函数单调性的判别法

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第2章 一元函数微分学

高等数学A

2.3 导数的应用

2.3.1 函数的单调增减性的判定

2.3.2 函数的极值及其求法

2.3.3 最大值及最小值的求法

2.3 导数的应用

2.3.1 函数的单调增减性的判定

函数的单调性判别法 函数的单调性习例1-6

2.3.2 函数的极值及其求法

函数的极值判别法 函数的极值习例7-11

2.3.3 函数的最值及其求法

函数的最值判别法 函数的最值习例12-14

课堂思考与练习

导 数

的 应

用

.函数单调性的判别法 一

1. 定义：x₁, x₂  I,

; )

( ),

( )

(

, _{1 2}

2

1 时 若 则 在 上单增

当 x  x f x  f x f x I

. )

( ),

( )

(

, _{1 2}

2

1 时 若 则 在 上单减

当 x  x f x  f x f x I

具有正斜率的切线

x o

y

) (x f y 

0 )

( 

 x

f g( x)  0

具有负斜率的切线

x o

y y  g(x)

2. 判别法

定理1. 设 f (x) 在区间 I上可导.

; )

( ,

0 )

( ,

(1) 若对于一切x  I f  x  则 f x 在 I上单增 . )

( ,

0 )

( ,

(2) 若对于一切x  I f  x  则 f x 在 I上单减 证明: x₁  x₂  I. 在[x₁, x₂]上用Lagrange中值定理得,

.

), )(

( )

( )

(x₂ f x₁ f x₂ x₁ x₁ x₂

f   



 





. 0 x₂  x₁  又

).

( )

( ,

0 )

( 0

) (

(1) 若 f  x   f 



 则 f x₂  f x₁

; )

(x 在 I上单增

 f

).

( )

( ,

0 )

( 0

) (

(2) 若 f  x   f 



 则 f x₂  f x₁ .

)

(x 在 I上单减

 f

注意:

(1) 该判别法为充分条件判别法.

(3) 判别法中的区间可以是开区间、闭区间和无穷区间.

(4) y=f(x) 连续可导的条件不可少，有导数不存在的点

时，函数的单调性须重新考虑.

(5) 对于连续函数，用导数为0的点和导数不存在的点来 划分定义区间，就可得出各部分区间上函数的单调性. (6) 利用判别法可以判定函数的增减性、求单调区间，

还可证明不等式、讨论根的存在性.

(2) 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这

一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符

号来判别一个区间上的单调性．

例1. 设 f (x)  xe^x2 , 判定其单调性并求单调区间. 例2. 确定 y  ³ x²的单调区间.

例3. .

1

arctan )

1 ln(

,

0 x

x x

x  时 证明   

当

例4. .

1 1

1

b b a

a b

a b a

 

 



 证明 

例5. 设 f (x)在0  x  a上二次可微, ^{且f (0)  0, f (x)  0,} .

) , 0 ) (

( 在 内单增

证明 a

x x f

例6. 方程ln x  ax (a  0)有几个实根.

函数的单调性习例

. ,

) ( .

1 设 ² 判定其单调性并求单调区间 例 f x  xe^{ x}

解: f (x)的定义域为(,).

) 2 ( )

(x e ² xe ² x

f   ^x  ^x   e^x2(1  2x²), ,

0 )

( 

 x

令 f .

2 x   2

得 列表讨论如下:

x )

2 , 2

( 

2

 2 )

2 , 2 2 ( 2

2

2 , )

2

( 2 

) (x

f  ^ 0  0 ^

) (x f

2 ], , 2 2 [ 2

)

( 

 f x 的单增区间为

).

2 , ( 2 2 )

, 2

(  和 

单减区间为

. .

2 确定 ^{3 2}的单调区间 例 y  x

解: y  ³ x² 的定义域为(,).

3 , 2

3 x

y  _{没有导数为0的点,但 x=0 为不可导点.} 列表讨论如下: x (,0) ₀ (0,)

y  不存在 

y

), ,

0

3 2 ( 



 y x 的单增区间为

).

0 , (

单减区间为 如图.

o x y

1 .

arctan )

1 ln(

, 0

.

3 x

x x

x  时 证明   

当 例

证明: 当 x=0 时, 等号成立.

, arctan )

1 ln(

) 1

( )

( ,

0 f x x x x

x  时 设    

当

1 2

1 1 )

1 ln(

)

(x x x

f      

) 0 (

1 0

) 1

ln( ₂

2  

 



 x

x x x

所以 f(x) 单调递增.

从而, 当x  0时, f (x)  f (0), 且 _{f (0)  0.} .

0 arctan

) 1

ln(

) 1

( )

(     

 f x x x x

1 .

arctan )

1 ln(

x

x x

 

 即

1 . 1

1 .

4 b

b a

a b

a b a

 

 



 证明 

例

证明: ( 1).

) 1 (

 

  x

x x x

设 f

)2

1 (

) 1

) (

( x

x x x

f 



 

 0

) 1

(

1

2 

 

x 所以 f(x) 单调递增.

, b a

b

a   

  f (a  b)  f (a  b),

b a

b a

b a

b a





 







1 1

即 a b

b b

a a



 



 

1 1

1 .

1 b

b a

a

 

 

, 0

) ( .

5 设 在 上二次可微

例 f x  x  a ^{且f (0)  0, f (x)  0,} .

) , 0 ) (

( 在 内单增

证明 a

x x f

证明: ( ) , )

(

x

x x f

F 

设 ( ) ( ).

)

( ₂

x

x f x

f x x

F  

  ).

( )

( )

(

G x  xf  x  f x 又设

) ( )

( )

( )

(x f x xf x f x

G       所以 G(x) 单调递增.

) 0 ( )

( ,

0 G x G

x  时 

当

. 0 )

( )

(

xf  x  f x 

即 F(x)  0. 所以 F(x) 单调递增.

. )

, 0 ) (

( 在 a 内单增

x x

 f

).

0 ( 0 )

(x x a

f

x    



. 0 )

0

( 



 f

. )

0 (

ln

.

6 方程 有几个实根 例 x  ax a 

解: 设f (x)  ln x  ax (x  0), 1 ,

)

( a

x x

f    1 .

, 0 )

( x x a

f   得  令

. 0 )

( 1 ,

) 1

(  f  x 

x a时

当 f (x)单调递增. , )

(ln lim

) ( lim

0 0







 

 

 f x x ax

x x

且

, 1 1

1   ln 



 





a f a

, 0 1 1

ln

1 ,  

 e a

a 时

当 1 1 0,

ln

1 ,  

 e a

a 时

当

1 ,

0 时有一实根

故当  a  e 1 . 时没有实根 当a  e

. 0 )

( 1 ,

) 2

(  f  x 

x a时

当 f (x)单调递减. , )

(ln lim

) (

lim    







 f x x ax

x x

且

, 1 1

1  ln 



 





a f a

, 0 1 1

ln

1 ,  

 e a

a 时

当 1 1 0,

ln

1 ,  

 e a

a 时

当

1 ,

0 时有一实根

故当  a  e 1 . 时没有实根 当a  e

. ,

ln 1 ,

) 3

( x e

e x x

a  e时  则  当

1 , 0

,当 时方程有两实根

综上所述  a  e 1 ,

时没有实根 当a  e

1 .

e e x

a  时有一实根  当

.函数极值的判别法 二

1. 函数极值的定义与图形:

o x

y

注意: (1) 极值是局部性质.

(2) 极大值不一定比极小值大，反之亦然.

2. 极值存在的必要条件

定理1. 设函数f (x)在x₀可导,若x₀为极值点,则f (x₀ )  0. ---Fermat定理

注意:

(1) 导数为0的点称为函数的驻点. ( f (x₀)  0) (2) 可导函数的极值点一定是驻点.

(3) 驻点只是可能的极值点. :

3在 0的情况

考虑y  x x 

, 0

, 0

3 ² 得 是驻点

由y  x  x 

.

0不是 ³的极值点

但x  y  x

如图.

o x

y

(4) 极值点应包含在驻点和不可导点之中. :

0的情况

在

考虑y  x x 

,

0处不可导

在

由定义可得y  x x  .

0是 的极值点

但x  y  x 如图.

o x

y

3. 极值存在的第一充分条件

定理2. 设函数f (x)在U(x₀,



)内可导, 且 f (x₀ )  0. , 0 )

( ,

0 )

(

(1)当x  x₀时f  x  当x  x₀时f  x  ).

( )

(x x₀ f x₀

f 在 处取得极大值 则

, 0 )

( ,

0 )

(

(2)当x  x₀时f  x  当x  x₀时f  x  ).

( )

(x x₀ f x₀

f 在 处取得极小值 则

, 0 )

( 0

) ( )

~ , (

(3)当x U x₀



时f  x  或f  x  .

)

( ₀ 不是极值

则f x

证明:

, 0 )

( ,

(1)当x  x₀时 f  x 

故 f(x) 单调递增.  f (x)  f (x₀).

, 0 )

(

0 ,  

 x f x

x 时

当

故 f(x) 单调递减.  f (x)  f (x₀).

).

( )

( ,

)

~ ,

(x₀ f x f x₀

U

x  时 都有 

即



. )

(x₀ 为极大值

 f

同理可证得结论(2),(3)成立. 由极值的定义来证明.

极值存在的第一充分条件的图形记忆法.

极大 o x

y



 :  0 y

极小 o x

y



 :  0 y

没有极值 o x

y

 : 

y o x

y

 :  y

4. 极值存在的第二充分条件 定理3.

则 且

内二阶可导 在

设f (x) U(x₀,



) , f (x₀ )  0, f (x₀ )  0. .

, 0 )

(

(1) 若f  x₀  则 x₀ 为极小值点 . ,

0 )

(

(2) 若f  x₀  则 x₀ 为极大值点 证明:

0

0 0

) (

) lim (

) (

) 1 (

0 x x

x f

x x f

f x x 

 

 

 

 ( ) 0

lim

0 0

 

 

 x x x f

x x

, 0 )

(

0 ,  



当 x x 时 f x

. 0 )

(

0 ,  

 x f x

x 时

当

0 是极小值点. 从而 x

同理可证得(2)成立.

注意:

(1) 使二阶导数不为0的点一定是极值点.

. ,

, )

( 0

) (

) 2

( _{0 0}

只能用第一充分条件 定

不能用第二充分条件判

不存在 或

若f  x  f  x

5. 求极值的步骤

. )

(

(1)写出 f x 的定义域

).

( (2)计算 f  x

(3) 求出驻点和不可导点.

(4) 由充分条件定理判定驻点和不可导点是否是极值点. (5) 求出极值点处的函数值即得全部极值.

函数的极值习例

例7. 求f (x)  2x³  3x²  12x  21的极值. 例8. 求f (x)  (2x  5)³ x²的极值.

例9. 求f (x)  (x²  1)³  1的极值.

例10. , ( ) . 2

1 2

1 0

)

( 求 的极值

设 f x

x x

x x x

f 









 

例11.

.

; , ,

2 ,

1 ,

ln )

( ²

小值 并确定是极大值还是极

求 有极值

处 在

设

b a

x x

x bx

x a

x

f     

. 21

12 3

2 )

( .

7 求 ^{3 2} 的极值

例 f x  x  x  x  解: f (x)的定义域为(,).

).

2 )(

1 (

6 12

6 6

)

(  ²     

 x x x x x

f

. 2 ,

1 ,

0 )

(  ₁   ₂ 

 x x x

f 得

令

列表讨论如下:

x (,1) 1 (1,2) 2 (2,) )

(x

f   0 ^ 0 

) (x

f _{极大 极小}

, 28 )

1 ( 

极大值为 f 极小值为 f (2)  1.

. )

5 2

( )

( .

8 求 ^{3 2}的极值

例 f x  x  x

解: f (x)的定义域为(,). . 3

) 1 (

) 10

( 3 x

x x

f   

. 1 ,

0 )

(  

 x x

f 得

令 且 x  ₀为不可导点_. 列表讨论如下:

x (,0) ₀ (0,1) 1 (1,) )

(x

f   不存在 ^ 0 

) (x

f _{极大 极小}

, 0 )

0

( 

极大值为 f 极小值为 f (1)  3.

. 1

) 1 (

) ( .

9 求 ^{2 3} 的极值

例 f x  x  

解: f (x)的定义域为(,).

. ) 1 (

6 )

(  ²  ²

 x x x f

. 1 ,

0 ,

1 ,

0 )

(     

 x x x x

f 得

令

列表讨论如下:

x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,) )

(x

f   0  0  0 

) (x

f _极小

. 0 )

0 ( )

( 

 f x 只有极小值 f

注: 也可用二阶导数来判定极值!

. )

( 2,

1 2

1 0

)

( .

10 设 求 的极值

例 f x

x x

x x x

f 









 

解: 当0  x  1时, f (x)  1  0. . 0 1

) ( ,

2

1  x  时 f  x    当

. )

( x 没有驻点

 f

1

) 1 ( )

lim ( )

1 (

1 

 

  

 x

f x

f f

x

但 _1,

1 1 lim 2

1



 



 

  x x

x

1

) 1 ( )

lim ( )

1 (

1 

 

  

 x

f x

f f

x

, 1 1

lim 1

1

 

 

  x x

x

. 1为不可导点



 x

列表讨论如下:

x (0,1) 1 (1,2) )

(x

f   不存在 

) (x

f _极大

. 1 )

1 ( )

( 

 f x 有极大值 f

.

; , ,

2 ,

1 ,

ln )

( .

11 ²

小值 并确定是极大值还是极

求 有极值

处 在

设 例

b a

x x

x bx

x a

x

f     

解: ( )   2bx  1, x

x a

f ( ) ₂ 2b,

x x a

f     ,

2 ,

1 )

(x 在 x  x  处有极值

 f

. 0 )

2 ( ,

0 )

1

(   

 f  f

0, 1

2 4

0 1

2 

















a b

b a

即 .

6 , 1

3

2  





a b

3. 1 3

) 2 (

  ₂ 

x x 从而 f

, 3 0

) 1 1

(  

f 

  f (1)是极小值; ,

6 0 ) 1

2

(   

f 

  f (2)是极大值.

.函数的最值 三

1. 闭区间[a,b]上可导函数 f(x) 的最值.



^{( ), ( ), ( ), , ( )}



^.

max f a f b f x₁ f x_n

M  



^{( ), ( ), ( ), , ( )}



^.

min f a f b f x₁ f x_n

m  

. )

, ,

2 , 1

( 为驻点

其中x_i i   n

2. 闭区间[a,b]上连续函数 f(x) 的最值.



^{( ), ( ), ( ), , ( ), ( ), , ( )}



^.

max f a f b f x₁ f x_n f t₁ f t_m

M   



^{( ), ( ), ( ), , ( ), ( ), , ( )}



^.

min f a f b f x₁ f x_n f t₁ f t_m

m   

; )

, ,

2 , 1

( 为驻点

其中x_i i   n t _j ( j  1,2,, m)为不可导点.

3. 开区间 (a,b) 或无穷区间上的最值.

这时可能有最值，可能没有最值. 对于(a,b),

. ,

) ( lim

), (

lim

都小则没有最小值 最大值

处的函数值都大则没有

比驻点和不可导点 若 f x f x

b x a

x ^  ^

. ,

) ( lim

), (

lim ),

, (

都小则没有最小值 最大值

处的函数值都大则没有 点

比驻点和不可导 若

对于 f x f x

x

x 





4. f(x)在I内可导, 且只有唯一一个驻点x₀时的最值. . )

( ₀ 为极大值时即为最大值 当f x

o x y

. )

( ₀ 为极小值时即为最小值 当f x

o x y

5. 实际问题的最值 若驻点x₀为极值点,

x0 x⁰

实际问题中, 可根据问题的性质判定可导函数有最值, 而且在区间内部取得. 若f(x)在区间内部只有一个驻点, 则一定在驻点处取得最值.

函数的最值习例

例12. ] .

2 , 3 0 [ )

2 (

) 1 (

)

( ^{2 3} 在 上的最值

求f x  x  x 

例13. 从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样

大小的正方形，然后折成一个无盖盒子，问要截

截去多大的小方块，才使盒子容量最大？

例14. 把一根直径为d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面 的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模 量最大？

例12. ] . 2

, 3 0 [ )

2 (

) 1 (

)

( ^{2 3} 在 上的最值

求f x  x  x 

解: f (x)  2(x  1)(x  2)³  (x  1)²3(x  2)² )

7 5

( ) 2 )(

1

(   ² 

 x x x

2 5 ,

, 7 1 0

)

(  ₁  ₂  ₃ 

 x x x x

f 得

令 (舍去)

, 8 )

0

(  

f f (1)  0, 3125,

) 108 5

(7  

f .

32 ) 1

2

(3   f

, 0 )

1

( 

最大值为 f 最小值为 f (0)  8. 而

例13. 从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样

大小的正方形，然后折成一个无盖盒子，问要

截去多大的小方块，才使盒子容量最大？

解: 如图所示 a

x 2)

0 ( , ) 2 (

)

( ² a

x x

a x x

V    

, 0 )

6 )(

2 (

)

(    

 x a x a x 令V

2 .

6 ,

x a x  a  得

6 为极大值点, x  a



. 6的小方块时,可达到盒子容量最大 当截去边长为 a

x 



注意:

利用最大最小值可证明不等式. 6 .

2) , 0

( a

a 内只有唯一驻点 x  在

. 0 4

) 8 24

( 6)

(

6









 a  x a _ a

V _x ^a

且

例14. 把一根直径为d 的圆木锯成矩形梁,问矩形截面 的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模 量最大？

h b d 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为

, )

( ^{2 2}

6

1 b d  b

 b (0,d ) 令 w  ₆¹(d ²  3b²)

得 b  ¹₃ d 从而有

1 : 2 :

3 :

: h b  d

2

2 b

d

h    ₃² d 即

由实际意义可知 , 所求最值存在 , 且驻点只一个, 故所求结果就是最好的选择.

思考题：

习题2.3 第1题（1）到（3）

思考题参考答案

课堂练习：

习题2.3 第13题到第16题

练习参考答案