第八节 多元函数的极值及其求法

第九章

第八节

一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值

多元函数的极值及其求法

一、 多元函数的极值

定义 : 若函数

则称函数在该点取得极大值 例如 :

在点 (0,0) 有极小

值 ;

在点 (0,0) 有极大

值 ;

在点 (0,0) 无极值 .

极大值和极小值 统称为极值 ,使函数取得极值的点称为极值点 .

) ,

( )

,

(x y f x₀ y₀

f  (或 f (x, y)  f (x₀, y₀))

2

2 4

3x y

z  

2 2 y x

z    y

x z 

) ,

( )

,

(x y x₀ y₀ f

z  在点 _{的某邻域内有}

x y

z

O

x y

z

O

x

z

O y ( 极小值 ).

提示 : 由题设 例 1. 已知函数

(D) 根据条件无法判断点 (0, 0) 是否为 f (x,y) 的极 值点 .

则 ( )

) 0 , 0 ( )

,

(x y 在点

f 的某个邻域内连续 , 且

. )

, ( )

0 , 0 ( )

(A 点 不是 f x y 的极值点

, ) 1

(

) ,

lim ( _{2 2 2}

00 





 x y

y x y

x f

xy

. )

, ( )

0 , 0 ( )

(B 点 是 f x y 的极大值点 . )

, ( )

0 , 0 ( )

(C 点 是 f x y 的极小值点

0 lim

, ) 1

(

) , (

00 2

2

2   





 



xy

y x

y x y

x

f 其中

2 2 2

2 2

2 ) ( )

( )

,

(x y xy x y x y

f      

 

A

(2003 考研 )

说明 : 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .

例如 ,

定理 1 ( 必要条

件 ) 函数

偏导数 , 证 :

据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 . 0

) ,

( ,

0 )

,

( _{0 0}   _{0 0} 

 x y f x y

f_{x y}

取得极值 , 取得极值 取得极值

但驻点不一定是极值点

. 有驻点 ( 0, 0 )

, 但在该点不取极值 . 且在该点取得极值 ,则有

) ,

( )

,

(x y x₀ y₀ f

z  在点 _存在

) ,

( )

,

(x y x₀ y₀ f

z 在点

因 

在 )

, (x y₀ f

z  x  x₀

故 在

) , (x₀ y f

z  y  y₀

y x z



时 , 具有极 值

定理 2 ( 充分条件 )

的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 ,

令

则 : 1) 当

A<0 时取极大值

;A>0 时取极小值 2) 当 .

3) 当

证明见 第九节 (P121) .

时 , 没有极值

.时 , 不能确定 , 需另行讨 论 .

若函数 z  f (x, y) 在点 (x₀ , y₀) 的 0

) ,

( ,

0 )

,

(x₀ y₀  f x₀ y₀ 

f_{x y}

) ,

( ,

) ,

( ,

) ,

(x₀ y₀ B f x₀ y₀ C f x₀ y₀ f

A  _xx  _{x y}  _yy

2  0

 B AC

2  0

 B AC

2  0

 B AC

且

例 2. 求函数

解 : 第一步 求驻点 .

得驻点 : (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别 .

在点 (1,0) 处

为极小值 ; 解方程组

A

B C

 ) , (x y

f_x 3x²  6x  9  0

 ) , (x y

f _y  3y²  6y  0

的极值.

求二阶偏导数 ,

6 6

) ,

(x y  x 

f_xx f_xy (x, y)  0, f _yy (x, y)  6y  6 ,

12

A B  0, C  6, ,

0 6

2 12 

 B AC

5 )

0 , 1

(  

 f

,

 0 A

x y

x y

x y

x

f ( , )  ³  ³  3 ²  3 ²  9

在点 (3,0) 处

不是极值 ;

在点 (3,2) 处

为极大值 . ,

6 6

) ,

(x y  x 

f_xx f_xy (x, y)  0, f _yy (x, y)  6y  6 ,

12



A B  0, C  6, ,

0 6

2  12 

 B

AC  f (3,0)

6 ,

0 ,

12   



 B C

A

31 )

2 , 3

( 

 f

, 0 )

6 (

2  12  

 B

AC A  0,

在点 (1,2) 处

不是极值 ; 6

, 0 ,

12   

 B C

A

) 2 , 1 (

 f , 0 )

6 (

2 12  

 B AC

A B C

例 3. 讨论函数 及 是否取得极值 .

解 : 显然 (0,0) 都是它们的驻

点 ,

在 (0,0) 点邻域内的取

值

, 因此 z(0,0) 不是极 值 .

因此

,

2 0

2 时

当x  y  z  (x²  y²)²  z _(0,0)  0 为极小值 . 正

负 0

3

3 y

x

z   z  (x²  y²)² _在点 (0,0)

并且在 (0,0) 都有

2  0

 B AC

3

3 y

x

z  

可能为

0 )

( )

0 , 0

(  x²  y^{2 2} _(0,0)  z

O

x y

z

二、最值应用问题

函数 f 在闭域上连续

函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点

边界上的最值点

特别 , 当区域内部最值存在 , 且只有一个极值点 P 时 ,

) (P

f 为极小值 f (P) 为最小值

( 大 ) ( 大 ) 依据

例 4.

解 : 设水箱长 , 宽分别为 x , y m , 则高 则水箱所用材料的面积为为

令 得驻点

某厂要用铁板做一个体积为 2

根据实际问题可知最小值在定义域内应存在 ,

的有盖长方体水 箱 , 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时 , 才能使用料最 省 ? _x²_y m,



 2

A xy  y  _x²_y  x  _x²_y



 2



x y  ²_x  ²_y









  00 xy

0 )

(

2  ²₂ 

 x

x y

A

0 )

(

2  ²₂ 

 y

y x

A

因此可 断定此唯一驻点就是最小值点 . 即当长、宽均为

高为 时 , 水箱所用材料最省 .

m3

) 2 ,

2 (^{3 3}

3 2

3 2

2

2₃ 2

3 



例 5. 有一宽为 24cm 的长方形铁

板 , 把它折起来做成

解 : 设折起来的边长为 x c m,

则断面面积

x 24

一个断面为等腰梯形的水槽 ,

倾角为 ,



A (24  2x  2x cos



 24  2x 2

1 )  xsin











2 sin cos sin sin

24x  x²  x²



x 2 24 



^x

积最大 .

) 0

, 12 0

:

( D  x     ₂^π 为

问怎样折法才能使断面面



cos

24x  2x² cos



 x²(cos²



 sin²



)  0 令 A_x 24sin



 4xsin



 2x sin



cos



 0

  A

解得 :

由题意知 , 最大值在定义域 D 内达

到 , 而在域 D 内只

一个驻点 , 故此点即为所求 . 有 ,

0

sin



 x  0









2 sin cos sin sin

24x x² x²

A   

) 0

, 12 0

:

( D  x     ^π₂

0 cos

2

12  x  x





0 )

sin (cos

cos 2

cos

24



 x



 x ²



 ²





(cm) 8

, 3 60

π  

 ^ x



三、条件极值

极值问题 无条件极值 : 条 件 极 值 :

条件极值的求法 : 方法 1 代入法 .

求一元函数 的无条件极值问题

对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 ,

还有其他条件限制 例如 ,

转 化

, 0

) ,

( 下

在条件



x y  _求函数 ^{z  f (x, y)} _的极值 )

( 0

) ,

(x y y



x



 中解出 

从条件

)) (

,

(x x f

z 



, 0

) ,

( 下

在条件



x y 

方法 2 拉格朗日乘数法 . 分析：如方法 1 所

述 , 则问题等价于一元函数

可确定隐函数 的极 故极值点必满足

记

. )

,

( 的极值

求函数 z  f x y 0

) ,

(x y  设 

, ) (x

y 



z  f (x,



(x))

例如 ,

值问题 ,

d 0 d d

d   

x f y

x f

z x y

d , d

y x

x y







因    0

y y x

x f

f





y y x

x f

f





^

故有







引入辅助函数

辅助函数 F 称为拉格朗日 ( Lagrange ) 函数 .

 0



 _{x x}

x f

F 

 0



 _{y y}

y f

F

 

 0





F

利用拉格 极值点必满足

 0

 _x fx

 

 0

 _y f y

 

0 )

,

(x y 



则极值点满足 :

朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 . )

, ( )

,

(x y x y

f

F  

 

推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形 .

设

解方程组

可得到条件极值的可疑点 . 例如 , 求函数

下的极值 .

在条件 )

, ,

(x y z f

u 



(x, y, z)  0, 0

) , ,

(x y z 



) , , ( )

, , ( )

, ,

(x y z ₁ x y z ₂ x y z f

F  

 



 

2 0

1  



 _{x x x}

x f

F    

2 0

1  



 _{y y y}

y f

F    

2 0

1  



 _{z z z}

z f

F    

1 



 0 F

1 



 0 F

例 6. 要设计一个容量为 V₀

则问题为求 x , y ,

令

解方程组

解 : 设 x , y , z 分别表示长、宽、

高 , 下水箱表面积 最小 .

z 使在条件

x 

F 2z  y 



yz  0

y 

F 2z  x 



xz  0

z 

F 2(x  y) 



xy  0



F xyz V  0

水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？

的长方体开口水箱 ,

V0

z y

x  S  2(xz  yz)  x y

) (

) (

2 xz yz x y x yz V₀

F    





x y

z 试问

得唯一驻点 x  y  2z  ³ 2V₀ , ₃

2 0

4 V

 



由题意可知合理的设计是存在的 ,

长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省 .

因此 , 当高为^{3 V}₄⁰ ,

x y

z 思考 :

1) 当水箱封闭时 , 长、宽、高的尺寸如何 ? 提示 : 利用对称性可知 ,x  y  z  ³ V₀

2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时 , 欲使造价 应如何设拉格朗日函数 ? 长、宽、高尺寸如何 ? 提示 : F  2(xz  yz)  2 x y 



(x yz V₀)

长、宽、高尺寸相等 . 最省 ,

内容小结

1. 函数的极值问题

第一步 利用必要条件在定义域内找驻点 .

即解方程组

第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题

(1) 简单问题用代入法

, ) , (x y f

z 



 

0 )

, (

0 )

, (

y x f

y x f

y x

如对二元函数

(2) 一般问题用拉格朗日乘数法

设拉格朗日函数

如求二元函数 下的极值

, 解方程组

第二步 判别

• 比较驻点及边界点上函数值的大小

• 根据问题的实际意义确定最值

第一步 找目标函数 , 确定定义域 ( 及约束条 件 )

3. 函数的最值问题

在条件

求驻点 . )

, (x y f

z 



(x, y)  0 )

, ( )

,

(x y x y

f

F  

 

 0



 _{x x}

x f

F 

 0



 _{y y}

y f

F

 

 0





F

已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ) ,

试在椭圆 圆周上求一点 C,

△ABC 面积 S_△ 最大 使

. 解答提示 : 设 C 点坐标为 (x , y),

思考与练习

2

 1

0 3

1

0 1

3  y x

k j

i  

) 10 3

, 0 , 0 2 (

1  

 x y

) 0 ,

0 (

4 1 9

2

2  y  x  y 

x

则

^S ^ 2 ^{AB  AC} 1

10 1  3 

 x y

C

B

y A

x

E D

O

设拉格朗日函数

解方程组

得驻点 对应面积

而 比较可知 , 点 C 与 E 重合时 , 三 面积最大 . 角形

4 ) 1 9

( )

10 3

(

2

2 x2 y

y x

F    



 

9 0 ) 2

10 3

(

2 x  y  



x  4 0

) 2 10 3

(

6 x  y  



y  4 0

1 x9²  y² 

646 .

 1 , S

5 , 4

5

3 

 y

x

, 5 . 3 ,

2 

 _E

D S

S

点击图中任意点 动画开始或暂停

P117

3, 5, 9, 10, 13

作业

备用题 1. 求半径为 R 的圆的内接三角形中面积最大 者 .

解 : 设内接三角形各边所对的圆心角为

x, y, z

^,

, π

 2



 y z x

yz x 它们所对应的三个三角形面积分别为

,

2 sin

12

1 R x

S  S₂  ₂¹ R² sin y , S₃  ¹₂ R² sin z 0

, 0 ,

0  

 y z

x

设拉氏函数 F  sin x  sin y  sin z 



(x  y  z  2π) 解方程组

0 cos x 





, 得 3

π

 2



 y z x

故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 3

π sin 2

2 3

2 max  R 

S .

4 3

3 ₂

 R 0 cos y 





0 cos z 





0 π

2 





 y z x

则 注

为边的面积最大的四边形 , 试列出其目标函数和约束条件 ?

提示 :





sin 2

sin 1 2

1 ab cd

S  

) π 0

, π 0

( 



 



 目标函数 :





2 cos

cos

2 ^{2 2}

2

2 b ab c d cd

a     

约束条件 :

d c b

a, , ,

a b

d c





答案 :







 π, 即四边形内接于圆时面积最大 . 2. 求平面上以

3. 设某电视机厂生产一台电视机的成本为 c, 每台电 电视机的销售价格为 p, 销售量为 x, 假设该厂的生产处于 平衡状态 , 即生产量等于销售量根据市场预测. , x 与 p 满

足关系 :

( 0, 0)

e ^ap

x M ^ M  a 

其中 M 是最大市场需求量 , a 是价格系数又据对生产环节. 的分析 , 预测每台电视机的生产成本满足 :

) 1 ,

0 (

0  ln  

 c k x k x c

其中 c₀ 是生产一台电视机的成本 , k 是规模系数 问应如何. 确定每台电视机的售价 p , 才能使该厂获得最大利润？

解 : 生产 x 台获得利润 u  ( p  c)x

①

②

问题化为在条件① , ② 下求u  ( p  c)x 的最大值点 .

) 0 ,

0

(  

 Me^ M a

x ^{a p}

) 1 ,

0 (

0  ln  

 c k x k x

c ①

② 作拉格朗日函数





 p c x c

p x

L( , , ) ( ) (x M e^ap)  (c  c₀  k ln x) 令  (  )    0

k x c

p

L_x  

e ^ap 0 Lp  x aM ^ 

 0





 x  L_c

③

④

⑤ 将①代入④得   ¹_a ,_由⑤得 ^_x 1 将以上结果及① , ② 代入③ , 得

解得 ak

k M

k p c

p ^a







 

 1

ln ¹

* 0

1 0 )

0  (ln    

 k

p a a M

k c

p