簡單的多項式函數

■李英毅老師編授. 2-1 主題 1 x. 簡單的多項式函數. 多項式與函數 f  x  an  xn  an1  xn1 . n.  a1  x  a0. an  0. f ( x)  5x 4  3x 3 11x 2  4 x 13. f  x. x f 1. x. x. y. y. A 定義域 A. 對應域 B. f. ~27~. f. B. x. x. y. 值域. y. y  f  x. f : AB.

■高一蛻變講座. x. y. y. 9 x  32 5. y y. x. x. ~28~.

■李英毅老師編授. 直線斜率、直線方程式與一次函數. 主題 2. y. 1. m y x. 垂直位移 水平位移. m. y1  y2 x1  x2. 《說明》. B( x2 , y2 ) A( x1 , y1 ). . x. C. B A 2 y. y. x. m. x. m. 《說例》 . ~29~. y. y. x. m. x. m.

■高一蛻變講座 3. L : ax  by  c. x. y. 《說例》. x. y. L1 : 2 x  3 y  6. L2 : 3x  2 y  6 L3 : 3 y  5  0. L4 : 3x  5  0. f  x   an x n  an1 x n1 . 4. f  x. n.  a1 x  a0. n. f  x  3 f  x   2x  5. f  x   2 x 2  3x  1 f  x  a x  b. 5. a. b. y.  f ( x)  a x  b , a  0  稱為一次函數   f ( x)  a x  b , a  0  稱為常數函數 y. y. (0, b). (0, b). (0, b) x. 斜率a  0. y. x. 斜率a  0. x. 斜率a  0 ~30~.

■李英毅老師編授. f  x. 例 1：. A(3, 4). . 2 3. f (3). 解答. . 2 3. . f  x. A(3, 4)  f  x  2   ( 3 ) b  4 b 3. 2. 2 f ( 3 )   3  2 3. 主題 3 1. 二次函數的配方 f ( x)  ax 2  bx  c , a  0. f  x  a x 2  b x  c a( x  證明. b 2 b2  4ac )  2a 4a. b   a x2  b x  c =  ax 2  bx   c = a  x 2  x   c a   2 2  2 b  b   b   = a x  x         c a  2a   2a    2 2 2  b  b2 b   b    = a  x        c = a  x    c 2a   2a   2a  4a  . b  b 2  4ac  =a x    2a  4a  2. ~31~.

■高一蛻變講座 例 2：. y  2 x 2  3x  1. y  2  x  h  k 2. hk. y  2 x2  4 x  1. y  2  x  h   k 2. hk 解答. y  2 x 2  3x  1. y  2 x2  4 x  1. ~32~.

■李英毅老師編授. 二次函數的圖形研究. 主題 4. f ( x)  ax 2  bx  c , a  0. f  x  a x 2  b x  c a( x . b 2 b2  4ac )  2a 4a (h, k ).   (h, k ). xh. xh.  0, c . y. y  x2. y. y  2x2. y. 1 2 x 2. y  ax 2 a0. a0. x. a. y  x2. x. y  ax 2. 水 平 移動 h 單位 鉛直移動 k 單位. y y  ax2 , a  0. 垂直平 移 k 單位. (0, 0)O 水 平平 移 h 單位. ~33~. x. y   x2.

■高一蛻變講座 【甲】圖形的伸縮 y  x2. y   x2. y. 解答. y  x2. y  x2. y   x2. 2 1. x yx. x. 2. y   x 2 4 1. 1 4. y  ax2  bx  c. a0. a0. y  x2. y   x2. y  x2. y   x2. y  x2. y. x0. y  2 x2. 解答. y. y  x2. y  x2. y  2 x2. x 2 1 2 yx y  2 x2 (1,1).  y  x2. x. y. ' : y  2 x 2. f  x   a x2  b x  c ~34~.

■李英毅老師編授 【乙】圖形平移探討 1. f  x   ax 2. 水 平 移動 h 單位 鉛直移動 k 單位. y  x2. y   x  3. y  x2. y   x  2. y  x2. y  x2  1. y  x2. y  x2  3. y y. 3. O. ~35~. y  x2. 2. 3. x. 1. 圖形的平移  平移多少，就. y  f  x. 2. y  x2. O. 2. 2. 多少. 水 平 移動 h 單位 鉛直移動 k 單位. y  ax 2. h. y  ax 2. k. x.

■高一蛻變講座 【丙】二次函數圖形的描繪 1. y  3x2  12 x  7. y  3x 2 y  3x 2. 解答. y. y  3x2 12 x  7. x. O. y  3x2  12 x  7. . (. ,. ). y  ax2  bx  c. y  ax2  bx  c. y  a  x  h  k 2. y  3x 2 y  3  x  2   5 3x2  12 x  7 2. ~36~.

■李英毅老師編授 例 3：. f  x  x2  2 x  3. x. 解答. f  x  x2  2 x  3 x y. y. ➀. x. ➁ ➂. x. 例 4：. f  x    x2  4x  7. x. 解答. f  x    x2  4x  7 y. x y. x ➀ ➁ ➂. ~37~. x.

■高一蛻變講座 例 5：. a. f  4. f ( x)  a ( x  1)2  b. b. f  5. f  1. f. f  2 . f  3. f  4 . 解答. f ( x)  a ( x  1)2  b. f  4. f  5. y. f. f  1. f  2 . f  3. f  4 . 例 6：. x. y  2 x2  x  1. y  f  x 解答. f  x . f ( x)  2 x 2  9 x  14. ~38~.

■李英毅老師編授. 主題 5 a. 拋物線 f  x   a x2  b x  c中係數正、負判別  a  0  開口向上   a  0  開口向下. a. x. b. c. b 2a. y. D b2  4ac. x. 2   y  ax  bx  c  ②   y0. ①. x. ax2  bx  c  0. b2  4ac b2  4ac. b2  4ac. y a0. x. ~39~. x. x. y a0. y. y. y. y x. x. x.

■高一蛻變講座 例 7： y  f  x   ax 2  bx  c. y. a. b. c. b2  4ac  0. abc. a b  c  0. 2. x. 1. 1. 4a  2b  c  0 解答. x. y. . b 2a. y.  0, c . x f. 2. 1. x. 1. f  1. f  2 . ~40~.

■李英毅老師編授. 二次函數最大值與最小值的討論. 主題 6. b b 2  4ac a x  b x  c a   x    2a  4a  2. 2. x. y y. y. x. x. b  b 2  4ac  a x2  b x  c a   x    2a  4a  2. y. x. y. y. x. x. f ( x)   x  a    x  b    x  c  2. 2. 2. f ( x)   x  a    x  b    x  c  2. 2. x. x 2. 3x2  2(a  b  c) x  a 2  b2  c 2. abc (a  b  c )  2 2 2 3 x   a b c  3 3   2. x. ~41~. abc 3. f  x. 2.

■高一蛻變講座 例 8：. y  3x2  6 x  10. f  x. 1  x  4 解答. x. y  3x2  6 x  10  3  x 2  2 x  1  10  3 3  x  1  13 y 2. x. 1  x  4. x. －1. 1. 4. y. 1. 13. －14. f  x f ( x)  x  1  ( x  2) 2  ( x  3) 2  ( x  4) 2  ( x  8) 2 x. 例 9：. f x 解答. xa. 2. a. m. a. m. m. f ( x)  x  1  ( x  2) 2  ( x  3) 2  ( x  4) 2  ( x  8) 2 2. 5x2  20 x  94. 配方求極值 f  x    x  x1    x  x2   2. 2.   x  xn . 2. 5  x  2   74 2. x. ~42~.

■李英毅老師編授. 二次函數恆正、恆負的討論. 主題 7.  y  ax 2  bx  c   y0. x. y a0. x. f  x   a x2  b x  c. x  R , ax 2  bx  c  x  R , ax 2  bx  c x  R , ax 2  bx  c . 例 10：. x. 解答. x2  2 x  2 ( x  1)2  1  1  x2  x  1. ~43~. y x. x. x. x  R , ax 2  bx  c. x. x. y. y a0. y. y. D  b2  4ac. a a a. a. x2  2 x  2.  x2  x  1.

■高一蛻變講座 例 11： 解答. x ,3x 2  2ax  a  0. a. 3  a  0. x  R. y. y. 3x 2  2ax  a  0 x. 主題 8. x. 單項函數 f  x   ax n y  x3. f (  x)   f ( x). f  x   ax n. n. y   x3. y  x4. y   x4. f  x. f  x ~44~.

■李英毅老師編授. f  x. f (  x)  f ( x). f  x   ax n. f  x. n. I. x1 , x2. f. x1  x2. f ( x1 )  f ( x2 ). x1  x2. x1  x2 x1  x2. f  x   xn f  x   ax n. ~45~. I. f. f ( x1 )  f ( x2 ). f ( x1 )  f ( x2 ). 鉛直伸縮 a 倍. 水平平移 h 單位 鉛直平移 k 單位. f ( x1 )  f ( x2 ). f. I. I. f. I. f. f  x   ax n f  x   a( x  h)n  k. I.

■高一蛻變講座. 3  2. 《說例 2》. y   x3 •. • 1. y  2 x3 •. • 2. y  2 x • 3. y. 1. y  x3. x. • 3. y. 4 1 y  x. 《說例 3》. x. y  x •. • 1. y  2 x4 •. • 2. y  2 x 4 •. • 3. 4. 3  2. 例 12：. y  x3 y  2( x  1)3 y  2( x  1)3  3. 解答. ~46~.

■李英毅老師編授. 2-2 主題 1. 多項式的運算. 多項式 f  x  an  xn  an1  xn1 . n. a0 , a1 , a2 ,.  a1  x  a0. x. , an. f ( x)  5x 4  3x 3 11x 2  4 x 13. f 1 f  x. f ( x)  x 3  2 x 4  12  5x  3x 5. f  x f  x f  x k , k  R.  k. deg f  x . deg f  x .  k x x. x ~47~. x. x.

■高一蛻變講座. 《練習》. x 1 x 1. x 1  x 2. 1  2 x  3x 2  4 x 3  . x 2  3x  2. x 3 1  0. 2 x  1  4x. 1. x 2 1 x 1. 2. x2  x. 解答. x. x x. x 1. x2  x. 2 x 2 1 x 1. f ( x)  a n x n  a n 1 x n1    a1 x  a0 f ( x)  Z  x   ai  f ( x)  Q  x  ai . f ( x)  R  x   ai . 例 1：.  2a  b  5 x2  3a  2b 11 x   c  2. 例： 2 x 3  7 x  1 例： 例：. 1 2 x  6x  3 4. 1 2 x  2x  4 4. abc. 解答. ~48~.

■李英毅老師編授. 多項式相等與求係數. 主題 2 1. . . deg f ( x)  n , deg g ( x)  n. n 1. f ( x)  g ( x). f ( x)  g ( x ). 2 x2  bx  1  ax2  6 x  c  a. c. b. 2 x2  bx  1  ax2  6 x  c 2 x2  bx  1  ax2  6 x  c. x  R ,. a x2  b x  c k  l x2  m x  n. x. a b c   l m n. x 2  3x  2  3x 2  9 x  6. 《練習 1》 f  x   ax2  bx  c. f 1  f  2   f  3. f  x. 解答.  f (1)  a  b  c  4   f (2)  4a  2b  c  4  f (3)  9a  3b  c  4 . 《練習 2》. c. f ( x)  (a  2) x 2  (b  3) x  c 且 f (0)  f (1)  f (2)  2. 解答. ~49~. a b. a b,c.

■高一蛻變講座. 多項式加法、減法、乘法、除法運算. 主題 3. P  x. n. deg f ( x)  g ( x)  deg f ( x)  deg g ( x). mn. P( x)  Q( x). 2. Q  x. m. f ( x)  g ( x )  q ( x )  r ( x ) q ( x), r ( x). deg r  x   deg g  x . r  x. f ( x) r ( x)  q ( x)  g ( x) g ( x). 3 r ( x)  0  g ( x). 4. 例 2：. g  x. f ( x). f  x. . 被除式 餘式  商式  除式 除式. f  x. g  x. f ( x)  2 x 3  8x  7 , g ( x)  x 2  6 x  5 f ( x)  g ( x ). f ( x)  g ( x ). f  x  g  x. 解答. f ( x)  g ( x ).  2x. f ( x)  g ( x ).  2x.  2x. 3. 3.  8 x  7    x 2  6 x  5  2 x3  x 2  2 x  2. 3.  8x  7    x 2  6 x  5  2 x3  x 2  14 x  12.  8x  7  x 2  6 x  5. ~50~.

■李英毅老師編授 例 3：. f ( x)  2 x 3  3 x 2  9. g ( x)  2 x 2  x  3. 解答. 法 1：. 2 x2  x  3. 2 x3  3x 2  0  x  9. 1. 例 4：. 解答. x5  x4  x3  px2  2 x  q. x2  x  2. p  3, q  8 1  1  ( p  1) 11 2 111 p  2  q 11 2 1 p  2 11  2 ( p  1)  4.  q. ( p  1)  ( p  1)  2( p  1) (3  p )  (q  2 p  2). ~51~. p. q.

■高一蛻變講座. 主題 4. 求係數. f ( x)  a0  a1 x    a n 1 x n 1  a n x n. a a  a1  a2 .  an. f (1)  f (1) 2 f (1)  f (1) 2. f  x   1  2 x  3x 2  4 x 3  5 x 4. 《證》 x 1. x  1. f ( x)  a0  a1 x    a n 1 x n 1  a n x n. f 1 a0  a1  a2  a3  f  1.  an. a0  a1  a2  a3 . ➀ ➁.  a0  a2  a4 . ➀ ➁.  a1  a3  a5 . ➀.   1 an n. ➁. f (1)  f (1) 2 f (1)  f (1)  2 . ~52~.

■李英毅老師編授. . 例 5：. g ( x)  3x15  3x13  5x 4  4. . g  x. 21. g  x. g  x. g  x. g  x. 解答. . g (1)  3  115  3  113  5  14  4. 主題 5. . 21. . g (1)  3  (1)15  3  (1)13  5  (1) 4  4. 綜合除法. x. b a. ax  b. f (x). q(x). r. f (x). 1 b    a x  b  q  x  r f  x   x    q  x  r a a  . ~53~.  ax  b  . 1 q  x  r a. . 21.

■高一蛻變講座 【1】綜合除法：除式為 x  b 型 例 6：. 5x 3  8x 2  2 x  1. x 3. 解答. 【2】綜合除法：除式為 a x  b ( a  1 ) 型 例 7：. f  x   8x 4  2 x 2  6 x  5. 2x 1. 解答. 1  3 2 8x4  2 x2  6 x  5  x    (8 x  4 x  4 x  8)  9 2   8x4  2 x2  6 x  5. 2x 1. . 1 2. ~54~.

■李英毅老師編授. 餘式定理與因式定理. 主題 6 1. f  x.  ax  b . f  x.  x  b. b f  a. f  x. f  3 f    2. f  x. ax  b x b. f  2. f  x. . f  x. .  f  x.  3 f     0  f  x  2 1 f  x  0  3. x  1 f    3. 3 2. f  x. 證：. f  x. q  x. ax  b. f ( x)   ax  b   q( x)  r f  x. x. b r f  a. b a b f  a. ax  b.  ax  b f (x) ~55~. r. ax  b. f  x. b  f 0 a.

■高一蛻變講座. f  x   x 2000  x90  3. 例 8： 解答. 例 9：. x 1. 5. f  x  x7 10 x6  12 x5  25x4  21x3  32 x2  46 x  100. x 9. 97 10  96  12  95  25  94  21 93  32  92  46  9  100 解答. f  x    x  9. 97 10  96  12  95  25  94  21 93  32  92  46  9  100. ~56~.

■李英毅老師編授. 綜合除法的應用. 主題 7 例 10：. P( x)  8x 3  4 x 2  12 x  3. P  x. a  x  1  b  x  1  c( x  1)  d 3. 2. P. P  x. .  x  1. f 1 3. 2. . 解答.  P  x  = 8x 3  4 x 2  12 x  3  a  x  1  b  x  1  c ( x  1)  d 3. P ( x) . 8. f ( x) . g ( x) . 8. 4. 12. 3. 8. 4. 8. 4. 8. 5. 8. 12. 8 12. 1. 2. =  x  1  a ( x  1)2  b ( x  1)  c   d  f ( x)  a ( x 1)2  b ( x 1)  c =  x  1   a ( x  1)  b   c. 4. 8.  g ( x)  a ( x 1)  b. 8  20 P ( x)  8x3  4 x2  12 x  3. . P. .  . P( x). x  12. . f 1 3. ~57~. . . 8( x  1) 3  20( x  1) 2  4( x  1)  5 ( x  1) 2. . .

■高一蛻變講座. P  x   16 x4  48x3  56 x 2  40 x  12. 例 11：. a  2 x  1  b  2 x  1  c  2 x  1  d  2 x  1  e 4. 3. 2. a ,b ,c , d ,e P. P  x.  2 x  1. 2. 解答. P  x  a  2 x  1  b  2 x  1  c  2 x  1  d  2 x  1  e 4. 3. 2. 1 2. 16  48  56  40  12. P  0.499   0.998  1  2  0.998  1  2  0.998  1  6  0.998  1  1 4. P  x.  2 x  1. 2.  2 x  1 . 4. 3. 2.  2  2 x  1  2  2 x  1  6  2 x  1  1 3.  2 x  1. 2. 2. ~58~.

■李英毅老師編授. 觀念. deg f  x   2. f  x. f  x   a x2  b x  c f  x  a  x  h  k 2. f  x   a  x  1  b  x  1  c 2. f  x   a  x  1 x  2  b  x  1  c f  x   a  x  1 x  2  b  x  2  x  3  c  x  1 x  3 a, b, c. ~59~. f.  f  x. f.  f  x. x 3 x 5. f .  f  x. x2. f .  f  x. x3. f.  f  x. f.  f  x. 1 3 1 x 2. x. 3x  1 2x 1.

■高一蛻變講座. 求多項式的值. 主題 8. . . f  x   x3  2 x2  2 x  5   x  1 ( x 2  3x  1)  6  x  x  1 ( x  3)  2 x  8.  1 5  f    2 . f 1. f  x. x x. 2. 1 5 2. f 1 f  x.  1 5  f    2 . f  x ➀ ➁. f a g a  0. g  x. f  x  g  x  q  x  r  x. f a r a. g  x. ~60~.

■李英毅老師編授. . 例 12： f  x   x 4  5x 2  14 x  3. f 1 5. . 解答. 法 2：. f  x   x4  5x 2  14 x  3. .  f 1 5. 4.  4  x  1   x  1  20  x  1  15 3. 2.  1  5 1  4 1  5 1  1  5 1  20 1    5   4   5     5   20   5  15 4. 4. ~61~.  x 1. 3. 3. 2. 2. . 5  1  15.

■高一蛻變講座. 主題 9. 插值多項式 6 x2  42 x  84  a( x 1)( x  2)  b( x  1)  c. a6. b  24. a, b, c. c  48. x x x. 6 x2  42 x  84  6( x 1)2  30( x 1)  48. deg f  x   2. f  x. f ( x). f  x  ax2  bx  c f  x f  x. f  x f  x f  x. ~62~.

■李英毅老師編授.  x , y   x1 , y1   x2 , y2 .  xn , yn . n 1. y  f  x. n. n 1. n 1 n 1. A(1,3). B(1,1). y  x2  x  1. C (2,3). y  x2  x  1. A. C. B y. f  x. 1 3 3 x  x2 2 2. R(1,1). S (2, 2).  x1 , y1 .  x2 , y2 . yx. T (3,3).  x3 , y3 . f  x f  x1   y1. f  x2   y2. f  x. f  x3   y3.  x1 , y1 .  x2 , y2 . a, b, c.  x3 , y3 . f ( x)  a( x  x1 )( x  x2 )  b( x  x2 )( x  x3 )  c( x  x3 )( x  x1 ). f  x1   y1 f  x  (. n ~63~. ). (x  ( . f  x2   y2. f  x3   y3. )( x  ) ( )(  ). ). (x  ( . a, b, c. )( x  ) ( )(  ). ). (x  ( . )( x  ) )(  ).

■高一蛻變講座. f 1  5. 例 13：. f  2   11. f  3  19. f  x 解答. x 2  3x  1. f  x. 例 14：. f  x. r 1 解答. r  2. x 1. x2. ( x  1)( x  2)( x  3). r  3. x 3. r  x. r  x. x2  2 x  2. ~64~.

■李英毅老師編授. 多項式方程式. 2-3 主題 1. 複數. x2  1  x    1 x 2  3  x    3 1 x2  x  1  0  x    2. 3 2. b  0 , b  z  a  bi , a , b  R z a  bi.  實數  i. a. b. z. 4  3i. 2 2  0i 4 i  1. C. a  bi.  (1) 若 b  0, 則 a  b i  a  R  C :  (2) 若 a  0, b  0, 則 a  b i  b i 稱 為 純 虛數  (3) 若 a  0, b  0, 則 a  b i 稱 為 雜 虛數 . ~65~.

■高一蛻變講座. in i. i 2. i3. i 4.  i 4 k 1.  i 4k 2.  i 4 k 3.  i 4k. i 99. i 4k  i 4k 1  i 4k  2  i 4k 3. 5 i  3i2. a, b, c, d a  bi. . a  bi  c  d i . ~66~.

■李英毅老師編授 例 1： a  ai. a a, b  C 解答. a0 a0. 例 2： i  i 2  i3  解答. 1. i  i 2  i3 . ~67~.  i99 =. a  ai a  a i.  i99. a 2  b2. a b.

■高一蛻變講座. 主題 2. 複數運算. a   ab , b a b    ab , a  b  a a ,  a  b b b0,  a b   , a  b b.  4  5 . 3 5 .  4  (5) . 20. 15. 3 5 . 3 i  5  15 i . 3 5 . 3 5 .  15. 3  5 i  15 i .  15. 3 5 . a. b. . a.    a 2. b. 2. 2 a b .  b. 2. ~68~.

■李英毅老師編授. 3 5 3 5.  3  2 i   (5  4 i ) (7  4 i)  (3  2 i).  3  2 i  5  3 i   5  3 i  5  3 i  3  2 i (3  2 i)  ( 5  3 i (5  3 i)  (. ) ).  a  bi  a  bi . a 2  b2  R z1. z1  z2 z2  z1. z2. z3. z1  z2 z2  z1.  z1  z2   z3  z1   z2  z3   z1  z2   z3  z1   z2  z3   z1  z2   z3  z1z3  z2 z3 0  z1  z1. ~69~. 1 z1  z1. z3   z1  z2   z3 z1  z3 z2.

■高一蛻變講座. 例 3：. i. 1. ( A)  144  12 i ( B)  25  5 i ( D). 9. 3  i 2 4. (E).  4   9  6. 9. 3  i 2 4. 解答.  A.  144 .  B.  25  4  9  9.  D. 4 9. E. 4.    . 例 4：. 解答.    . . . .    24   3             2   15i   4    3. . 3 2.    24   3       15i   4    2        3. .   3   25  . 625. .   3   25  . 625. . ~70~.

■李英毅老師編授. 主題 3 共軛複數的運算 w. z. z. w. z. zw. zw. zw. z    w. zn. zR  z  z. z 3  2i. w 4  5i. 1 zw zw. 1. zw. 2 zw zw. 3  2 i    4  5 i . z  w 3  2i 4  5i 2. zw.  3  2 i    4  5 i   22  7 i. z  w 3  2i. 例 5：. 解答. 4  5i. 7  4i 2  3 i 2  i.  7  4i  2  3i   14  21i  8i  12i 2 = 26  13i  2  i 7  4i = 2 2 13 2  3 i  2  3i  2  3i   2    3i   7  4i     2  3i  ~71~.

■高一蛻變講座. 主題 4. 代數基本定理與方程式實根的幾何意義 f  x. f  x  0. f  x. n. n. f ( x)  an xn  an1 x n1 .  a1 x  a0  0 , an  0.  y  f ( x)   y0. f  x  0. 2  拋物線 : y  x  x  2  ②   x軸: y  0. ① y.  ( x  2)( x  1)  0. x. x. 1. (1,0). (2, 0). f  x. 《練習》. g  x y. y. y  f ( x) (  , 0) (  , 0).   , 0. x. y  g ( x) ( b , 0). x. (a , 0). ~72~.

■李英毅老師編授. 主題 5. 公式解、根與係數關係. a, b, c  R , a  0. a x2  b x  c  0. x. b . b2  4 a c 2a. n. a, b, c  R , a  0. a x2  b x  c  0. D  b2  4ac.   . x. x2  x  1  0.  ax 2  bx  c  0. ax 3  bx 2  cx  d  0.      . , x 2      x    0 ~73~.     . b a.    .  ,  ,       .    . c a.

■高一蛻變講座 例 6：. ,. 2 x2  3 x  6  0.     . 2   2. (4 2  6  1)(4 2  6  1). 解答. ,. 3       2    6 3   2. 2 x2  3 x  6  0. 2. 15  3         2     2  3   4  2 15    2  2  4 5     3 4   2. 2. 2. ,. 例 7：. 2 x2  3 x  6  0. . a.  . a 解答. x 2  ax   a  2   0. . a?. a2.       .     . 2. .     a2. 2. .    . a2  4x  8.  .  2  2. 2.  a  2. 2. 4. 4 2 ~74~.

■李英毅老師編授 例 8：. 1 i. x2  a x  3  i  0. a. 1  i. x2  a x  3  i  0 2i. 解答. 1 i. x2  a x  3  i  0 x2  a x  3  i  0. .   2 i  a 1  i   3  i  0.  1  i  a  3  3 i  0.  a ax2  bx  c  0. x,   . . ~75~. ,.

■高一蛻變講座. 虛根、無理根成雙定理. 主題 6. x3  1 . f  x. a  bi. f  x  0 f  x  0. f  x  0. x3  (2 2  1) x2  (4  2 2) x  4  0  ( x  1) ( x2  2 2 x  4)  0. f  x. f ( x). ab c. 1 2 x  x 1  0  2. f  x  0. a  bi. f  x ~76~.

■李英毅老師編授. f  x  x 3 17 x 2  32 x  30  0. 例 9：. ai. 1  bi. a b 解答. f ( x) R  x   ai. f  x. 1  bi. f  x  0. 1 i. 1 i. f  x.    1  i   1  i . 例 10：. f  x. f i . 解答. f  x. f  x  0 y. ~77~. f  x. x. y. f  x. x. . i  1. f  x.

■高一蛻變講座 例 11：. 1 2. a. f  x   x3  3ax 2   2a 2  1 x  2a  0. a 解答. f  x   Q  x. f  x  0. . 2. f  x  0.  2. f  x. 1  (3a  2) 1  2 1. 1 1.  3a 2.  (2a 2  1) 1. (3a  2)  2a 2.  2a  2a. (3a  2)  2(3a  2)  (3a  2) (2a 2  6a  4)  (a  2).  2a 2  6 a  4  0  a  1或  2     a  2  a20. a  2. ~78~.

■李英毅老師編授. 主題 7 1. 整係數方程式有理根的判定法. 牛頓定理：. f  x   an x n  an1 x n1  f  x. 2.  a1 x  a  z  x  ax  b. 方程式有理根的判定法. f  x  0 f  x  0 註：. 3. ~79~. a, b  z. x. f  x. f  x   an x n  an1 x n1 .  a1 x  a0  R  x . f  x. x 1 . f  x. x 1 . ax  b.  a, b   1.

■高一蛻變講座 例 12： 解答. 1 3. 3x 3  5 x 2  4 x  2 1  i. f  x  3x 3  5 x 2  4 x  2. ax  b. ax  b. 例 13： a, b. x2  ax  817. x2  bx  3553. a b 解答. . x2  ax  817.  (817,3553)  19 x  19. . x2  bx  3553.    19.  192  19a  817  0   2   19  19b  3553  0.  a  62   b  206. ~80~.

■李英毅老師編授. 勘根定理：用來求方程式根的__________或____________. 主題 8 f  x. f (a)  f (b)  0. a,b. f  . . 《說明》  y  f  x    y  0. f  x  0. 拋 物 線 : y  x 2  x  2  ②  x 軸: y  0. x. ①. y. x. f (a)  f (b)  0  f ( x)  0. a b. f  x  0 y  f  x. . a.  x.  y  f  x a. ~81~. a. b. f (a)  f (b)  0  f ( x)  0. y  f  x.  x. x. b. a. y  f  x.  x. b. a. b. y  f  x. a.  x. b. y  f  x a. x. b.

■高一蛻變講座 y  x  x  1 x  1. 例 14：. y y  x  x  1 x  1. f ( x)  x( x 1)( x  1)  0.01 f  x  0. 1. x. 0. 1. x x. x. x 解答. y y  x  x  1 x  1. y  f  x. 1. x. 0. x. 1.  f  x  0 f  x  0. x. 例 15：. x.  f  x  0. x 3  x 2  2x 1  0. 解答. f ( x)  x 3  x 2  2 x  1 x. f  x. ~82~.

■李英毅老師編授 f  x   x 3  3x 2  4 x  11  0. 例 16：. 解答. f  x   x3  3x2  4 x  11 x. f  x. 說明： f  x . x3. x4. 1  3  4  11 3  3  18  52. 1  3  4  11 4. 1  6  14  41. 1  1  0  11. f  x    x  3  x 2  6 x  14   41. 使用勘根定理的解題要領 _______________ x. ~83~. 4 4 0. f  x    x  4   x 2  x   11.

■高一蛻變講座 例 17：. x. x  3x  318. x. k. k 1. k 解答. x  3x  318  x  3x  318  0 f ( x)  x  3x  318. ~84~.

■李英毅老師編授. 求正 n 次方根. 主題 9. xn  a n. n. a0 n. a. xn  a. y. y  xn. a0 n a. x. a. n O. n. ( n a )n  a. a. x3  4. x. x 4  16. 5. 1. 3. 27. 4. a, b. n. n. anb. n. n.  a n. ~85~. x. n. a. n. b. m, n. a m. m n. a. 16 81. x n. a.

■高一蛻變講座 例 18： 證明. x3  10 f  x   x3  10 ax  b. f  1  0. x 1. ax  b x2. f  2   0. x5. f  5  0. x  10. a1. b 10. b  1, 2, 5, 10 a. f  10   0.  x3  10  0. ~86~.

■李英毅老師編授. 2-4 主題 1. 多項式不等式. 不等式的基本性質與區間符號 A B. AC  B C. A B. AC  B C. A B. C 0. AC  BC. A B. C0. AC  BC. ab. ~87~.  a, b .  a.  b.  a, b . a. b. a , b.  a. b.  a , b. a.  b. a , .  a.  a , . a.   ,b.   x  b.  b.   ,b .   x  b. b.

■高一蛻變講座. 《練習 1》. x. y yx. x y 解答. 兩不等式相加、減 a xb,c y d. 《練習 2》 A 1 B. A B. x2 0 x 1. x20. 解答. ~88~.

■李英毅老師編授. 分式不等式處理要領. A 1 B. B0 . A 1 B. B0. A 0 B. A 0 B A 1 B A 0 B. A 0 B. ~89~.

■高一蛻變講座. 主題 2. 多項式不等式的解與幾何意義 f  x   Rx. x a R. f ( x )  0 f ( x )  0 f ( x)  0 f ( x)  0 f (a)  0. 2x  3. f ( x)  0. x a.  . x2  x  1. 2x  3  0 x 1 3x  9. x0 2x  6. x  1. x  2. x  1 i. 5x  15. x3. y. y  f  x. y  f  x 4. 1. 5. x. f ( x)  0. f  x  0 f  x  0 ~90~.

■李英毅老師編授. y  f  x. f ( x)  0. y  f  x. f ( x)  0. y  f  x. f ( x)  0. y  f  x. f ( x)  0 y. y. y. y. 2 2. 6. O. O. x O. 解答. ~91~. 2  x  6. x. 3. x. O. x. x3. x  2. x. x.

■高一蛻變講座. 解一元一次不等式. 主題 3. b R , a  0. a. axb  0 b x  a b x  a. a a. axb  0 b x a b x a. a xb  0 b x a b x  a. axb  0 b x a b x a. 《說例》 3x  1. 3x  1. x 1 2x  5 x  5   2 3 6. 1. 3x  1 7 4. ~92~.

■李英毅老師編授 例 2：.  a  b  x   2a  3b   0. x. 1 3.  a  3b  x  b  2a . a b 解答. x. x a  2b 1  3x  1  3x  1  0 3.  a  b  x   2a  3b   0.  _____________________  a  2b  0. a  2b.  a  3b  x  b  2a . 例 3： 解答. 2x7  5 x. 2x7  5. . 觀念 a0. x a . x a. ~93~. .

■高一蛻變講座. 主題 4. 解一元二次不等式. ax2  bx  c. ax2  bx  c. ax2  bx  c  0 ax2  bx  c  0. ,   R. b2  4ac  0. . ( x   )( x   )  0. . ( x   )( x   )  0. . b2  4ac  0. 【1】 b2  4ac  0 型 例 4：. x2  x  2. x2  x  2. 解答. x2  x  2.   x  2  x  1  0 . x2  x  2.   x  2  x  1  0 . y. x2  x  2 x. x2  x  2. ~94~.

■李英毅老師編授 例 5： 解答. 2x 2  x  1  0 x.  x 2  3x  4  0. 1 或 x 1 2. x  1. x 4. x 2  x 1  0 1 5 1 5 x 2 2. 【2】 b2  4ac  0 型 例 6：. x2  4 x  4. x2  4 x  4. x2  4 x  4 . x2  4 x  4  0. 解答. x2  4 x  4.   x  2. 2. x2  4 x  4.   x  2. 2. x2  4 x  4 . y. x.   x  2  0 2. x2  4 x  4  0   x  2  0 2. ~95~.

■高一蛻變講座 【3】 b2  4ac  0 型 例 7：. x2  x  1. x2  x  1. x2  x  1 . x2  x  1  0. 解答. y 1 3    x2  x    4 4 . x2  x  1. 2. 1 3   x   2 4 . x. 1 3    x2  x    4 4 . x  x 1 2. 2. 1 3   x   2 4  2. 1 3    x2  x     4 4 . 1 3   x    2 4 . 1 3  x  x  1  0   x2  x     4 4 . 1 3   x    2 4 . x  x 1  2. 2. 2. 【4】已知解求未定係數 f  x. 例 8：. 解答. x. f  x. x. f  2x. x x.   x  2  x  4   0. f  x. f  x  ___________________. f  2x. ~96~.

■李英毅老師編授 例 9：. a. x 2   2  a  x  2a  0. 1, 0. 3, 4, 5,. 1, 2,3,. 2.  ,  . 97, 2008 解答. x 2   2  a  x  2a  0 . . a  2. ____________________. a  2. ____________________ 2  x  3. a3. 2  x. a . x  2. a  . 2  x  2009. a a. ~97~. aR aR.

■高一蛻變講座. 主題 5. 解高次不等式. x( x 1)( x  2)  0. x( x 1)( x  2)  0. y y  x  x  1 x  2 . 0. x. 2. 1. x( x 1)( x  2)  0 x( x 1)( x  2)  0. x( x 1)( x  2)  0 x( x 1)( x  2)  0. 0. 1. 2.   ~98~.

■李英毅老師編授 ( x 2  2 x  3)( x  2)  0. ( x  1)2 ( x  2)  0. ( x  1)2 ( x  2)  0. ( x  1) 3 ( x  2)  0. ( x  1) 3 ( x  2)  0. ~99~.

■高一蛻變講座 例 10：. ( x 2  3x  2)( x 2  x  12)  0. 解答. x. x. ( x 2  3x  2)( x 2  x  12)  0.   . x. x. 例 11： ( x2  x  1)( x  1)( x  2)2 ( x  3)4 ( x  5)5  0 ( x2  x  1)( x  1)( x  2)2 ( x  3)4 ( x  5)5  0 解答. 1 x  5. x3. 1 x  5. x  2. ( x2  x  1)( x  1)( x  2)2 ( x  3)4 ( x  5)5  0. ( x2  x  1)( x  1)( x  2)2 ( x  3)4 ( x  5)5  0. ~100~.

■李英毅老師編授 例 12： 解答. x 3  5x 2  6 x  2  0. 2  2  x  1或x  2  2. . x3  5 x 2  6 x  2. x3  5x2  6 x  2   x  1  x 2  4 x  2  x 3  5x 2  6 x  2  0   x  1  x 2  4 x  2   0 . 例 13：. x. 2.  4 x  2   2 x  5 2 x  37   0. 解答. x. 2.  4 x  2   2 x  5 2 x  37   0. ~101~.

■高一蛻變講座. 主題 7. 解分式不等式. B. A C  B. B. A C  B. B. A 0  B. A 0 B. A 0  B. A 0 B. A C  B. 例 14： 解答.  2x 2  x 1 0 x 2  x 1. 1   x 1 2 2. 1 3  x2  x  1   x    2 4  . .  2x 2  x 1 0  x 2  x 1.  2 x2  x  1 0   2 x  1 x  1  0  . 1  x 1 2. ~102~.

■李英毅老師編授 2 x x 1. 例 15： 解答. 2  x  1. x 1. 2 2 x  x0 x 1 x 1.  . 2  x  x  1 x 1  x2  x  2 x 1.  . x. .  x 1 x  2 x  1. 2.  x  2   x  1.  2  x  1. 例 16： 解答. . k. 2 x 2  2kx  k 1  4x 2  6x  3. ~103~. 2 x 2  2kx  k 1 4x 2  6x  3. x.  4 x2  6 x  3. x 1. D. k.

■高一蛻變講座 x 1 0 ( x  x  1)( x  1). 例 17：. 解答. 2. 1  x  1. x 1 0  ( x  x  1)( x  1) 2. 2. 1 3  x2  x  1   x    2 4  .  x  1 x 1  0  1  x  1. x 1. x 1.  1  x  1. ~104~.