第二章多項式
§2 − 1 簡單多項式函數及其圖形
(甲)函數
函數的概念
函數是描述兩個變量(變數)間的“對應變化”關係，在高中數學，它是一個既 重要又基本的概念。例如：
例一“距離與時間”的關係。
乘“高鐵”從起站出發，車行 10公里後開始計時，以均速 250 公里／時飛馳，
車行的“距離”S ( 公里 ) 與“時間”t ( 時 ) 有下列關係：
S＝250t＋10 ( 0 t 1.6 ) (A) 例二“面積與半徑”的關係。
圓盤面積 A與半徑 r的關係為
A＝πr2 ( r 0 ) (B)
例三氣體的“體積與氣壓”的關係 ( 波義耳定律 )。
常溫下的氣體，它的體積 V 與氣壓 p 成反比，即 V＝k． 1
p ( k 是常數，p＞0 ) (C)
上面三個例子都是函數關係。距離 S 的大小隨時間 t的變化而改變，t 在某一個 時段內取任一個值，就對應 S唯一又確定的值，S 稱為 t 的函數。
同理，A 稱為 r 的函數，V也是 p 的函數。
(1)函數的定義：
設 x 與 y 是兩個變數，若 y 的值隨 x 所取的值依某一種“對應法則 f”
而唯一確定時，則說 y 是 x 的函數，用記號 y＝f (x) 表示。
在函數關係 y＝f (x)中，x叫做自變數，y 叫做因變數 ( 或應變數 )。 自變數 x 取值的範圍稱作函數 f 的定義域，x 依對應法則 f 所對應的 y 值叫 做 x 的函數值，記作 f (x)。
當 x 遍取定義域內每一個值時，全體函數值 f (x) 的範圍，稱作函數 f 的值域。
函數的概念由三部分構成：
定義域 對應法則f
──────→ 值域
定義域是“自變數”取值的範圍。當“定義域”與“對應法則”確定後，應變 數 y 取值的範圍 ( 值域 ) 也就隨著確定。
例一“距離與時間”關係中，
函數 f (x)＝250x＋10 ( 0 x 1.6 )的
定義域是一個閉區間 0 x 1.6 ( 簡記作〔0，1.6〕)，
當 x＝0.5 ( 時 )，x 所對應的函數值為f (0.5)＝135 ( 公里 )，
當 x 在定義域〔0，1.6〕內遍取每一個值時，
它所對應的 f (x) 取值的範圍為 10 f (x) 410，
即閉區間〔10，410〕就是 f (x) 的值域。
(練習1) 設二次函數 f(x)=x2+2x−1，試求 f(x)的定義域與值域。
Ans：定義域所有實數、值域為大於等於−2的實數
函數的圖形 (1)何謂函數的圖形
在國中數學裡，我們學過常數函數、一次函數、二次函數的圖形。例如：
(1)常數函數 y＝1 的圖形，是由坐標為(x，1)的點所描出的水平直線。(如圖(a) )
(2)一次函數 y＝2x 的圖形，是由坐標為(x，2x)的點所描出的一條傾斜直線。
(如圖(b))
(3)二次函數 y＝x2的圖形，是由坐標為(x，x2)的點所描出的一條拋物線。
(如圖(c))
(a) (b) (c) 一般而言，函數 y＝f (x) 的圖形，其意義如下：
函數圖形的定義：
設 y＝f (x)是一個函數( x，y皆為實數 )。在直角坐標平面中，當自變數 x 在定
義域內任意變動時，一切以 ( x，f (x) ) 為坐標的點所描繪的曲線(包括直線)，
稱為函數 f的圖形。
[例題1] 試描出函數y＝| x |的圖形。
[例題2] “溫度”是隨著“時間”的改變而變化的。給了一個時間x，就對應一個溫度y，
因此，溫度y是時間x的函數。下圖是某地一天24小時的溫度變化圖 ( 氣 溫自動記錄器所繪 )。讀圖後，回答下列問題：
O x y
(1) 在時間12時及2時，攝氏溫度分別為多少度？該日的溫差是多少度？
(2) 當x在〔0，24〕內變動時，求溫度y變動的範圍 ( 值域 )。
[解法]：
設y＝f (x)。( x代表時間，y代表溫度 ) (1) f (12)＝18 ( ℃ )，f (2)＝10 ( ℃ )。
溫差為18－10＝8 ( ℃ )。
(2) 函數f的定義域是〔0，24〕，對應的值域是〔10，18〕。
函數的圖形是函數的一種“幾何”表達方式。它讓我們對函數的“變化趨勢”
有一個形象化的理解與掌握，並可解讀圖中所呈現的豐富訊息。
(2)函數圖形的特徵：
在坐標平面上，經過函數 y＝f (x) 定義域中任何一點 a，作垂直於 x 軸的直線 L， 則 L 與函數的圖形恰好交於一點 ( a，f (a) )。( 每一個 a，恰好對應一個 f (a)。)
[例題3] 下列何者是y為x的函數圖形？
(A) (B)
(C) (D)
Ans： AD
(丙)一次函數
一次函數的實例：
(1°)騎自行車是很環保的健身運動，若自行車每小時的速度大小為 15公里，則
騎 x 小時後，行經的路程為 y公里，y與 x的關係為 y=15x (x≥0)
(2°)水槽中原有存水 40 公升，打開水龍頭後每分鐘排出 5公升，
x分鐘後水槽內的水量有 y 公升，y 與 x 的關係為 y=−5x+40 (0≤x≤8)
(1°)(2°)的圖形如下所示：
一次函數(線性函數)：
(1)一次函數的定義：
設 m≠0，若兩個變數 x,y之間的關係可以表成 y=mx+b，則 y稱為 x 的一次函數。
因為 y為 x的函數，因此上述的一次函數亦可表成 f(x)=mx+b。
若允許 m=0，那麼所有型如 y=mx+b 的函數稱為線性函數。
(2)線性函數 y=mx+b 中 x 項係數 m 的意義：
(a)自變數與因變數變化的角度：
(1°)設(x0,y0)在一次函數 y=mx+b的圖形上，即 y0=mx0+b 讓自變數 x0增加h(h 可正可負)成為 x0+h，
因變數 f(x0+h)=m(x0+h)+b=mx0+b+mh=y0+a=f(x0)+mh
故因變數 f(x0+h)增加 mh(mh 可正可負)成為 f(x0)+mh。
(2°)當自變數 0 對應的因變數為 b，且自變數 x 的值每增加 h 單位時(h>0)時，
其因變數 y值必增加(減少)mh單位，
則y−b
x−0=m，故 y=mx+b。
結論：
(A)若自變數 x 與因變數 y 間為線性關係，即 y=mx+b
(1°)當 m>0 時：
當自變數 x 的值每增加 h 單位時(h>0)，因變數 y值必增加 mh 單位。
(2°)當 m<0 時：
當自變數 x 的值每增加 h 單位時(h>0)，因變數 y值必減少|mh|單位。
(3°)若 m=0，則不論自變數 x 的值如何變動，其因變數 y 值恆為一個常數。
(B)若自變數 x 的值每增加 h 單位時(h>0)時，其因變數 y值必增加(減少)mh 單 位，則自變數 x 與因變數 y間為線性關係，即 y=mx+b。
[例題4] 測量氣溫，常用攝氏和華氏兩種度數，已知攝氏每上升1度，華氏就上升9
5度，
且攝氏0度時，華氏32度，設攝氏x度時，華氏y度 試回答下列各小題：
(1)請求出y與x的關係。
(2)攝氏60度時，華氏多少度？
(3)攝氏多少度時與華式的度數相同？
[解答]：
(1)因為攝氏每上升1度， 華氏就上升9
5度，所以y與x的關係是一個線性關 係，故可設y=mx+k，
又攝氏0度時，華氏32度，所以攝氏1度，華氏(32+9 5)度
⇒32=m．0+k，32+9
5=m．1+k⇒m=9
5，k=32。因此y=f(x)=9
5x+32。
(2)f(60)=108+32=140(度) (3)設t度時相等， 9
32 40
t=5t+ ⇒t= −
∴在零下40度時，攝氏與華式的度數相同。
(b)函數圖形的角度：
國中時已知一次函數 y=mx+b 的圖形為一直線 L，在 y=mx+b的圖形上取相異兩 點 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，所以 y1=mx1+b，y2=mx2+b
將兩式相減，可得 y1−y2=m(x1−x2)，因為 x1≠x2，所以 m= y1−y2
x1−x2 。 m= y1−y2
x1−x2這個式子可以解釋成：
一次函數 y=mx+b中 x的係數 m 為 相對應因變數的差
相對應自變數的差，這是直線 L 重要特徵。
於是我們定義 x的係數 m 為 y=mx+b 圖形直線 L 的斜率。
舉例說明：
(1°)以一次函數 y=2x+3 為例：
一次函數 y=2x+3的圖形如右圖所示之直線 L，
直線 L的斜率為 2，自變數 x增加 1 單位，因變數 y增加 2 單位。
因此圖形從左下上升到右上。
x y
O x
y
O x
y
O (2°)以一次函數 y=−2x+3 為例：
一次函數 y= −2x+3的圖形如右圖所示之直線 M，
直線 M的斜率為−2，自變數 x增加 1 單位，因變數y 減少 2 單位。
因此圖形從左上下降到右下。
(3)線性函數 y=mx+b 的圖形：
(i) m>0 (ii)m<0 (iii)m=0
[例題5] 描繪下列一次函數的圖形：
(1) y＝2x。 (2) y＝－2x。
[分析]：
y＝ax之圖形，是恆過原點 ( 0，0 ) 與另一點 ( 1，a ) 的直線。
[解法]：
(1)y＝2x的圖形是過兩點 ( 0，0 ) 與 ( 1，2 ) 的一條直線，如圖 (a)。
(2) y＝－2x的圖形是過兩點 ( 0，0 ) 與 ( 1，－2 )的一條直線，如圖 (b)
(a) (b)
一次函數y＝ax的圖形是恆過原點的一條直線L。L之“傾斜程度”，完全由 另一點 ( 1，a ) 的位置來決定。
結論：直線 y=ax的圖形傾斜程度與係數 a 直線：y＝ax恆通過原點與一點 ( 1，a )
(1) 當 a＞0 時，點 ( 1，a ) 在 x軸上方，故直線由左往右上升。
並且 a 值愈大，傾斜程度也愈大。
(2) 當 a＜0 時，點 ( 1，a ) 在 x軸下方，故直線由左往右下降。
並且| a | 愈大，傾斜程度也愈大。
[例題6] 如右圖，設m1,m2,m3,m4各為一次函數的圖形直線 L1,L2,L3,L4的斜率，試比較m1,m2,m3,m4的大小。
Ans：m2>m1>m3>m4
[例題7] 已知直線L上有兩點A ( x1，y1 )，B ( x2，y2 )，試求直線L的斜率。( 其中x1≠x2 ) 用A，B的坐標來表示斜率a。
Ans：x2−x1
y2−y1
x y
O
L1
L2
L3
L4
結論：
直線斜率的絕對值代表傾斜程度：傾斜程度愈大，則其斜率的絕對值也愈大，
而且
(1°)當直線由左下到右上傾斜時，其斜率為正。
(2°)當直線由左上到右下傾斜時，其斜率為負。
(3°)當直線成水平時，其斜率為 0。
(練習2) 設一次函數 f (x)＝ax＋b。
(1) 若 f (2)＝－1，f (－1 )＝8，則 f (x)＝ 。
(2) 若 y＝f (x) 之圖形平行於直線 y＝3x＋5，並且與 y軸交於點
( 0，－2 )，則 f (x)＝ 。
Ans：(1)f(x)=−3x+5 (2)f(x)=3x−2
(練習3) 已知線性函數的圖形過點(2,3)，且斜率為 2
1，求此函數。
Ans： 2
2
1 +
= x y
(練習4) 某次數學測驗，全班的分數普遍低落，最低 30分，最高 70分。老師為 了提振學習興趣，決定用一次函數 f (x)＝ax＋b，將“原始分數 x”調升為
“新分數 f (x)”。將“最低 30分調升為 50分，最高 70分調升為 100 分”。
試求：
(1) 調升分數的一次函數 f(x)。
(2) 原始分數 50 分者，調升後的分數為何？
(3) 經調升後及格者(不小於 60 分 )，其原始分數(整數)最少多少？
Ans：(1)f(x)= 5
4 x＋ 25
2 (2)75 (3)38分
(練習5) 設 f(x)=2002x+2003，求 f(8888)−f(6666)
8888−6666 =？ Ans：2002 (丁)二次函數
二次函數 y=f(x)有多種不同的呈現形式，常見的有
一般形式：f(x)=ax2+bx+c [可以配成y=a(x−h)2+k]
頂點形式：f(x)=a(x−h)2+k [便於作二次函數的圖形，討論 f(x)的最大值與最小值]
因式形式：f(x)=a(x−x1)(x−x2) [便於解方程式 f(x)=0的解]
二次函數的定義與圖形：
(1)二次函數的定義：
設 a,b,c 為給定的實數， f(x)=ax2+bx+c(a≠0)稱為二次函數。
(2)二次函數的圖形：
二次函數 f(x)=ax2+bx+c 的圖形上的點為(x,f(x))，點(x,f(x))形成二次函數的圖形。
一般說來，二次函數的圖形是拋物線，基本的作圖方式是描點，更精確點，則 觀察其對稱軸與極值，可幫助我們做圖。
(3)二次函數圖形的伸縮與平移：
(a)圖形伸縮與對稱 舉例講解：
利用 y＝x2的圖形，作出 y＝ 1
2 x2及 y＝2x2的圖形。
壓縮與伸展 y＝ 1 2 x2
鉛 直 壓 縮
← ─ ─ ─ ─ 1 2 倍
y＝x2
鉛 直 伸 展
─ ─ ─ ─ →
2倍 y＝2x2
舉例講解：
利用 y＝ax2的圖形，作出 y＝－ax2的圖形 點 P ( r，s ) 滿足 y＝ax2 s＝ar2
－s＝－ar2 點 P' ( r，－s ) 滿足 y＝－ax2。 y＝ax2的圖形與y＝－ax2的圖形對稱於 x軸。
一般而言：
y=f(x)的圖形
鉛 直 伸 縮
─ ─ ─ ─ → k倍
y=k f(x)的圖形 點 P(r,s)
鉛 直 伸 縮
─ ─ ─ ─ → k倍
點 Q(r,ks) k>0
(b)圖形的平移 舉例講解：
利用 y＝2x2的圖形，作出 y＝2 ( x－3 )2及 y＝2 ( x－3 )2＋(－2 ) 的圖形。
點 P ( r，s ) ─ ─ ─ ─ →3個 單 位右 移 點 P' ( r＋3，s ) ─ ─ ─ ─ →2個 單 位下 移 P//(r+3，s−2) y＝2x2 ─ ─ ─ ─ →3個 單 位右 移 y＝2( x－3 )2 ─ ─ ─ ─ →2個 單 位下 移 y＝2( x－3 )2－2 一般情形：
P'N ＝2 PN
P"N ＝ 1 2 PN
y=f(x)的圖形 ─ ─ ─ ─ →左 右 平 移h單 位 y=f(x−h)的圖形 (h>0右移；h<0左移) y=f(x)的圖形 ─ ─ ─ ─ →上 下 平 移k單 位 y=f(x)+k的圖形 (k>0 上移；k<0下移) 結論：
例如：
將 y=x2的圖形應如何伸縮、對稱、平移才得到 y=−3x2−6x−4 的圖形。
Ans：
y=x2 ⎯對x⎯軸做鏡射⎯⎯⎯→ y= −x2 ⎯沿⎯y⎯軸伸縮⎯3⎯倍→ y=−3x2 ⎯沿⎯x⎯軸向左移動⎯⎯1⎯單位⎯→ y=−3(x+1)2
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯ →
⎯沿y軸向下移動1單位 y=−3(x+1)2−1
(練習6) 將 y=2x2−6x+8 的圖形水平移動 3，鉛直移動−5，形成另一個圖形，
求此圖形的頂點與對稱軸。Ans：(3 2 , −3
2)，x=3 2
(練習7) 將 y=x2的圖形應如何伸縮、對稱、平移才得到 y=2(x+1)2−2的圖形。
Ans：
y=x2⎯沿⎯y⎯軸伸縮⎯2⎯倍→y=2x2
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯
⎯ →
⎯沿x軸向左移動1單位 y=2(x+1)2⎯沿⎯y⎯軸向下移動⎯⎯2⎯單位⎯→ y=2(x+1)2−2 (練習8) 寫出下列空格所對應的二次函數：
(4)二次函數 f(x)的最大值與最小值：
將二次函數 y＝f (x)＝ax2＋bx＋c 化成頂點形式 y＝a ( x－h )2＋k
後，除了較易掌握函數值 f (x) 的變化趨勢，並可進而求出 f (x) 的最大值、最 小值。
以下分兩種情況討論：
(i) x 在整條數軸上變動。
(ii) x在閉區間〔a，b〕內變動。
(a)利用配方法找二次函數的頂點與對稱軸：
考慮二次函數 y=ax2+bx+c 之圖形為拋物線，利用配方法 y= ax2+bx+c=a(x2+b
a x)+c =a(x+b
2a)2+c−b2
4a= a(x+b
2a)2−b2−4ac 4a 可知拋物線之對稱軸為 x=− b
2a，頂點為(− b
2a，− b2−4ac 4a )
[例題8] 已知有一個二次函數y＝f (x)，其圖形通過下列三點P (－1，0 )，Q ( 2，3 )，
T ( 0，3 )。試求：
(1) f (x) 及f (3)。 (2) y＝f (x) 的頂點及對稱軸方程式。
Ans：(1) f (x)＝－x2＋2x＋3，f (3)＝－9＋6＋3＝0。
(2) 頂點坐標是 ( 1，4 )，對稱軸方程式是x＝1。
(練習9) 設 f (x) 是二次函數，已知 f (1)＝4，f (2)＝3，f (0)＝7，試求 f (x)。
〔表成 f (x)＝a ( x－h )2＋k 之形式〕 Ans：f(x)=(x−2)2+3 (b)沒有範圍限制求極值：
考慮二次函數 y=ax2+bx+c 利用配方法 y= ax2+bx+c= a(x+ b
2a)2−b2−4ac
4a …..(*) (a)a>0時，由(*)式可得 y≥ −b2−4ac
4a ，所以拋物線的開口向上，
最低點為(− b
2a , − b2−4ac
4a )，
因為圖形最低點的 y坐標為最小值，故最小值為− b2−4ac
4a 。
(b)a<0時，由(*)式可得 y≤− b2−4ac
4a ，所以拋物線的開口向下，
最高點為(− b
2a , − b2−4ac
4a )，因為圖形最高點的 y坐標為最大值，
故最大值為− b2−4ac
4a 。
(c)有範圍限制求極值：
二次函數 y=f(x)=a(x−h)2+k，m≤x≤n，求 y的最大值，最小值。
(1°)m≤h≤n，則比較f(m),f(h),f(n)可求得最大，最小。
a>0⇒ f(h)最小，m,n中離對稱軸較遠者發生最大值。
a<0⇒ f(h)最大，m,n中離對稱軸較遠者發生最小值。
(2°)h 不在 m,n 之間，比較 f(m),f(n)可求得最大值、最小值。
a>0：m,n 中離對稱軸較遠者發生最大值，離對稱軸較近者發生最小值。
a<0：m,n 中離對稱軸較遠者發生最小值，離對稱軸較近者發生最大值。
[例題9] 求下列二次函數在閉區間上的最大值與最小值。
(1)y=(x−1)2+2 (−1≤x≤2) (2)y=−x2+2x+6 (2≤x≤3)
h n
m m n h
[例題10] 設二次實係數多項式函數f(x)=ax2+2ax+b在區間−1≤x≤1上的最大值為7、最
小值為3。試求數對(a,b)的所有可能值。
Ans：(a,b)=(1,4)、(−1,6)
(練習10) 二次函數 y=f(x)=ax2+bx+c的圖形的頂點為(−2,3)，並經過(0,−9)，
求 f(x)=？Ans：−3x2−12x−9
(練習11) 二次函數 y=ax2+bx+5，於 x=2 時，有最小值 1，則 a=？b=？
Ans：a=1,b−4
(練習12) 函數 y=f(x)=x2+2x−3
(1)若−2≤x≤2，則 x= 時，f(x)有最大值
；x= 時，f(x)有最小值 。
(2)若 0≤x≤3，則 x= 時，f(x)有最大值
；x= 時，f(x)有最小值 。
Ans：(1)x=2時 f(x)有最大值=5，x=−1 時 f(x)有最大值=−4 (2)x=3 時 f(x)有最大值=12，x=0時 f(x)有最大值=−3 (練習13) 設 x,y 為實數，且 x2+3y2=1，
(1)請找出 x 的範圍。(2)求 4x+3y2之最小值、最大值為何？
Ans：(1)−1≤x≤1 (2)當 x=1有最大值 4；當 x=−1時，有最小值−4 (練習14) x為實數，求 y=(x2+3x+1)(x2+3x+2)+3x2+9x+2 之最小值。
Ans：x= − 3
2，y有最小值− 71
16
[提示：令 t=x2+3x，並且要注意 t 的範圍]
(5)二次函數的正定性：
在什麼條件下，二次函數 y=ax2+bx+c 的值會恆大於 0(恆小於 0)呢？
利用配方法將二次函數化成頂點形式：
y=ax2+bx+c= a(x+ b
2a)2−b2−4ac
4a =a(x−h)2+k，其中頂點 V(h,k)=(−b
2a , −D
4a)，D=b2−4ac
下表是用 a與 D的正負來判定圖形Γ與 x 軸的位置關係：
(1)a 的正負掌控了拋物線開口的方向與大小。
(2)a 與 D 的正負決定了拋物線頂點是位於 x軸的上方或下方。
(練習15) 設 f(x)=2x2−3x+k，若不論 x 為任何實數，對應的 f(x)值恆為正值，試求 實數 k的範圍。 Ans：k>9
8。
(戊)多項式函數
多項式函數與其圖形：
由實係數的 n 次多項式所定義的一個函數，稱為多項式函數，又稱為 n 次函數。
(1)多項函數的實例：
函數 f：x→x2+x+1，即 f(x)=x2+x+1為一個二次函數。
函數 f：x→x3+2x2+x+4，即 f(x)=x3+2x2+x+4 為一個三次函數。
多項函數的定義域：所有的實數。
函數的圖形：由點(x,f(x))所形成的圖形，稱為 y=f(x)的圖形。
例如：左圖是 f(x)=x3的圖形，右圖是 f(x)=x4−3x3+2x2−x+3的圖形，這些圖形都 是連續不斷的。
結論：
(1°)函數 f(x)= anxn+an−1xn−1+……+a1x+a0，稱為多項式函數。
若 an≠0，則y=f(x)稱為 n 次多項式函數，簡稱為 n 次函數。
當 x用 a代入函數時，得到 f(a)稱為函數 y=f(x)在 x=a的函數值。
(2°)多項函數 y=f(x)的圖形構成一條連續不斷的曲線。
(練習16) 利用 GeoGebra描繪出 f(x)=x3，f(x)=x4，f(x)=x5，…的圖形，
並據此描述 f(x)=xn圖形特徵。
(2)三次、四次單項函數：
對於一般多項式函數的圖形，於高三數學甲下冊微分的課程中會做介紹，接下 來針對 y=x3、y=x4的圖形及它們經過「伸縮、對稱、平移」後的圖形作探討。
[例題11] 試透過GeoGebra繪出y=x3的圖形，並且討論其圖形的特徵。
圖形特徵：
(1)圖形Γ由左向右上升。
(2)圖形Γ對稱對稱於原點(0,0)
[例題12] 試透過GeoGebra繪出y=x4的圖形，並且討論其圖形的特徵。
圖形特徵：
(1)當x≥0時，圖形Γ由左向右上升。
當x≤0時，圖形Γ由左向右下降。
(2)圖形Γ對稱對稱y軸。
[討論]：
試透過 GeoGebra 繪出 y=xn的圖形，
並且討論其圖形的特徵。
n為奇數：
n為偶數：
[例題13] (1)利用「伸縮、對稱、平移」來討論y=x3與y=2(x+1)3−3兩個圖形的關係。
(2)利用「伸縮、對稱、平移」來討論y=x3與y=−2(x+1)3−3兩個圖形的關係。
(練習17) 利用「伸縮、對稱、平移」來討論 y=x4與 y=1
2(x−2)4+1兩個圖形的關係。
Ans：y=x4⎯沿鉛直方向伸縮⎯⎯⎯⎯2⎯倍→
1
y=1
2x4⎯向右平移2⎯⎯⎯單位⎯→ y=1
2(x−2)4⎯向上平移1⎯⎯⎯單位⎯→ y=1
2(x−2)4+1 (3)奇偶函數
奇函數：
對定義域內每一點 x，若函數 f (x) 恆有 f (－x )＝－f (x)，則稱 f (x) 為奇函數。
偶函數：
對定義域內每一點 x，若函數 f (x) 恆有 f (－x )＝f (x)，則稱 f (x) 為偶函數。
[例題14] 奇偶函數的圖形特徵
(1)奇函數的圖形對稱原點。
(2)偶函數的圖形對稱y軸。
圖形Γ對稱於原點 ( 0，0 )。
(1)Γ上任一點P ( x，f (x) ) 關於原點的對稱點為
P /(－x，－ f (x) )＝(－x，f (－x ) ) 在Γ上。
(2) Γ上任一點P ( x，f (x) ) 關於y軸對稱點為 P /(－x， f (x) )＝(－x，f (－x ) ) 在Γ上。
(練習18) 利用 GeoGebra繪出下列函數圖形：
y=x+x3、y=x3−2x、y=x2+4、y=x4+3x2+1、y=2(x−1)3 並且判斷這些函數是奇函數或偶函數。
Ans：y=x+x3、y=x3−2x 為奇函數；y=x2+4、y=x4+3x2+1 為偶函數
y=2(x−1)3不是奇函數也不是偶函數。
(練習19) 設 f：A→B為一個函數，定義 g(x)=1
2(f(x)+f(−x))，h(x)=1
2(f(x)−f(−x)) 請證明：g(x)為一個偶函數，h(x)為一個奇函數。
(4)單調函數：
觀察實例：
像三次函數f (x)＝x3 在定義域上，函數值f (x) 會隨自變數x的增大而遞增 ( 對 應在函數圖形上，就是其圖形由左而右上升，如下圖)。
而像二次函數 g (x)＝x2， ( 如上圖)。
當 x 0時，函數值 g (x) 隨 x的增大反而遞減；當 x 0 時，x 愈大，函數值也 愈大。
(a)定義單調函數：
設 I 為 f(x)定義域內的一個區間
遞增函數(嚴格遞增函數)：對於 I內的任意兩點 x1、x2若滿足：
x1<x2 ⇔ f(x1)≤f(x2) (f(x1)<f(x2)，則稱 f(x)在 I 上是遞增函數(嚴格遞增函數) 遞減函數(嚴格遞減函數)：對於 I內的任意兩點 x1、x2若滿足：
x1<x2 ⇔ f(x1)≥f(x2) (f(x1)>f(x2)，則稱 f(x)在 I 上是遞減函數(嚴格遞減函數) 區間上的遞增函數(嚴格遞增函數)或遞減函數(嚴格遞減函數)都稱為I上的單調 函數。
(練習20) 如圖為 y=f(x)的部分圖形，請指出在那些區間為遞增或遞減？
綜合練習
(1) 設f(x)為一次函數，
(a)如果x增加4單位時，其對應之f(x)就增加10單位，又f(4)=12， 則f(x)=？
(b)若f(x)=1998x+9876，則求f(56789)−f(12345)
56789−12345 = 。 (2) 華氏 ( Fahrenheit ) 溫度計 ( ℉ ) 與攝氏
( Celsius ) 溫度計 ( ℃ ) 的關係如右表：
(a) 設攝氏x ℃時，華氏為y ℉，將y表成x的一次函數。
(b) 若攝氏x ℃的範圍為20 ≤ x ≤ 25，人體感覺“清爽舒適”，試求對應的 華氏y ℉的範圍。
(3) 人的「肱骨」是手臂「從肘部到肩部」的骨頭。人類學家用肱骨的長度 ( 單 位：公分 ) 來估計男性、女性的身高 ( 單位：公分 )，其線性關係如下：
M (x)＝2.89x＋70.64 男性身高 F (x)＝2.75x＋71.48 女性身高
其中x ( 公分 ) 代表肱骨的長度。某廢墟中發現一根30公分長的肱骨 (a) 此肱骨若屬男性，他有多高？
(b) 此肱骨若屬女性，她有多高？
(4) 二次函數y＝f (x) 的圖形如右圖所示。
(a) 寫出A點坐標。
(b) 求出f (x)。
(c) 寫出使y坐標為正數的x範圍。
(5) 設a,b,c為實數。若二次函數 f(x)=ax2+bx+c的圖形通過(0,-1)且與x軸相切，
則下列選項何者為真？
(A) a<0(B) b>0(C) c=−1(D) b2+4ac=0(E) a+b+c≤0 (90學科能力測驗)
(6) 設a,b均為實數，且二次函數f(x)=a(x−1)2+b滿足f(4)>0，f(5)<0，試問下列何 者為真？
(A)f(0)>0 (B)f(−1)>0 (C)f(−2)>0 (D)f(−3)>0 (E)f(−4)>0 (87 學科能力測驗) (7) 某玩具飛機製造工廠，每次接到訂單都需要開模費5萬元，且製造一千個玩具
飛機的材料費需2萬元，由此建立生產的成本函數f(x)=5+2x，其中x以千個為 單位。依過去經驗，接到訂單數量與報價總值有如下關係：
數量(千個) 報價總值(萬元)
5 37.5
10 70
15 97.5
以 此 資 料 建 立 一 個 二 次 函 數 的 報 價 總 值 函 數 g(x)， 以 及 獲 利 函 數 h(x)=g(x)−f(x)
(a)試求報價總值函數 g(x)。
(b)試問當訂單數量是多少時，獲利總價最高？
(8) 求下列二次函數在閉區間上的最大值及最小值。
(a) f (x)＝3x2－12x＋7 ( 0 ≤ x ≤ 5 )。
(b) g (x)＝－2x2－4x＋1 (－5 ≤ x ≤ －2 )。
(9) 設k為實數，二次函數y= −2x2+4x+k+1的圖形與x軸相交於相異兩點，試求k 的範圍。
(10) (a)請作出y=|x−1|的圖形。
(b)利用(a)的圖形說明如何由水平位移與鉛直位移得出下列圖形：
cy=|x−4|dy=|x+1|+3
(11) 求f(x)=−x2+4x+2 (−3≤x≤5) 的最大值與最小值。
(12) 如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，
若動點M,N,P分別在⎯AB,⎯BC ,⎯CD邊上，
且⎯AM=⎯BN=1
2⎯CP，求△MNP面積的最小值。
(13) 如圖，二次函數y=2x2−x−3的圖形在直線y=3x+k的上方，
試求k的範圍。
(14) 試在c~h空格中寫出所對應的三次函數：
(15) 已知函數y＝x2的圖形Γ如右圖，將Γ先沿 y軸壓縮 1
2 倍，再向右平移2單位，續向
A
B C
D
P M
N
y=x3 鉛直壓縮 d
1 2倍
c 鉛直伸展 2倍
e g
f h
向右平移 3單位
向下平移 4單位 向左平移 2單位
向上平移 6單位
O (0,1)
(1,-2)
y=xn
y=xm 下平移3單位後得到Γ′ 的圖形，而Γ′ 所
對應的二次函數為y＝f (x)。試求f (x)，
並求出Γ′ 中的P點坐標。
(16) 設f (x)＝( x－1 )2＋( x－2 )2＋( x－3 )2＋( x－4 )2＋( x－5 )2 ( 計5項完全平方 )。試求f (x) 的最小值及對應的x值。
(17) 右圖兩個函數圖形，分別為f(x)=xn，g(x)=xm (m,n為自然數)，下列有關圖形的 特性，哪些是正確的？
(A)f(x)為奇函數。
(B)g(x)為偶函數。
(C)A點坐標為(1,1) (D)m<n
(E)g(x)為嚴格遞增函數
(18) 設函數f(x)=2(x−3)4的圖形與直線y=k(k為正數) 有兩個交點A,B，試求A,B兩點的x坐標和。
(19) 請問下列哪些是奇函數？( 多選 )
(A) f (x)＝x3＋x＋1 (B) f (x)＝x5＋x3－2x (C) f (x)＝x＋3 (D) f (x)＝x3－2x (E) f (x)＝4
(20) 請問下列哪些是偶函數？( 多選 )
(A) f (x)＝x4－x2＋1 (B) f (x)＝x5＋x3－2x (C) f (x)＝x2＋3 (D) f (x)＝x3－2x2 (E) f (x)＝6
進階問題
(21) 設f(x)=ax2+bx+1
a，在x=3時f(x)有最大值8，則數對(a,b)=_________。
(22) (a)作出y=x|x−2|的圖形。
(b)設a為實數，若x|x−2|=a恰有一個實數解，
求a的範圍。
(23) f(x)=ax+b+c|x+d|，a,b,c,d為實數，
而y=f(x)的圖形如右，求a+b+c+d=？
(24) f(x)=⎪x−a⎪+b和 g(x) = −⎪x−c⎪+d 的圖形相交於(−2, 3), (8, 5)兩點，
則a+c = 。
(25) 設f(x)=|x2−3x|+x−2
(a)請做出y=f(x)的圖形。
(b)方程式|x2−3x|+x−2=k有四個相異實數解，k的範圍=？
(26) 已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x−4)= −f(x)，而且在區間[0,2]上f(x)是遞增 函數。試求下列各小題：
(a)請說明f(x)的圖形對稱直線x=2。
(b)請說明f(x−8)=f(x)。
綜合練習解答
(1) (a)5
2x+2(b)1998 (2) (a) y＝ 9
5 x＋32 (b) 68 ≤ y ≤ 77
(3) (a) 157.34 ( 公分 ) (b) 153.98 ( 公分 )
(4) (a) A (－2，0 ) (b) f (x)＝－2x2－4x (c) －2＜x＜0時，y＞0 (5) (A)(C)(E)
[解法]：
觀察右圖，可設f(x)=ax2+bx+c與x軸相切於A(α,0) (A)因開口向下⇒ a<0……({)
(B)α= −b
2a可正亦可負 ⇒ b可能大於0亦可能小於0
(C)因圖形過(0,−1)，將其代入可求得c= −1……({)
(D)因圖形與x軸相切 ⇒ b2−4ac=0
(E) a+b+c=f(1)，而圖形與x=1之交點
必在第四象限或x軸上 ⇒ a+b+c≤0……({) (6) (A)(B)(C)
[解法]：
根據題意，可以知道拋物線的對稱軸為x=1且 點(4,f(4))在x軸上方，(5,f(5))在x軸下方
⇒圖形開口向下，頂點在x軸上方⇒a<0，b>0 因為對稱軸為x=1
所以f(0)=f(2)>0，f(−1)=f(3)>0，f(−2)=f(4)>0 f(−3)=f(5)<0，f(−4)=f(6)<0
f(0)=a+b>0 故應選(A)(B)(C) (7) (a)g(x)=−1
10x2+8x (b)x=30(千個)獲利總值最高。
(8) (a) 最大值＝22。( 當x＝5 ) 最小值＝－5。( 當x＝2 ) (b) 最大值＝1。( 當x＝－2 )最小值＝－29。( 當x＝－5 ) (9) k>−3
(10) (a)略 (b) c向右3單位d 向左平移2單位，向上平移3單位
(11) 最大值6，最小值−19
(12) 1
3 [提示：可以令⎯AM=⎯BN=x，0≤x≤1，再將△MNP面積表示成x的二次函數，
再求其最小值。]
(13) k<−5
(14) c：y=2x3 d：y=1
2x3 e：y=1
2(x−3)3 f：y=1
2x3−4 g：y=2(x+2)3 h：y=2x3+6 (15) P ( 0，－1 )
(16) 當x＝ 1＋2＋…＋5
5 ＝3時，f (3)＝10最小。
(17) (C)(D)(E) (18) 6
(19) (B)(D) (20) (A)(C)(E)。
(21) (−1,6)
(22) (a)略 (b)a>1或a<0 [解法]：
(a) 當x≥2時，f(x)=x2−2x ；當x≤2時，f(x)=−x2+2x
(b)考慮y=f(x)=x|x−2|與y=a兩個圖形的交點，
若有一個交點，則方程式x|x−2|=a有一個實數解 ⇒a>1或a<0
(23) −1[提示：轉折點(−1,0)⇒d=−1⇒f(x)=ax+b+c|x+1|
x≥1⇒f(x)=ax+b+c(x−1)；x≤1⇒f(x)=ax+b+c(1−x)]
(24) 6
(25) (b)1<k<2 [(a)畫圖時考慮x≥3或x≤0與0≤x≤3兩種情形(b)考慮y=k與y=
f(x)=|x2−3x|+x−2的交點]
(26) (a)根據題目的條件，可以得知f(x−4)=−f(x)=f(−x)，(x,f(x))在圖形上，對x=2的對 稱點為(4−x,f(x))，f(4−x)=−f(x−4)=f(x)，所以f(x)對稱於直線x=2。
(b)f(x−8)=−f(x−4)=f(x)。所以f(x)是以8為週期的函數。
