§2 矩阵的运算
一、 矩阵的相等、加、减、数乘、乘法、转置与共轭
运 算 及 其 规 则 性 质 与 说 明 [相等]
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
mn m
m
n n
b b
b
b b
b
b b
b
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
当且仅当
aij bij
n j
m i
,..., 2 , 1
,..., 2 ,
1
相等矩阵必须具有相同行数与
相同列数.
两矩阵相等，指各对应位置的
元素分别相等.
[加减]
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
mn m
m
n n
b b
b
b b
b
b b
b
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
mn m
m
n n
c c
c
c c
c
c c
c
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
其中
cij aij bij
n j
m i
,..., 2 , 1
,..., 2 ,
1
同类型的矩阵才能相加减（各 对应位置的元素相加减）.
A+B=B+A (交换律) (A+B)+C=A+(B+C) (结合律)
[数乘]
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a k
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
mn m
m
n n
ka ka
ka
ka ka
ka
ka ka
ka
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
数乘矩阵时，将数乘到矩阵的 每个元素上.
kA=Ak
k(A+B)=kA+kB (k+l)A=kA+lA k(lA)=(kl)A
(k,l为任意两个复数) [乘法] 若
A=(aij)为mn矩阵 B=(bij)为ns矩阵,则 AB=(aij) (bij)=(cij)=C 式中C为ms矩阵，且
cij=
n
k kj ikb a
1
s j
m i
,..., 2 , 1
,..., 2 , 1
乘积的元素 cij，等于左矩阵的 第i行与右矩阵的第j列对应元素相 乘之后相加.
左矩阵的列数必须等于右矩阵 的行数.
（AB）C=A（BC） (结合律)
运 算 及 其 规 则
分配律
CB CA B
A C
BC AC C B A
k(AB)=(kA)B=A(kB) (k是任意复数)
[注]AB=BA 一般情况下不成立，即
无交换律.
性 质 与 说 明
[转置] 把mn 矩阵A=(aij)的列同行互换后所
得到的 nm 矩阵称为 A 的转置矩阵，记作A, 即
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
mn n
n
m m
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
12
1 21
11
(A+B)=A+B
(kA)=kA(k为任意复数) (AB)=BA(反序定律) (A1A2...As)=As...A2A1 (Ak)=(A)k (k为整数)
[共轭] 把矩阵 A=(aij)的所有元素换成它们的共
轭复数后所得到的矩阵称为 A 的共轭矩阵，记 作A，即
A=（aij ）
B A B
A ) (
A k kA)
( (k为任意复数)
B A AB
) ( )
(A A
二、 矩阵的初等变换与初等矩阵
设I=
1 0
1
0 1
，称为单位矩阵.
初等变换 初等矩阵 初等矩阵与初等变换之间 的关系
矩阵的第i列（或行）与第 j列（或行）互调
对单位矩阵I施行这种 初等变换后得到的矩阵称 为初等矩阵，记作Iij
(i) (j)
对矩阵A施行这种初等 变换相当于用初等矩阵Iij
右（或左）乘A.例如
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a AI
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
12
初等变换
) (
) (
1 0
1 0 1
1 ..
1 1 0
1
0 1
j i
初等矩阵
1 ...
0 0
...
...
...
...
0 ...
0 1
0 ...
1 0
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
1 2
2 21
22
1 11
12
初等矩阵与初等变换之间 的关系
用数k（0）乘矩阵的第i 列（或行）
对单位矩阵I施行这种初 等变换后得到的矩阵称为 初等矩阵，记作Pi(k) (i)
Pi(k)= ( )
1 0
1 1
0 1
i k
对矩阵A施行这种初等 变换相当于用初等矩阵
Pi(k)右（或左）乘A.例如
P2(k)A=
1 ...
0 0
...
...
...
...
0 ...
0
0 ...
0 1
k
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
mn m
m
n n
a a
a
ka ka
ka
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
矩阵的第i行（或列）加上 第j列（或行）的k倍
对单位矩阵I施行这种初 等变换后得到的矩阵称为 初等矩阵，记作Aij(k) (i) (j)
Aij(k)=
) (
) (
1 0
1 1
0 1
j i
k
对矩阵A施行这种初等变 换相当于用初等矩阵Aij(k) 右（或左）乘A.例如
AA12(k)=
mn m m
n n
a a a
a a a
a a a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22 21
1 12 11
1 ...
0 0
...
...
...
...
0 ...
1
0 ...
0 1 k
=
mn m m m
n n
a a ka a
a a ka a
a a ka a
...
...
...
...
...
...
...
2 2 1
2 22 22 21
1 12 12 11
初等变换具有性质：
1° 任何矩阵（aij）都可经过有限次初等变换化为对角矩阵
（aij）
0 0
0 1
0 1
2° 初等变换不改变矩阵的秩.
三、 矩阵的微积分
假设矩阵A的元素aij都是参数t的函数，那末
1° 矩阵A的导数定义为
t a t
a t a
t a t
a t
a
t a t
a t
a
t A A
mn m
m
n n
d ... d d d d d
...
...
...
...
d ... d d d d d
d ... d d d d d
d d
2 1
2 22
21
1 12
11
同样可定义矩阵的高阶导数.
2° 矩阵A的积分定义为
t a t
a t a
t a t
a t a
t a t
a t a t
A
mn m
m
n n
d ...
d d
...
...
...
...
d ...
d d
d ...
d d
d
2 1
2 22
21
1 12
11
同样可定义矩阵的多重积分.
四、 特殊矩阵
[零矩阵与零因子] 元素aij全为零的矩阵称为零矩阵，记作
O=(0)=
0 ...
0 0
...
...
...
...
0 ...
0 0
0 ...
0 0
零矩阵具有性质：
O+A=A+O=A OA=AO=O
A+(－A)=O,－A称为A的负矩阵
若A,B为非零矩阵，即AO,BO,而AB=O,则称矩阵A为矩阵B的左零因子，矩阵B为矩 阵A的右零因子，例如
A=
1 1
1
1 , B=
1 1
1 1
AB=
1 1
1
1
1 1
1
1 =
0 0
0
0 =O
[对角矩阵] 主对角线以外的元素都是零（dij=0,ij）的方阵称为对角矩阵，记作
D=
dn
d d
0
...
0
2 1
=diag(d1,d2,...,dn)=[ d1 d2 ... dn]
对角矩阵具有性质：
1° 左乘B
DB=
dn
d d
0
0
2 1
nn n
n
n n
b b
b
b b
b
b b
b
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
nn n n
n n n
n n
b d b
d b d
b d b
d b d
b d b
d b d
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 2 22
2 21 2
1 1 12
1 11 1
=(dibij) 2° 右乘B
BD=
nn n
n
n n
b b
b
b b
b
b b
b
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 11
21
1 12
11
dn
d d
0
0
2 1
=
nn n n
n
n n
n n
b d b
d b d
b d b
d b d
b d b
d b d
...
...
...
...
...
...
...
2 2 1 1
2 22
2 21 1
1 12
2 11 1
3° 两个对角矩阵的和、差、积仍为对角矩阵.
[数量矩阵] di=d(i=1,2,...,n)的对角矩阵称为数量矩阵，记作
D=
d d d
0 0
=[d d ... d]
显然DB=BD=dB.
[单位矩阵] d=1的数量矩阵称为单位矩阵，记作
I=
1 0
1 0 1
=
「
1 1 ... 1」
显然IB=BI=B.
[对称矩阵] 满足条件
aij=aji (i,j=1,2,...,n)
的方阵A=(aij)称为对称矩阵.例如
A=
4 2 3
2 6 1
3 1 5
是对称矩阵.对称矩阵具有性质：
若A,B都是对称矩阵，则
A
A
,且A－1（使A－1=A－1A=I的矩阵.详见本节，六），Am(m 为正整数)，A+B仍是对称矩阵.［实对称矩阵］实对称矩阵按其特征值（本节，七）可分为正定矩阵，半正定矩阵、负 定矩阵、半负定矩阵和不定矩阵，它们的定义与充分必要条件如下
名 称 定 义 充分必要条件 正定矩阵
半正定矩阵
负定矩阵
半负定矩阵
不定矩阵
特征值都大于零的 实对称矩阵
特征值都不小于零 的实对称矩阵
特征值都小于零的 实对称矩阵
特征值都不大于零 的实对称矩阵
特征值既有大于零 又有小于零的实对称矩 阵
所有主子式都大于零，即 Ai>0 (i=1,2,...,n)
detA=0
Ai0 (i=1,2,...,n－1)
0 0 Ai
）
（
）
（
为偶数 为奇数 i
i
（i=1,2,...,n）
detA=0
0 0 Ai
）
（
）
（
为偶数 为奇数 i
i
（i=1,2,...,n－1）
或有一个偶数阶主子式 A2k=0, 或有两个奇数阶主子式，其中 一个为正另一个为负
[反对称矩阵] 满足条件
ji
ij a
a 0
) (
) (
j i
j i
(i,j=1,2,...,n)
的方阵A=(aij)称为反对称矩阵.例如
A=
0 2 3
2 0 1
3 1 0
是反对称矩阵.反对称矩阵具有性质：
１° 若A,B都是反对称矩阵，则Aτ =－A,且A－1, A+B仍是反对称矩阵，
Am为
反对称矩阵
对称矩阵
）
（
）
（
为 奇 数 为 偶 数 m
m
２° 任意方阵A都可分解为一个对称矩阵B=(bij)与一个反对称矩阵C=(cij)之和，即
A=B+C 只需取
bij= 2
1 (aij+aji), cij= 2
1 (aij-aji) (i,j=1,2,...n)
[埃尔米特矩阵] 满足条件
A=A
的方阵A称为埃尔米特矩阵.例如
A=
4 2 3 2
2 3 1 2 1
2 2 1 5
i i
i i
i i
是埃尔米特矩阵.埃尔米特矩阵具有性质：
若A,B都是埃尔米特矩阵，则A1,A+B仍是埃尔米特矩阵.若A又是实方阵（即aij全为实
数），则A就是对称矩阵.
[反埃尔米特矩阵] 满足条件
A=A 的方阵A称为反埃尔米特矩阵.例如
A=
0 5
2
5 0
2 1
2 2 1 0
i i
i i
i i
是反埃尔米特矩阵.反埃尔米特矩阵具有性质：
若A,B都是反埃尔米特矩阵，则A1, A+B仍是反埃尔米特矩阵.若A又是实方阵，则A就 是反对称矩阵.
[正交矩阵] 满足条件
A=A1 的方阵A称为正交矩阵.例如
A=
cos sin
sin cos
是正交矩阵.正交矩阵具有性质：
若A=(aij)和B都是正交矩阵，则 1° A1, AB仍是正交矩阵.
2° detA=1.
3°
0 11 n
k
jk ika
a
) (
) (
j i
j i
0 11 n
k
kj kia
a
) (
) (
j i
j i
[酉(U)矩阵] 满足条件
1
A A 的方阵A称为酉(U)矩阵.例如：
A=
0 0
i i
是酉矩阵.酉矩阵具有性质：
若A=(aij)和B都是酉矩阵，则 1° A-1,AB仍是酉矩阵.
2° det AdetA=1.
3° 若A又是实方阵，则A是正交矩阵.
[带型矩阵] 满足条件
aij=0 (i j m)
的方阵A=(aij)称为带型矩阵.2m+1称为带宽.一般形式为
A=
nn m
n n
n m n n
n n
m
a a
a a
a
a a
,
, 1
, 1 1
, 1
1 , 1 11
0
0
[三角矩阵] 满足条件
aij=0 (i>j)
的方阵A=(aij)称为上三角形矩阵，一般形式为
A=
nn n n
a a a
a a
a
0
2 22
1 12
11
满足条件
bij 0
i j
的方阵B
bij 称为下三角形矩阵，一般形式为B=
nn n
n b b
b b b b
2 1
22 21
11 0
三角形矩阵具有性质：
1° 任何秩为r的方阵C的前r个顺序的主子式不为0时，C可表为一个上三角形矩阵A
与一个下三角形矩阵B的乘积，即
C=AB
2° 上（或下）三角形矩阵的和、差、积及数乘仍是上（或下）三角形矩阵.
[分块矩阵] 用水平和垂直虚线将矩阵 A 中的元素的阵列分成小块（称为子阵），A 就成
为分块矩阵.例如
A=
33 32
31
23 22
21
13 12
11
a a
a
a a
a
a a
a
=
22 21
12 11
B B
B B
式中
B11=
22 21
12 11
a a
a
a ，B12=
23 13
a a
B21=
a31 a32
, B22=
a33它们都是A的子阵.
进行分块矩阵的运算时，可将子阵当作通常矩阵的元素看待.这些运算指加、减、乘法、
数乘、转置与共轭等.
[分块对角矩阵] 主对角线上的子阵都是方阵，其余子阵都是零矩阵的分块矩阵称为分块
对角矩阵.一般形式为
A=
Bkk
O O B
O B O
22 11
分块对角矩阵A的逆矩阵A－1和A的行列式可以用下面简单公式求出
A－1=
1 1
22 1 11
BKK
O B
O B
det A=det B11·det B22·...·det Bkk
注意，一般分块矩阵的行列式不能用把子阵当作通常矩阵的元素的方法来计算，例如把 四阶方阵化为分块矩阵
A=
44 43 42
41
34 33 32
31
24 23 22
21
14 13 12
11
...
...
...
...
...
...
...
...
...
a a a
a
a a a
a
a a a
a
a a a
a
=
22 21
12 11
B B
B B
一般det A=det B11·det B22－det B21·det B12不成立（参见§1，二，3中的四阶行列式）.
五、 相似变换
[相似变换] 如果有一非奇异矩阵X（即det X0）使得
B=X1 AX
那末称矩阵A与矩阵B相似，也称A经相似变换化为B，记作AB.它具有下列性质：
1° AA,AA.
2° 若AB,则BA.
3° 若AC,BC,则AB.
4° X1 (A1+ A2+...+ Am)X=X1A1X+ X1A2X+ ...+ X1AmX 5° X1 (A1 A2 ...Am)X=X1A1 X·X1A2 X·... ·X1Am X 6° X1AmX=( X1AX)m
7° 若 f(A)为矩阵A的多项式，则
1
X f(A)X= f(X1AX)
8° 若AB，则
A与B的秩相同，即rank A=rank B.
A与B的行列式相同，即det A=det B.
A与B的迹（定义见本节，七）相同，即tr A=tr B.
A与B具有相同的特征多项式和特征值（本节，七）.
[正交变换] 若Q为正交矩阵（即Q1=Q）,则称 QAQ
为矩阵A的正交变换，其性质与相似变换类似.特别还有性质：
对称矩阵A经正交变换后仍是对称矩阵.
[旋转变换] 取正交矩阵U为
(p) (q)
Upq=(uij)=
) (
) (
1 1
cos sin
1 1
sin cos
1 1
q p
即
upp=uqq=cos upq=-uqp=sin uii=1 (ip,q)
uij=0 (i,jp,q;ij) 这时称
B=UpqAUpq
为A的旋转变换，称为旋转角，如果A是对称矩阵，那末B的元素bij与A的元素aij有 如下对应关系：
ij ij
qj pj
qj
qj pj
pj
pq qq
pp qp
pq
qq pq
pp qq
qq pq
pp pp
a b
a a
b
a a
b
a a
a b b
a a
a b
a a
a b
cos sin
sin cos
) sin (cos
cos sin ) (
cos cos
sin 2 sin
sin cos
sin 2 cos
2 2
2 2
2 2
）
(其他元素
) , (
) , (
q p j
q p j
同时有性质：
nj i
aij 1 ,
2 =
n
j i
bij 1 ,
2
ni
aii 1
2
n
i
bii 1
2
若取旋转角
pq pp qq
a a a cot 2 2arc
1
则旋转变换使
0
qp
pq b
b
六、 逆矩阵
[逆矩阵及其性质] 若方阵A,B满足等式
AB=BA=I (I为单位矩阵) 则称A为B的逆矩阵，或称B为A的逆矩阵,记作
A=B1 或 B=A1
这时A,B都称为可逆矩阵（或非奇异矩阵，或满秩矩阵）.否则称为不可逆矩阵（或奇异矩阵，
或降秩矩阵）.
可逆矩阵具有性质：
1° 若A,B为可逆矩阵，则AB仍为可逆矩阵，且
1 1
) 1
(AB B A （反序定律）
一般地，若A1 ,A2 ,…,As为可逆矩阵，则
1 2
1 )
(A A As As1A21A11
2° 矩阵A可逆的充分必要条件是：det A0.
3° 若矩阵A可逆，则
detA10 且 detA1=(detA)1
1 1)
(A =A, (aA)1 a1A1 (a0) ) 1
(A =(A1),
A1
A14° 矩阵A可逆的充分必要条件是：矩阵A的特征值全不为零.
[伴随矩阵与逆矩阵表达式] 设Aij为矩阵A=(aij)的第i行第j列元素aij的代数余子式，则
矩阵
A*=
nn n
n
n n
A A
A
A A
A
A A
A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
12
1 21
11
称为矩阵A的伴随矩阵.
若A为非奇异矩阵，即det A0,则A的逆矩阵表达式为
A A A
det
* 1
注意，A*的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素的代数余子式.
[对角矩阵的逆矩阵] 对角矩阵
D=
dn
d d
0
...
0
2 1
, di0 (i=1,2,...,n)
的逆矩阵为
D－1=
1 1
2 1 1
0
...
0
dn
d d
显然对角矩阵的逆矩阵仍是对角矩阵.
[三角形矩阵的逆矩阵] 三角形矩阵
L=
nn n
n l l
l l l l
...
...
...
...
...
0 ...
0 ...
0
2 1
22 21 11
, 0 0
ij ii
l
l
) (
) , . . . , 2 , 1 (
i j
n i
的逆矩阵为
1
L =P=
nn n
n p p
p p p p
...
...
...
...
...
0 ...
0 ...
0
2 1
22 21 11
式中
ii
ii l
p 1
(i=1,2,...,n)
1 i 1
j k
kj ik ii
ij l p
p l
n j
i
n j
,..., 1
1 ,..., 2 , 1
0
pij (ji)
显然非奇异下（上）三角形矩阵的逆矩阵仍是下（上）三角形矩阵.
[正定矩阵的逆矩阵]
1° 高斯—若当法
正定矩阵A=(aij)的逆A－1=(bij)可由下列递推公式求出：
) 1 ( 11 )
( 1
k k
nn a
a ,
) 1 ( 11
) 1 ( ) 1
( 1
,
k
k k j
j
n a
a a , ( 1)
11 ) 1 ( 1 ) (
,
1
k n ikk
i a
a a
) 1 ( 11
) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 1 ( )
( 1 ,
1
k
k j k k i
ij k
j
i a
a a a
a (i,jn,n1,...,2)
ij n
ij a
a( ) (k=1,2,...,n)
最后得到
) (n ij
ij a
b 式中n为该正定矩阵A的阶.
2° 三角阵法 其步骤如下：
（1） 把正定矩阵A=(aij)表示为
A=D 式中D为实的非奇异对角矩阵
D=
dn
d d
0
0
2 1
为实的非奇异下三角矩阵.
=
1
1 1
1 , 2
1 21
n n n
n
是的转置矩阵.di(i=1,2,...,n)与ij(i=2,...,n;j=1,…,n)由下面递推公式算出：
0
ij (j i) ii 1 (i1,2, . . . ,n)
1
1 j
k
jk ik ij
ij a x
x (i2,...,n;j 1,2,...,i1)
j ij
ij d
x
(i2,...,n;j 1,2,...,i1)
1
1 i
k
ik ik ii
i a x
d (i1,2,...,n)
（2）求出D的逆矩阵
1
D =
dn
d d
1 1
1
2 1
（3）求出的逆矩阵
1
Λ =
1 1
1
2 1 21
n
n
式中
1
1
ii i
j k
kj ik ij
) ,..., 2 , 1 (
) ,..., 2 , 1
; 1 ,..., 2 , 1 (
n i
n j
j i n j
（4）求出A的逆矩阵
1
A =(DΛτ )1=(Λ1)
1
D Λ1
=
nn n
n
n n
2 1
2 22
21
1 21
11
式中
n
i
k k
kj ki
ij d
(j 1,2,,i;i1,2,,n) 注意，这种方法的好处是避免了求平方根的运算.
[分块矩阵的逆矩阵] 设非奇异矩阵A的分块矩阵为
A=
22 21
12 11
B B
B B
式中B11,B22为方子阵，那末A的逆矩阵
A－1=
22 21
12 11
C C
C C
由下面公式求出
1 11 21 12 1 11 11
1 11 21 22 21
22 12 1 11 12
1 12 1 11 21 22
22 ( )
B B C B C
B B C C
C B B C
B B B B C
[初等变换法求逆矩阵] 设
1
A =
1
2 1
2 22
21
1 12
11
...
...
...
...
...
...
...
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
=
nn n
n
n n
b b
b
b b
b
b b
b
2 1
2 22
21
1 12
11
=B
对矩阵
1 0
0
0 1
0
0 0
1
2 1
2 22
21
1 12
11
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
作一系列行的初等变换，使虚线左边一块矩阵化为单位矩阵，而右边一块单位矩阵就变为 A 的逆矩阵B=A－1,即
nn n
n
n n
b b
b
b b
b
b b
b
2 1
2 22
21
1 12
11
1 0
0
0 1
0
0 0
1
[逆矩阵的近似求法] 设A01为矩阵A的初始近似逆矩阵，可由下列迭代公式求出更精确
的逆矩阵：
) 2
( 1
1 1
1
n n
n A I AA
A (n=0,1,2,...)
式中I为与A同阶的单位矩阵.
[计算机求逆程序的检验矩阵] 用下列n阶非奇异矩阵及其逆矩阵，来检验大矩阵求逆的
计算程序.
A=
2 2
2 2
0 1 2 2
1 2
1 1 2 0 1
0 2 0
1 1 2 0 1
0 0
2 0 1 1 2 1
2 2 0 1 0
2 0 1 2 2
2
n n n
n n
n
