一、 不等距节点插值公式(差商插值多项式)

§ 2 插值公式

一、 不等距节点插值公式(差商插值多项式)

已 知 单 变 量 函 数

f(x)

的

n+1

个 节 点

x

₀

, x

₁

, x

₂

,  , x

_n 及 其 对 应 的 函 数 值

y

_k

 f ( x

_k

) ),

, , 2 , 1 , 0

( k   n

对于插值区间

}]

{ max }, { min

[

0 0 i

n i i n

i

x x









上任一点

x,函数值 f(x)可按下面的差商插值多项式计算:

) ( ) (

) )(

(

) )(

( )

( )

( ) ( ) (

1 1

0 ,

, 2 , 1 , 0

1 0

2 , 1 , 0 0 1 , 0 0

x R x

x x x x x y

x x x x y x x y y x R x P x f

n n

n n n





































_

式中

y

_0,1

, y

_0,1,2

 , y

_0,1,2,,n分别为

{ y

₀

, y

₁

,  , y

_n

}

的一阶差商，二阶差商，...，

n

阶差商。可按下 列程序从左到右逐列进行计算∶

x

k

y

_k 一阶差商 二阶差商 三阶差商

… n

阶差商

x

0

x

1

x

2

x

3



1

x

n

x

n

y

0

y

1

y

2

y

3



1

y

n

y

n

1 ,

y

0 2 ,

y

1 3 ,

y

2



1 , 2 

 n

y

n n

y

n_1,

2 , 1 ,

y

0

3 , 2 ,

y

1



1 , 2 ,

3  

 n n

y

n

n n

y

n_{2, 1,}

3 , 2 , 1 ,

y

0



1 , 2 , 3 ,

4   

 n n n

y

n

n n n

y

n_{3, 2, 1,}

…

y

_0,1,2,,n

表中一阶差商

i i

i i i

i

x x

y y y



 



 

1 1 1

,

( i  0 , 1 ,  , n  1 )

二阶差商

i i

i i i i i i

i

x x

y y y



 













2

1 , 2 , 1 2 , 1

,

( i  0 , 1 ,  , n  2 )

三阶差商

i i

i i i i i i i i i

i

x x

y y y



 



















3

2 , 1 , 3 , 2 , 1 3 , 2 , 1

,

( i  0 , 1 ,  , n  3 )

………

n

阶差商

0 1 , , 2 , 1 , 0 , , 2 , 1 , , 2 , 1 ,

0

x x

y y y

n

n n

n





^



^{ }



差商插值多项式中的余项

( )( ) ( ) )!

1 (

) ) (

(

_{0 1}

) 1 (

n n

n

x x x x x x

n x f

R   



^

  

m i n { } m a x { }

0

0 i

n i i

n

i

x x









  

余项也可以写成

R

_n

( x )  y

_x,0,1,,n

( x  x

₀

)( x  x

₁

)  ( x  x

_n

)

式中

y

_x,0,1,,n表示

{ y , y

₀

, y

₁

,  , y

_n

}

的

n+1

阶差商。对于由测量给出函数的某些值或分析式子比 较复杂的函数用这种余项较为方便。

差商插值多项式显然满足

P ( x

_k

)  f ( x

_k

)  y

_k

( k  0 , 1 , 2 ,  , n )

具体插值计算步骤如下：

首先由

y

_k

 f ( x

_k

), k  0 , 1 , 2 ,  , n ,

按差商表计算出各阶差商，然后对给定的插值区间内一 点

a，算出 ( a  x

_k

)

，

k  1 , 2 ,  n  1 ,

则

0 0 1

, 0 4

3 , , 2 , 1 , 0

3 2

, , 2 , 1 , 0 2 1

, 2 , 1 , 0 1 ,

, 2 , 1 , 0

) }(

) }(

) }(

) ](

) (

{{[

{ ) ( ) (

y x a y x

a y

x a y

x a y

x a y

a P a f

n n

n n

n n

n n n





















































二、 等距节点插值公式(差分公式)

[向前差分与向后差分] 已知函数

f(x)在等距节点

x

_k

 x

₀

 kh

( k  0 ,  1 ,  2 ,  ,  n )

的值为

y

_k

 f ( x

_k

)

( k  0 ,  1 ,  2 ,  ,  n )

其差分按下式计算

一阶差分

 y

_i

 y

_i1

 y

_i

( i  0 ,  1 ,  2 ,  ,  ( n  1 ))

二阶差分



²

y

_i

  y

_i1

  y

_i

 y

_i2

 2 y

_i1

 y

_i

( i  0 ,  1 ,  2 ,  ,  ( n  2 ))

………

k

阶差分



  







 

 



 













^k

j

j k i j i

k i k i

k

y

j y k

y y

0 1

1

1

( 1 )

( i  0 ,  1 ,  2 ,  ,  ( n  k ))

符号

 y

_i称为向前差分。此外还可引进符号

 y

_i，它们的定义是

 y

_i

 y

_i

 y

_i1

  y

_i1

,



^r

y

_i

  ( 

^r1

y

_i

)

符号

 y

_i称为向后差分。

向前差分和向后差分之间的关系为



^r

y

_i

 

^r

y

_ir [差分表]

x y  y _

²

_{y }

³

_{y }

⁴

_y



2

x



2

y

3

y

3

2 

 y _

⁴

y

_4

N

2

1

x

x

0

x

1

x

2

x

3



1

y

y

0

y

1

y

2

y

3



2

y

1

y

y

0



y

1



y

2



2 2

 y



1 2

 y



0 2

y



1 2

y



2 2

y



3 3

 y



2 3

 y



1 3

 y



0 3

y



1 3

y



3

4 

 y

2 4

 y



1 4

 y



0 4

y



S B

N

1

[牛顿第一插值公式(牛顿向前插值公式)]

节 点

x

₀

, x

₁

 x

₀

 h ,  , x

_n

 x

₀

 nh

( h  0

为步长）

插 值 点

h x u x

uh x

x

₀

, 

⁰







（0<u<1）

插值公式

f ( x )  N

₁

( x )  R

_n

( x )

_{1 0 0} ² ₀ ³ _{0 0}

3

) 2

( y

n y u

y u y u

u y x

N  

ⁿ



 



 



 



 



 

 



 



 





 

余 项

( ) ) 1

( _

^{1 ( 1)}





 





 

^{n n}

n

h f

n x u

R

( x

₀

   x

_n

)

式中





 



 n

u

为二项系数。

适用范围 通常用于计算插值区间的始点

x

₀附近的函数值。

[牛顿第二插值公式(牛顿向后插值公式)]

节 点

x

₀

, x

_1

 x

₀

 h ,  , x

_n

 x

₀

 nh

(h>0)

插 值 点

h x u x

uh x

x 







₀

,

⁰

插值公式

f ( x )  N

₂

( x )  R

_n

( x )

^{n n}

y

_n

n y u

y u y u

u y x

N   

_

 

_

 

_

  

_

! ) (

! 3

) (

! 2

) ) (

(

_{0 1} ^{2 2} ₂ ^{3 3} ₃

2



余 项

( )

)!

1 (

) ) (

(

^{1 1 ( 1)}



 

^{n n n}

n

h f

n x u

R

( x

₀

 nh    x

₀

)

式中

( u )

_k

 u ( u  1 )  ( u  k  1 )

用向后差分时

_{2 0 0} ^{2 2} ₀ ^{3 3} _{0 0}

! ) (

! 3

) (

! 2

) ) (

( y

n y u

y u y u

u y x

N          

ⁿ



ⁿ

适用范围 通常用于计算插值区间的终点

x

_n附近的函数值。

[斯特林插值公式]

节 点

x

_k

 x

₀

 kh

( k  0 ,  1 ,  2 ,  ,  n , h  0 )

插 值 点

h x u x

uh x

x

₀

, 

⁰







插值公式

f ( x )  S ( x )  R

_2n

( x )

n n

n n n

n

n y

n u u

u u

y y

n

n u u

u u

u y u y y

u u

u y y u y

y x S













 



 

 





 















 



 

 





 



 



 



2 2 2

2 2

2

1 2 ) 1 ( 1 2 2 2

2 2

2 4 2

2 2 3 1 3 2

1 2 2 1 0 0

)!

2 (

] ) 1 ( [ ) 4 )(

1 (

2 )!

1 2 (

] ) 1 ( [ ) 4 )(

1 (

! 4

) 1 ( 2

! 3

) 1 (

! 2 2

! ) 1

(







余 项

)!

1 2 (

) ) (

( ) 4 )(

1 ( ) (

) 1 2 ( 1 2 2 2 2

2

2

   

^{ }



n h f

n u u

u u x R

n n n

 

( x

₀

 nh    x

₀

 nh )

适用范围 通常用于计算插值区间中点附近的函数值。一般当

x x h

4 1

0





时用这个公式。

注意事项 每次用的节点的个数都是奇数。

[贝塞尔插值公式]

节 点

x

_k

 x

₀

 kh

( k  0 ,  1 ,  2 ,  ,  n )

插 值 点

h x u x

uh x

x

₀

, 

⁰







插值公式

f ( x )  B ( x )  R

_2n1

( x )

2

! 2

2 1 2

1

! 1

2 1 }

2 { ) 1

(

¹

2 0 2 2 2

0 1

0







 



 



 

 

 

  



 





 u y y

y u

y y x

B

³ ₁

2 2

! 3

2 1 2

1 2

1





 





 



 



 



 

 

 

  

 

 

  

 y

u u

      





 



  



 

  

 





 



  



 

  



^{ }



2

! 4

4 9 2 1 4

1 2 1

2 4 1 4 2

2

y y

u u

2 )!

2 2 (

4 ) 3 2 ( 2 1 4

9 2 1 4

1 2 1

) 1 ( 2 2 ) 2 ( 2 2 2 2

2 2













 





 





 



 

 



 

  

 





 



  



 

  

 





 



  



 

  



ⁿ

n n

n

y y

n

u n u

u 

^{2 1} _{( 1)}

2 2 2

2

)!

1 2 (

4 ) 3 2 ( 2 1 4

9 2 1 4

1 2 1 2

1











 





 



   



 

  

 





 



  



 

  

 





 



  



 

  

 

 

  



ⁿ

y

_n

n

u n u

u

u 

余 项

)!

2 (

) ] (

4 ) 1 2 ) ( 2 [( 1 4 ] ) 9 2 ][( 1 4 ) 1 2 [( 1 ) (

) 2 ( 2 2 2

2 2

1

2

n

h f u n

u u

x R

n n n

 

 













 

( x

₀

 nh    x

₀

 nh )

适用范围 通常用于计算两相邻节点之间的中点附近的函数值。这个公式一般在

4

1 2 1 



u

时使用。

注意事项 每次用的节点的个数都是偶数。

当

2

 1

u

时，插值公式特别简单:

2 ) 2 (

2

! 6

5 3 1

2 2

! 4

3 1 2 2

! 2

1 ) 2

( 2

0 1 2 3

6 2 6 6

2 2 2

2 4 1 4 4

2 2 1 2 0 2 2 1 0 0

x h y R

y

y y

y y

y h y

x f

n





 



 

 







 





 

 



 





 



) ( 1 ) [( 2 1 )! ! ] 2 [( 2 )! ] ( )

(

₀

2

^{2 2 1 2 (2 )}

1

2_n

h

ⁿ

n

ⁿ

n h

ⁿ

f

ⁿ



x

R

_

   

^{ }

说明 应用差分法插值时，并非项数愈多结果就愈精确，一般取二、三次就可以了。不 难看出，线性插值法只是差分法的一个特例(取一阶差分)。

三、拉格朗日插值多项式

[拉格朗日插值公式] 已知单变量函数

y  f (x )

的

n+1

个节点

x

₀

, x

₁

, x

₂

,  , x

_n及其对应的函 数值

y

_k

 f ( x

_k

)( k  0 , 1 , 2 ,  , n )

，对于插值区间内任一点

x，可用下面拉格朗日插值多项式

) (x

L

_n 计算函数值∶

 

  



 



ⁿ

k n

k i i

k i k

i

n

y

x x

x x x

L x f

0 0,

) (

) ( )

( 

这里

L

_n

( x

_k

)  f ( x

_k

)  y

_k

( k  0 , 1 , 2 ,  , n )

特别对于等距节点

x

_k

 x

₀

 kh ( k  0 , 1 , 2 ,  , n )

，有

k k n

k

k n n

n

n

x x

y k n h

n x x

L  



 



 

  



 0

) 1

! ( ) ) (

(

式中

( ) (

₀

)(

₁

) (

_n

)

n

x  x  x x  x x  x

 ^

[埃特金逐步计算法] 已知

f ( x

_k

)  y

_k

( k  0 , 1 ,  , n )

，求插值区间内任一点

a

的拉格朗日多 项式的数值

L

_n

(a )

，可按下表从左到右逐列进行计算。

x

k

a

_k

 a  x

_k

I

_k

 y

_k

I

_0,k

I

_0,1,k

I

_0,1,2,k

… I

_{0,1,n2,k}

L

_n

(a )

x

0

x

1

x

2

x

3



1

x

n

x

n

0

0

a x

a  

1

1

a x

a  

2

2

a x

a  

3

3

a x

a  



1

1 



 

_n

n

a x

a

n

n

a x

a  

y

0

y

1

y

2

y

3



1

y

n

y

n

1 ,

I

0 2 ,

I

0 3 ,

I

0



1 , 0n

I

I

_0,n

2 , 1 ,

I

0 3 , 1 ,

I

0



1 , 1 , 0 n

I

I

_0,1,n

3 , 2 , 1 ,

I

0



1 , 2 , 1 ,

0 n

I

I

_0,1,2,n

… I

^0,1,2_^n2,n1

n

I

_0,1,2n_2,

I

_0,1,2,,n

表中

I

_0,1

( x )

表示用

x

₀

, x

₁作节点的一次插值多项式；

I

_0,2

( x )

表示节点为

x

₀

, x

₂的一次插值多项 式；一般

I

_0,1,,k

( x )

表示节点为

x

₀

, x

₁

,  , x

_k的

k

次插值多项式。表中左起第四列以后的各列都

是对应的插值多项式在

a

点的数值，它们之间有下面的关系:

k k k

k

a I

I a a

I a

^{0 0}

0 , 0

1

 

( k  1 , 2 ,  , n )

k k k

k

a I

I a a I a

, 0

1 , 0 1 1

, 1 , 0

1

 

( k  2 , 3 ,  , n )

………

n n n

n n n

n n

n

a I

I a a I a

, 2 , , 2 , 1 , 0

1 , 2 , , 2 , 1 , 0 1 1

, 2 , 1 , 0

1





















利用拉格朗日插值多项式计算某一点

a

的数值时每增加一个节点，必须按公式重新计算，

而埃特金逐步计算法避免了这个缺点。

四 三次样条(Spline)内插公式

样条函数是逼近函数的一种方法。

[三次样条函数] 已知平面上的

n

个点

( x

_i

, y

_i

) ( i  1 , 2 ,  , n )

，这些点称为型值点，其中

x

n

x

x

₁



₂

  

称为节点。

如果函数

S(x)满足以下三个条件:

(i)

S ( x

_i

)  y

_i

( i  1 , 2 ,  , n )

;

(ii)S(x)在每个区间

[ x

_i

, x

_i1

]( i  1 , 2 ,  , n  1 )

上是一个三次多项式；

(iii)S(x)在整个区间

[ x

₁

, x

_n

]

上有连续的一阶及二阶导数；

则称

S(x)为过 n

个点的三次样条函数。

如果函数

S(x)满足下面的任一边界条件(在 x

₁

, x

_n两端点处附加的条件)，那末三次样条函数

S(x)存在而且唯一∶

(a) 函数在区间

[ x

₁

, x

_n

]

两端点的一阶导数(单边导数)已知，即

S ' ( x

₁

)  m

₁

, S ' ( x

_n

)  m

_n

, m

₁和

m

n为已知数。

(b) 函数在区间

[ x

₁

, x

_n

]

两端点的二阶导数为零，即

S " ( x

₁

)  S " ( x

_n

)  0

。 (c) 函数为周期的，且满足

S ( x

₁

)  S ( x

_n

), S ' ( x

₁

)  S ' ( x

_n

), S " ( x

₁

)  S " ( x

_n

)

。

[三次样条函数的表达形式]

1

 以二阶导数为参数的形式

S(x)在每个区间 [ x

_i

, x

_i1

]

上表为

)]

( 2

)[

)(

6 ( ) 1 ( )

(

_{i i,i 1 i i i 1 i i 1 i,i 1 i}

i

x y y x x x x x x K K K x x

S  

_

   

_



_



_



( i  1 , 2 ,  , n  1 )

式中

K

_i

( i  1 , 2 ,  , n )

为待定参数，而

y

_i,i1是

y

_i的一阶差商，

K

_i,i1是

K

_i的一阶差商，即

i i

i i i

i

x x

y y y



 



 

1 1 1

,

( i  1 , 2 ,  , n  1 )

i i

i i i

i

x x

K K K



 



 

1 1 1

,

( i  1 , 2 ,  , n  1 )

这样定义的函数

S(x)在区间 [ x

₁

, x

_n

]

上满足条件(i)，

(ii)。如果选择 K

_i使得

S(x)在 [ x

₁

, x

_n

]

上 有一阶连续导数，那末

S(x)在 [ x

₁

, x

_n

]

上就有二阶连续导数，而且

K

_i

 S " ( x

_i

)

( i  1 , 2 ,  , n )

利用

S(x)一阶导数的连续性及边界条件可以给出确定 K

_i

( i  1 , 2 ,  , n )

的代数方程组。

(1) 边界条件为(a)的情况

在条件(a)下，

K

_i

( i  1 , 2 ,  , n )

由下面方程组解出

 

 

















































) (

6 2

) 1 , , 3 , 2 ( ) (

6 )

( 2

) (

6 2

, 1 1

1 1

, 1 1 , 1

1 1

1

1 2 , 1 2

1 1 1

n n n n

n n

n

i i i i i

i i i i i

i

y m K

h K

h

n i

y y K

h K h h K

h

m y K

h K h



式中

h

_i

  x

_i

 x

_i1

 x

_i

, y

_i,i1为一阶差商(同前)，

m

₁和

m

_n为给定的边界条件。

用矩阵表示就是

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 









 

 

 

 

 







 

 

 

 

 







 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 











n n n

n n

d d

d d d

K K

K K K

a a

a

1 3 2 1

1 3 2 1

1 3

2

2 1 1 1 0

1 0 0

0 0

1 0

0 2 0

1 1

























式中

 



 





 





 

i i i i

i

i

h h h a

a h a

) (

2 2 1

1 1 1

1

( i  1 , 2 ,  , n  2 )

 





 

















 



















) 3 (

) (

2

) (

6

) 3 (

, 1 1

1 1 , 2 , 1 1

1 2 , 1 1 1

n n n n n

i i i i

i i i i i i i

y h m

d

a h h h

d h y

d y

m h y

d

( i  1 , 2 ,  , n  2 )

当 ₁

2 , 2 ( 1

¹

)

i i i

n

h

a h

a

_

  

^

( i  1 , 2 ,  , n  2 )

时，解出

K

_i

( i  1 , 2 ,  , n )

为



 









 



 

















) 2 , 3 , , 1 , ( )

2 (

) (

6

1 1 1

1 1

1 1 ,

1

 n n i k

a d K

a h

d h y

K m

i i i i

n n

n n n n n n

(2) 边界条件为(b)的情况

在条件(b)下，

K

₁

 0 , K

_n

 0 , K

_i

( i  2 , 3 ,  , n  1 )

由下面方程组解出：

h

_i1

K

_i1

 2 ( h

_i1

 h

_i

) K

_i

 h

_i

K

_i1

 6 ( y

_i,i1

 y

_i1,i

)

( i  2 , 3 ,  , n  1 )

用矩阵表示就是

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 









 

 

 

 

 







 

 

 

 

 







 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 

 



























1 2 4 3 2

1 2 4 3 2

1 2

2

2 4

3 2 1

2

) 1 (

2 1 0

0 1

0 0

0 1

0

0 ) 0

( 1 2

n n n

n

n n

n

n

d d d d d

K K K K K

h h

h

a a

a h h

h

























式中

 



 





 

 



 

i i i i

i

i

h h h a

a h

h h a h

) (

2

) (

2

1 1 1

2 1

2

2

( i  2 , 3 ,  , n  3 )

 





 







 









 

 

























) 3 (

) (

2

) (

6

) 3 (

1 , 2 ,

1 1 2 1

1 1 , 2 , 1 1

2 , 1 3 , 2 2 1 2

n n n n n n n

i i i i

i i i i i i i

y h y

d h

d h h h

d h y

d y

y h y

d h

( i  2 , 3 ,  , n  3 )

当

2 ( 1

¹

)

i i

i

h

a   h

^

( i  2 , 3 ,  , n  2 )

时，解出

K

_i

( i  2 , 3 ,  , n  1 )

为



 





  



 



























i i i i

n n n n

n n n n n n n

K a d K

a h h h

d h y

K y

1 1 1

2 2 1

2

2 2 1

, 2 ,

1

1

2 ( )

) (

6

( i  n  1 , n  2 ,  , 4 , 3 )

2

 以一阶导数为参数的形式

S(x)在每个区间 [ x

_i

, x

_i1

]

上表为

1 3 3

2 2

3 3 1

2 2 1

1 3 3

2 2

3 3 1

2 2 1

) 1 (

) 1 (

) 1 (

) 1 (

) 2 (

) 3 (

) 2 (

) 3 (

) (













 

 



   



 

 



   



 

 



   



 

 



   



i i i

i i

i

i i

i i

i i

i i i

i i

i i

i i

i i

m x h x

x h x

h

m x h x

x h x

h

y x h x

x h x

y x h x

x h x

x S

式中

h

_i

  x

_i

 x

_i1

 x

_i

, m

_i

( i  1 , 2 ,  , n )

是待定参数。这样定义的函数

S(x)在区间 [ x

₁

, x

_n

]

上满足 三次样条函数的条件(i)和(ii)，而且

S(x)在 [ x

₁

, x

_n

]

上有连续的一阶导数，同时

) ( '

_i

i

S x

m 

( i  1 , 2 ,  , n )

S

_i

(x )

有时表成下式∶

^{2 , 1}

( )

³

) 6 2 (

) ( )

(

_{i i i} ⁱ _i ⁱⁱ _i

i

K x x

x K x

x x m y x

S      

^



式中

6 2 ( 2 )

) (

"

), (

'  

_,1

 

_1



_{i i}

i i i i i i

i

i

m m

y h x h

S K x S

m

,而

y

_i,i1与

K

_i,i1定义同前。

根据

S ( x )

在

 x

₁

, x

n



上有连续二阶导数及边界条件可以给出确定

m

_i的代数方程组。

(1) 边界条件为

(a )

的情况

在条件

(a )

下，

m

_i

( i  1 , 2 ,  , n )

满足下面方程组

^

 

 













^











已知 已知

n

i i i i

i i i

i i i i i

i

m

h y h m y

m h h m h

h m

) (

1 3 1 )

( 1

1 2

, 1

1 , 1 1

1 1

1 1

（

i  2 , 3 ,  , n  1 )

记

 1 ( i  1 , 2 , , n  1 ) g h

i

i



，得

 

 













_{    }





已知 已知

n

i i i i i i i

i i i i i

i

m

y g y g m

g m g g m

g m

) (

3 )

(

2

_{1 1 1 1, , 1}

1 1 1

（

i  2 , 3 ,  , n  1 )

它可以改写为





 







_

已知 已知

n

i i i i

m

d m a m m

1 1

（

i  2 , 3 ,  , n  1 )

其中

) (

2

_{1 2}

2

2

g g

a g

 

) (

2

) (

3

2 1

1 1 3 , 2 2 2 , 1 1

2

g g

m g y g y d g





 

1 1

1

)

(

2

_

 

_{ }



i i i i

i

i

g g g a

a g

1 1 1

1 1 1

, ,

1 1

) (

2

) (

3























 

i i i i

i i i

i i i i i

i

g g g a

d g y

g y

d g

（

i  3 , 4 ,  , n  1 )

由此得

 



















1 1 1 1

i i i i

n n n n

m a d m

m a d

m

( i  n  2 , n  3 ,  , 2 )

(2)边界条件为(b)的情况

在条件(b)下，

m

_i

( i  1 , 2 ,  , n )

满足下面方程组

 



 







































n n n n

i i i i

i i i

i i i i i

i

y m m

h y h m y

m h h m h

h

y m m

, 1 1

1 , 1

, 1 1

1 1

1

2 , 1 2 1

3 2

) (

1 3 1 )

( 1 1 2

3 2

( i  2 , 3 ,  , n  1 )

式中

y

_i,i1 为

y

_i的一阶差商。

当

a

_n1

 2

且

2 ( 1 )

1





i i

i

h

a h

( i  1 , 2 ,  , n  2 )

时,

^

 





 

 













1 1 1

1 1 ,

1

) 2 ( 3

i i i i

n n

n n n n n

m a d m

a g

d g

m y

( i  n  1 , n  2 ,  , 2 , 1 )

其中

i

i

h

g  1

，而

a

_i

, d

_i由下述公式递归求得

2 1

1

 a

1 1

1

)

(

2

_

 

_{ }



i i i i

i

i

g g a g

a g

( i  2 , 3 ,  , n  1 )

_{1 1,2}

2 3 y d 

1 1 1

1 1 1 , ,

1 1

) (

2

) (

3























 

i i i i

i i i i i i i i

i

g g a g

d g y

g y

d g

( i  2 , 3 ,  , n  1 )

(3)边界条件为(c)的情况

在条件(c)下，

m

_i

( i  1 , 2 ,  , n )

满足下面方程组:

 





 























































) (

2 3 1

1 2

) (

1 3 1 )

( 1 1 2

0

1 , 1 1

2 , 1 1

1 1 2 1 1 1

1 , 1

, 1 1

1 1

1 1

n n n n

n n n

i i i i

i i i

i i i i i

i n

h y h m y

m h m h

m h h

h y h m y

m h h m h

h m m

) 2 , , 3 , 2

( i   n 