第六节 函数图形的描绘

第六节

一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘

函数图形的描绘

第三章

x2

y  _无渐近线 ^.

点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,

一、 曲线的渐近线

定义 . 若曲线 C 上的点 M 沿着曲线无限地远离原

时点, 则称直线 L

曲线 C 的渐近线 为 .

例如 , 双曲线 ₂ 1

2 2

2  

b y a

x

有渐近线   0 b

y a

x 但抛物线

或为“纵坐标差”

L

b x

k y   N

M

O ^x

y

C

) (x f y 

P

O x

y

1. 水平与铅直渐近线 若 lim f (x) b,

x 



 则曲线 y  f (x) 有水平渐近线 y  b.

) (或x  

若 lim ( ) ,

0



 

 f x

x

x 则曲线 y  f (x) 有铅直渐近线 x  x₀ .

) (或x  x₀^

例 1. 求曲线 2 1

1 

 

y x _的渐近线 . 解 : 2) 2

1 ( 1

lim  





 x

 x

 2

 y _{为水平渐近线} ; ,

) 1 2

( 1

lim1   



 x

 x  x 1_{为铅直渐近线} .

y

x O

2 1

2. 斜渐近线

有 则曲线 y  f (x)

斜渐近线 y  kx  b.

) (或x  

若 lim [ ( )  ]  0,



 f x

x (kx  b)

0 ) ]

[ (

lim   



 x

k b x

x x f

x

0 ]

) ( [

lim  



 f x

x (kx  b)

0 ) ]

[ (

lim   



 x

k b x

x f

x

) ] [ (

lim x

b x

x k f

x 

 

x x k f

x

) lim (



 



] )

( [

lim f x kx

b  x 





) (或x  

) (或x  

( P76 题 14)

例 2. 求曲线

3

2 2

3



 

x x

y x _{的渐近线 .}

解 : ,

) 1 )(

3 (

3



 

x x

y x

 lim ,

3  



 y

x

) 1 (或x 

所以有铅直渐近线 x  3及 x 1

又因 x

x k f

x

) lim (



 

3 lim ₂ 2²



 



 x x x

x 1

] )

( [

lim f x x

b  x 



 2 3

3 lim ₂2 ²







 



 x x

x x

x  2

 2



 y x _{为曲线的斜渐近线} .

3 1

2

 x y

y O x

二、函数图形的描绘

步骤 :

1. 确定函数 y  f (x)_的定义域 , 期性 ;

2. 求f (x), f (x), _并求出 f (x) _及 f (x)

3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点

;4. 求渐近线

;5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .

为 0 和不存 的点 ; 在

并考察其对称性及周

例 3. 描绘y  ₃¹ x³  x²  2 _{的图形 .}

解 : 1) 定义域为(, ),_{无对称性及周期性 .} 2) y  x²  2x, y   2x  2,

,

 0 y

令 得 x  0, 2 ,

 0 y 

令 得 x 1

3) x

y y 

y

0 1 2

) 0

(, (0,1) (1,2) (2, )

0 0

   

   

2 ₃⁴

( 极 大 )

( 拐 点 )

32

( 极 小 )

4) x

y

1 3

32 2

0

1 1 2 3

y

O x

例 4. 描绘方

程 (x  3)²  4y  4xy  0_的图形 . 解 : 1) ,

) 1 (

4

) 3

( ²



 

x

y x _定义域为(,1), (1, )

2) 求关键点 .

) 3 (

2 x   4y 4y  4xy  0 )

1 (

2

2 3





 

 

x

y

y x ₂

) 1 (

4

) 1 )(

3 (





 

x

x x

y

 4

2  8y  4xy   0 )

1 (

2

4 1



 

 

 x

y y ₃

) 1 (

2

  x 得

令 y  0 x  1, 3;

原方程两边对 x 求导得

①

① 两边对 x 求导得

1 1 3 )

1 ,

(  (1,1) (1,3) (3, ) x

y y 

y

   

   

 2 0

) , 1 (

4

) 3

( ²



 

x

y x ,

) 1 (

4

) 1 )(

3 (

 2



 

 x

x

y x ₃

) 1 (

2

 

 x y

3) 判别曲线形态

0 0

( 极大 ) ( 极小 )

4) 求渐近线

, lim1  

 y

 x ^{为铅直渐近线}

无 定 义

1

 x

又因 x y

xlim , 4

 1

4

 1 即 k

4 ) ( 1

lim y x

b  x 



 ]

4 1 )

1 (

4

) 3 [(

lim ² x

x x

x 



 





) 1 (

4

9 lim 5





 



 x x

x 4

 5



) 1 (

4

) 3

( ²



 

x y x

5) 求特殊点 x

y

0 4

 9

2 4 1 为斜渐近线 4

5 4

1 



 y x

)2

1 (

4

) 1 )(

3 (





 

 x

x y x

)3

1 (

2

 

 x y

6 ）绘图

( 极大 ) ( 极小 )

斜渐近线

1 铅直渐近线 x

4 5 4

1 

 x y

特殊点

 2 ^无定义 x

y

1 1 3

) 1 ,

(  (1,1) (1,3) (3, ) 0

x y

0 4

 9

2 4 1

1

 2

O

y

x

3

1 2 5

) 1 (

4

) 3

( ²



 

x y x

1 x

45 41 

 x y

例 5. 描绘函数

π 2

 1

y ²

2

e^{ x} _{的图形 .}

解 : 1) 定义域为(, ), _{图形对称于 y 轴}

2) 求关键点 .

 

y 2π

 1 e ² ,

x2

x ^ y  

π 2

 1 e^{ x22} (1 x²) 得

令 y  0 x  0; 令 y   0得 x  1

 

 

π 21

0

0

e π 21

x y y 

y

0 (0, 1) 1 (1,  ) 3) 判别曲线形态

( 极大 ) ( 拐点 )

0 lim 



 y

x

 0

 y _{为水平渐近线}

5) 作图

4) 求渐近线

( 极大 ) ( 拐点 )

 

 

π 21

0

0

e π 21

x y y 

y

0 (0, 1) 1 (1,  )

2 2

π e

2

1 ^x

y  ^

x y

O A

π 2 1

 0 y

B

1

水平渐近线 ; 垂直渐近线 ;

内容小结

1. 曲线渐近线的求法

斜渐近线

按作图步骤进行 2. 函数图形的描绘

思考与练习

1. 曲线 ( )

e 1

e 1

2 2

x x

y 





 

(A) 没有渐近线；

(B) 仅有水平渐近线；

(C) 仅有铅直渐近线；

(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 . 提示 : 1;

e 1

e

lim 1 ₂

2

 









 x

x

x  









 ²

2

e 1

e lim 1

0 x

x x

D

拐点为 ,

凸区间是 ,

) ,

( ¹₂   )

e 1

,

( ¹₂  ^21

2. 曲线y 1 e^x2 的凹区间是 ,

提示 :

) 2

1 ( e

2 ² x²

y   ^x 

) ,

( ^1₂ ¹₂ )

,

( ^1_{2 及}

渐近线 .

1 y

y

O x

1

) e 1 ,

( ¹₂  ^21 )

e 1 ,

( ^1₂  ^21

P76 14

^(2);

P169 2 ; 5

作业

备用题

^{求笛卡儿叶形线 x3  y3  3axy 的渐近线}

解 : 令

y = t x

. ,

代入原方程得曲线的参数方程 :



x ,

1 3

t3

t a

 y 

2 3

3 ,

1 a t

 t ,

1





 t

x 时

当 因

x y

xlim

lim1



 

t 3

2

1 3

t t a

 1 3

3 t

t a



1





^{( )}



lim y x

x  







lim1



 

t 3

2

1 3

t t a

 1 ³

3 t

t a

 



) 1

)(

1 (

) 1 ( 3

1 ²

lim t t t t t

a

t   





 

a



所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y  x  a

1

 t

笛卡儿叶形线