9 乘法公式與多項式

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^{乘法公式與多項式}

一、 乘法公式 1. 基本公式：

(1) ^{(a b c d} ⁾⁽  ⁾ac ad bc bd  

。 (乘法 律)

(2)

(a b )2 

。(和的平方公式) (3)

(a b )2 

) 。(差的平方公式) (4)

(a b a b )(  )

。(平方差公式)

例：(1) 試求

2 2

2 2

57 41

57 82 57 41

 

   (2) 若

2 4 8

7 9 (8   1) (8  1) (8  1) 2ⁿ1

，試求n的值。

2. 延伸公式：

(1)

2 2 ( )2 2

a b  a b  ab

(2)

2 2 ( )2 2

a b  a b  ab

(3) ^ab1₄^{[(a b )2 (a b) ]2}

例：(1) 若a+b=7，且

2 2 37

a b 

，則ab

。 (2) 承上，a b  。

3. 補充公式：

(1)

2 2 2 2

(a b c  ) a b  c 2ab2bc2ac

(2)

3 3 2 2 3

(a b ) a 3a b3ab b

(3)

2 2 3 3

(a b a )( ab b )a b

(4)

2 2 3 3

(a b a )( ab b )a b

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二、 多項式

1. 多項式：由數和文字符號x進行加法和乘法運算所構成的式子，稱為x的多項式

※但文字符號不可出現在 、 和 內。

2. 項：以”＋”或”－”隔開的部分，通常以文字符號的次數分類。例：一次項、三次項、常 數項

3. 次數：文字符號的最高次方(要經過化簡！)

例：一個三次多項式經過化簡後，最多有 項，最少有 項。

4. 係數：各項文字符號前的數字部分(包含性質符號！) 5. 常數多項式 零次多項式：非零的常數

零多項式：零

6. 升冪與降冪：按照文字符號的次方數大小排列。

7. 多項式的加減：同類項合併，不同類項不可合併。

例：3x²2x³7x²6x³ 7 三、多項式的乘除

1. 單項式乘以單項式：

係數與係數相乘，文字符號與文字符號相乘(利用指數律，乘方相乘=>指數 ) 2. 多項式乘以多項式：

利用乘法分配律或乘法公式。

例：

(2x3)(x23x7)

。 3. 單項式除以單項式：

係數與係數相除，文字符號與文字符號相除(利用指數律，乘方相除=>指數 )。

4. 多項式除以多項式：

利用長除法或分離係數法，但切記被除式和除式要按照降冪排列，且缺項要 。

5. 被除式A、除式B、商式Q、餘式R之間的關係：

(1) _{A B Q R  } (2) _B^{A Q R}_B (3) 餘式的次數必小於 的次數

6. 被除式A、除式B、商式Q、餘式R

被除式變m倍，除式不變，則商式變 倍，餘式變 倍。

被除式不變，除式變n倍，則商式變 倍，餘式 。

7. 餘式定理(補充)：

若除式為一次式，令除式等於零，將所得之x值代入被除式，所得之結果即為餘數。

例題：

1. 若

2 2 49

a ab b  且

2 2 19

a ab b 

，則求：

(1) ab (2)

2 2

a b (3)

(a b )2

(4)

4 4

a b

2. 若

3A2B13x23x7

，且

3 3 2 23 6

A B  x  x

，求A、B兩多項式。

3.

2 2

(3x 4x a )(2x  x 1)

的展開式中，各項係 數的總和為－14，試求a之值。

※提示：算各項係數總和，可用x1代入。

4.設多項式

4 3 2 2

x x  x mx n 被

(x2 x 1) 除 可得餘式3x5，求：

(1)商式。 (2)m、n之值。