x

u

x    



 



 







^{( ) ( )}



^{( ) ( ).}

u x  v x   u x  v x





^{( ) ( )}



^{( ) ( ).}

u x  v x   u x  v x 同理

此法则可推广到任意有限项的情形 .

w v

u w

v

u   )        (

例如 ,

例如 ,

(2) ( ^{u v} )   ^u  ^v  ^{u v }

证 : 设f (x)  u(x)v(x) , 则有 h

x f h

x x f

f h

) ( )

lim ( )

( 0



 

  h

x v x u h

x v h x

u

h

) ( ) ( )

( ) lim (

0





 



故结论成立 . )

( ) ( )

( )

(x v x u x v x

u  



  

  h

h x

u

h

)

lim (

0

) (x

u v(x  h)



 

h

x v( )

)u(x v(x  h)

推论 : 1) (C u ) 

  ) (

)

2 uvw

u C 

w v u w

v u w

v

u    

( C 为常数 )

1 2 1 2

1 1 1

3) ⁿ _i( ) ( ) ( ) _n( ) ( ) ( ) _n( ) ^{n n} _i( ) ( );_k

i i k

k i

f x f x f x f x f x f x f x f x f x



 



        

 





 ^{  }

 

则 设 ,

) (

) (4) (

x v

x y  u

x

x v

x u x

x v

x x

u x

y y

x

x 

 







 

 

    

) (

) ( )

(

) (

lim

lim0 0

x

x v

x u v

x v

u x

u

x 

 







  

) (

) ( )

( ) ( lim0

x x

v v x

v

v x

v x u x

v u x

u

x   









 



 [ ( ) ] ( )

] )

( )[

( )

( ] )

( lim [

0

x x

v v x

v

v x

u x

uv

x   





 



 [ ( ) ] ( ) ) ( )

lim (

0

) ( ] )

( [

) ( )

(

lim0 v x v v x x x u

x v x v

u

x  

 





  

), 0 as

0 (

)

(

) ( ) ( )

( ) (

2     

  v x

x v

x v

x u x

v x u

).

0 )

( ( )

(

) ( ) ( )

( ) ( )

( )

(  ₂  









 v x

x v

x v

x u x

v x u x

v x u

注意 : ^{[u( x) v(x)]  u(x) v(x);}

) . (

) ] (

) (

) [ (

x v

x u

x v

x u



 



)

2

( 1

: v

v v

 

  特别地

x x

x

x x

e e e e e







 





 



2

) (

1 ) ( )

( 如:

4. f x ( )  shx , f x  ( ).

例设求

).

( ,

cot )

(

2. 设 f x  x 求 f  x 例

).

( ,

csc )

( .

3 设f x  x 求f  x 例

求函数导数习例

5. ( ) cos , ( ).

1 sin

x x

f x f x

x 

  例设求

6. ( ) (0, ) , (0) , ( ) ( )

0 .

g x U g a f x xg x

x

  



例已知在内连续求 在处的导数

例 1 设y  a₀xⁿ  a₁x^n1  a_n1x²  a_n1x  a_n，求y.

例 1 解：

1 .

1 2 1 1

0x a x a x a x a y

a

y  ⁿ  ^n   _n  _n  _n，求 

设 

通常说，多项式的导数仍是多项式，其次数 降低一次，系数相应改变。

) ( )

( )

( )

( )

( ₀   ₁ ¹    ₂ ²   ₁   

  a xⁿ a x^n a_n x a_n x a_n

y 

1 2

2 1

1

0 ^  ( 1) ^   _ 2  _

 a nxⁿ a n xⁿ  a_n x a_n

).

( ,

cot )

(

2. 设 f x  x 求 f  x 例

解 : , sin ) cos

( x

x x

f 



x

x x

x x x

f ₂

sin

) (sin cos

sin )

) (cos

(   

 

x

x x

x x

sin2

cos cos

sin

sin 

  csc .

sin

1 ₂

2 x

x  

 

. csc

) (cot

x    ² x



. sec

) (tan

x   ² x

同理

).

( ,

csc )

( .

3 设f x  x 求f  x 例

解： ^,

sin ) 1

(x x

f 



x x x

f ₂

sin

) ) (sin

(   

 csc cot ,

sin cos

2 x x

x

x  

 

. cot csc

) (csc

x    x x



. tan sec

) (sec

x   x x

同理

4. f x ( )  shx , f x  ( ).

例设求

解 ^{y  (shx)  [}₂^{1 (ex  ex)]  1}₂^{(ex  ex )}

 chx .

x

x e

e^ )   ^ (

说明 : 类似可得

; sh )

(ch x   x (th x)

x x x

ch th  sh

sh 2

x

x e

x  e  ^

ch ; 1

2 x



5. ( ) cos , ( ).

1 sin

x x

f x f x

x 

  例设求

解： ₂

) sin 1

(

) sin 1

( cos )

sin 1

( ) cos ) (

( x

x x

x x

x x x

f 

 



 

 

)2

sin 1

(

cos cos

) sin 1

)(

sin (cos

x

x x

x x

x x

x







 

)2

sin 1

(

) 1 (sin

sin cos

cos

x

x x

x x

x







 

sin . 1

cos

x x x



 

6. ( ) (0, ) , (0) , ( ) ( )

0 .

g x U g a f x xg x

x

  



例已知在内连续求 在处的导数

解 :

x f x

f f

x

) 0 ( )

lim ( )

0

( 0

 

 

x x xg

x

0 )

lim (

0

 



) ( lim0 g x

x



. )

0

( a

g 



点 (x, y) 处的切线相同 . y



T

A(x,y)

x x

O

 y

若 y =  (x) 的反函数 x = f (y) 存在 , 则 x = f (y)

与 y =  (x) 的图形相同 , 故 x = f (y) 与 y =  (x) 在

 是 y = 

(x) 的图形与

x 轴正向的夹 角 .

 是 x = f

(y) 的图形与 y

轴正向的夹 角 .

) ( ' tan

^tan   f ^'( y⁾

  f y

  2     2  

二、反函数的求导法则







  )

tan(2 tan

)

(y

  

f

) 0 )

(

(   x 

反函数的导数是其直接函数导数的倒数 . 反函数的导数是其直接函数导数的倒数 .

) ( 1 tan

cot 1

 x

 

 





定理 2

：

). ( ) 1

(

, )

(

, 0 )

( ,

) (

x y f

I x

f y

y I

y x

x y







 





 



且有 内也可导

在对应区间 那末它的反函数

且 内单调可导

在某区间 如果函数

1 .

dy dx dx

dy  或

证明： x  I_x,给x以增量x(x  0, x  x  I_x ) ,

)

( 的单调性可知 由y  f x

0 )

( )

(    



y f x x f x

, 0 )

( )

(  

 y y

x  _可导且

又

. 0 0

, )

(    

 f x x y

y 连续 即 时

故

x x y

f x 

 

 



lim0

) (

y

y x



 





lim 1

0

) . ( 1

 ^ y



反函数的求导数习例

. ,

arcsin .

6 设y  x 求y 例

. ,

cot arc

.

7 设y  x 求y

例

. ,

log .

8 设y  _a x 求y 例

. ,

arsh .

9 设y  x 求y 例

. ,

arcsin .

6 设y  x 求y 例

解： ^{ y  arcsin x,}

. 2]

2 , [

,

sin 的反函数

则它是 _{  }  y

y x

y dy y

dx  (sin )  cos  1  sin² y  1  x². 1 .

1 1

x2

dy dx dx

dy

 





1 . ) 1

(arcsin ₂

x x

  即 

1 . ) 1

arcsin ( 2

) (arccos

x2

x

x        

. ,

cot arc

.

7 设y  x 求y

例

解：  y  arccot x,

, )

, 0 ( ,

cot 的反函数

则它是 x  y y   y

dy y

dx ₂

csc )

(cot   

  (1  cot² y)  (1  x²).

1 . 1

1 ₂

x dy

dx dx dy

 







1 . ) 1

cot arc

( ₂

x x

 

  即

1 . ) 1

cot 2 arc

( )

(arctan ₂

x x

x       

. ,

log .

8 设y  _a x 求y 例

解：  y  log_a x 是 x  a^y 的反函数, 由反函数的求导法则得 ,

) (

) 1

(log   

  _{a y}

x a

y a^y lna

 1

a x ln

 1

a x x

a ln

) 1 (log  



x 1x )

(ln  

. ,

arsh .

9 设y  x 求y 例

解： _ ^{y  arshx,} . shy x 

则

) sh ( ) 1

arsh

(   

x y

y ch

 1

1 . 1 sh

1 1

2 2 y   x

 



^{ln(x  1 x2 )}



^{ } _1¹ _x^{2 .}

三、复合函数的求导法则 定理 3:

).

( )

(

, )]

( [

, )

( )

( )

2 (

, )

( )

1 (

x g

u dx f

dy

x x

g f y

x g u

u f y

x x

g u

 

 









且其导数为 可导

在点 则复合函数

可导 在对应的点

可导 在点

函数 如果

.

dx

du du

dy dx

dy   或

证明： _ ^{y  f (u) 在 u处可导, lim ( ),}

0 f u

u y

u  







即

), (

)

(u u

u f

y    



   lim ( ) 0,

0  



 u

u 

其中 )

( )

(u u u u

f

y      

 

即

, )

( )

(

x

u u x

u u x f

y



 

 

 

 

 

从而 lim 0,

0  



 u

且 x

] )

( )

( [

lim

lim0 0 x

u u x

u u x f

y dx

dy

x

x 

 

 

 

 

 

     

dx u du f ( )

  f (u)g(x).

注意 : (1) 定理 3 也称为链式法则 , 可加以推广 .

)]}

( [ { ,

) ( ),

( ),

(u u g v v h x y f g h x

f

y    可导 则 

即若

.

, dx

dv dv

du du

dy dx

dy    且

可导

).

( ) ( )

(u g v h x dx f

dy    

关键 : 搞清复合函数结 构 , 由外向内逐层求导 .

y u v x

(2) 利用复合函数的求导法则来解决求导问题时 , 关键在 于正确地把一个函数分解成几个简单函数 , 而这些函 数的导数是我们会求的 .

而且在熟练掌握复合函数的分解后 , 可不必明显设出 中间变量 .

复合函数求导数习例

. 1 ,

arctan .

10 y

y  x 求 

设

例 , .

1 cos 2 .

11 ₂ y

x

y x 

  求

设 例

. ,

cos ln

.

12 设y  e^x 求y

例

例设求 13. y x 

^x

, y  .

. ,

.

14 ^设y ^

e

^{sin2 1x 求}y^

例 , .

1 . 1

15 y

x x x

y 



  求

设 例

. ,

) ( , )]

( [ sin )

(sin .

17 设y  f ² x  ² f x f x 可导 求y 例

16. y  ln(| |), x y  .

例设求

. 1 ,

arctan .

10 y

y  x 求 

设 例

解 : 设 y  arctan u, ¹ _, u  x

dx du du

y  dy u

u  

  ₂ 1

1



 

 



 



 

 ₂ 1₂

1 1

1

x x

1 . 1

x2

 







 







 



 

 x

x

1 1 1

1

2

. 1 ,

cos 2 .

11 ₂ y

x

y x 

  求

设 例

解： 设 ^{y  cosu,} , 1

2 x2

u x

 

dx du du

y  dy   sinu u

2 2 2

2 (1 )

2 2

) 1

( 2 1

sin 2

x

x x

x x

x







 

 



1 . sin 2 )

1 (

) 1 (

2

2 2

2 2

x x x

x

 



 

1 ) ( 2 1

sin 2 _{2 2} 

 

 

 x

x x

x

. ,

cos ln

.

12 设y  e^x 求y 例

解： ^{y  (lncosex )}

) cos (cos

1 

 _x e^x

e

) )(

sin cos (

1  

 _x e^x e^x

e

x

x e

e tan





即由外层向内层逐层求导的各层 导数乘积的导数 , 对外层求导时

其内层保持不变

解：

13. y x 

^x

, y  . 例设求

ln

x x x

x  e



x

ex ^ln

 (xln x)  x^x(ln x 1)

( )

^x

(

^{x x}ln

) y  x  e 

  

. ,

.

14 ^设y ^

e

^{sin2 1x 求}y^ 例

解：





 



 



e

^x

y ^{sin2 1}





 



 

e

^{sin2 1x sin2 1}x





 



 



e

^{sin2 x1 2sin 1}x ^{sin 1}x





 



 



e

^{sin2 1x 2sin 1}x ^{cos 1}x ¹x



 

 



 ^{sin 1} 1 1₂

1 cos sin

2 2

x x

e

^x x

x¹2

e

^{sin 1xsin 2}x

 2



. 1 ,

. 1

15 y

x x x

y 



  求

设 例

解：





 







 

 x

x x

y 1

1 



 







 



 

x x x

x x

1 1 1

1





 







 



 

 

 

x x x

x x x

x

1 1 1

1 2

1 1

1

)2

1 (

) 1

( )

1 ( 1

1 2

1 1

1

x

x x

x x x

x x









 



 

 

 

1 . 1 )

1 1 (

1

2 x

x x

x x

x





 



 

16. y  ln(| |), x y  . 例设求

证： y=ln|x|= lnx, x>0 ln(–x), x<0 当 x>0 时， y'=(lnx)'=

x 1

当 x<0 时， y'=(ln(–x))'= ^{1 ( )' 1 .} x x

x   

 综上所述： 1 .

|)'

|

(ln x  x

. ,

) ( , )]

( [ sin )

(sin .

17 设y  f ² x  ² f x f x 可导 求y 例

解： ^{y } _dx^d



^{f 2(sin x)  sin2[ f (x)]}



)]

( [ sin )

(sin 2

1

2

2 x f x

f 



)]

( [ sin )

(sin 2

2

2 x f x

f 



)]

( [ sin )

(sin

2

2 x f x

f 



 

^

 (sin ) )

(sin

2 f x f x ^{ 2sin[ f (x)]}



^{sin[ f (x)]}



^



^{f 2(sin x)  sin2[ f (x)]}



^

x x

f x

f (sin )  (sin ) cos  2sin[ f (x)]cos[ f ( x)] f (x)

** 设 y=f (x) 可导，写出下列函数关于 x 的导数 1) y=sinf (x) y'=cosf (x)f '(x)

2) y=e ^{f (x)} y'=e^{f (x)}f '(x) 3) y=lnf (x) (f (x)>0)

4) y=f (sinx) y'=f '(sinx)cosx )

(

) ( ' '

x f

x y  f

5) y=f (e^x) y'=f '(e^x)e^x

6) y=f (lnx) _{' '(ln )} ¹ _.

x x f

y 

四、熟记基本初等函数的导数公式 1. 基本初等函数的导数公式

0 )

)(

1

( C   (2)(x^ )  x^1 x

x) cos )(sin

3

(   (4)(cos x)  sin x

x x) sec² )(tan

5

(   (6)(cot x)  csc² x

x x

x) sec tan )(sec

7

(   (8)(csc x)  csc xcot x a

a

a^x ) ^x ln )(

9

(   (10)(e^x )  e^x

a x x

a ln

) 1 )(log

11

(  

x 1x )

)(ln 12

(  

1 2

) 1 )(arcsin

13

( x x

 

 1 2

) 1 )(arccos

14

( x x

 

 

1 2

) 1 )(arctan

15

( x x

 

 ₂

1 ) 1

cot arc

)(

16

( x x

 

 

x x

2 ) 1

)(

17

(  

2

1 ) 1

18

( x    x



 





2. 导数的运算法则



^{( ) ( )}



^{( ) ( )}

) 1

( u x  v x   u x  v x



^{( ) ( )}



^{( ) ( ) ( ) ( )}

) 2

( u x  v x   u x v x  u x v x



^{( )}



^{( )}

) 3

( Cu x   Cu x

) 0 )

( ( )

(

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ) (

4

(  ₂  









x x v

v

x v

x u x

v x u x

v x u

, )

5

( dx

du du

dy dx

dy 



^{f (g(x))}



^{  f (g(x)) g(x)}

 

^,

) ( ) 1

( )

6

( ¹

y x f

f _   

dy dx dx

dy  1

初等函数求导数的习例 初等函数求导数的习例

. ),

ln(

.

18 ^{2 2}

dy x dx

a x

y 求

设

例   

. ,

3 3

.

19 ^{3 3}

dx x dy

x

y ^{x x} 求

设

例    

. ),

4 )(

3 (

) 2 )(

1 ln (

.

20 dx

dy x

x

x

y x 求

设

例  



 

例 21. 设f (x)  (x  a)



(x), _其中



(x) _{在 x  a}

)

(a

f 

_。

求

处连续 ,

例 22. 设f (x)  x (x 1)(x  2)(x  99), _求 f (0).

. ),

ln(

.

18 ^{2 2}

dy x dx

a x

y 求

设

例    解：

)

1 ( _{2 2}

2

2   



  x a x

x a

dx x

 dy



 



   

 



  ( )

2 1 1

1 _{2 2}

2 2

2

2 a x

x a

x a

x



 





 



 

2 2

2

2 2

1 2 1

x a

x x

a x

2 2

2 2

2 2

1

x a

x x

a x

a

x 







  1 .

2

2 x

a 



2.

2 x

dy a

dx  

