第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

第四节

一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点

函数的单调性与

曲线的凹凸性

第三章

一、 函数单调性的判定法

定理 1. 设函 若 数

) ( x

f f  ( x )  0

则 在

f ( x )

I 内单调递增

, ) 0 )

(

( f  x 

_{( 递减 ) .}

证 : 无妨设

f  ( x )  0 , x  I ,

_任取

x

₁

, x

₂

 I ( x

₁

 x

₂

)

由拉格朗日中值定理得

) )(

( )

( )

( x

₂

f x

₁

f x

₂

x

₁

f     

) ,

( x

₁

x

₂

   I

 0

故

f ( x

₁

)  f ( x

₂

) .

这说明 在 I 内单调递 增 .

) ( x f

在开区间 I 内可导 ,

证毕

例 1. 确定函数

f ( x )  2 x

³

 9 x

²

 12 x  3

_{的单调区间}

解 :

f  ( x )  6 x

²

 18 x  12  6 ( x  1 )( x  2 )

. 令

f  ( x )  0 ,

_得

x  1 , x  2

x ) ( x f 

) ( x f

) 1

( , 2

0 0

1 ( 1 , 2 ) ( 2 ,   )

  

2 1

故

f ( x )

_{的单调增区间为}

(  , 1 ) ,

(2,  );

) ( x

f

_{的单调减区间为(1, 2).}

1 2

x

O

y

1 2

y

O

x

说明 :

1)单调区间的分界点除驻点外 , 也可是导数不存在的点 . 例如 ,

y 

³

x

²

, x  (  ,   )

3

3

2 y   x





_x0

 y

3

x

2

y 

2) 如果函数在某驻点两边导数同号 , 则不改变函数的单调性 .

例如 , y  x³ , x (,  )

3x

2

y  

 0 y 

y

O

x

x3

y 

例 2. 证明

2

0  x  π _时 , 成立不等式 . π 2 sin 

x x 证 : 令 ,

π 2 ) sin

(  

x x x

f

, 2 ]

, π 0 ( )

( _{在 上连续}

则 f x 在 ) 上可导， 2

, π 0 (

2

sin ) cos

( x

x x

x x

f     cos ( tan )

2 x x

x

x 



1

x tan x

 0 ,

2 ) , π 0 ( )

( 在 内单调递减 因此 f x

从而 ]

2 , π 0 ( π ,

2

sin  x 

x x

0 2)

(π )

(x  f  , f

2 ) π

( 在 处左连续

又 f x 因此

且

证

A

B

定义 . 设函数f (x) _{在区间 I 上连续} _,x₁, x₂  I,

(1) 若恒有 ,

2

) (

) ) (

(x¹ 2 x² f x¹ f x²

f   

则称 f (x)的 图形是凹的 ;

(2) 若恒有 ,

2

) (

) ) (

(x¹ 2 x² f x¹ f x²

f   

则称 f (x)的 图形是凸的

.

二、曲线的凹凸与拐点

y

O _x

x2

x1 ^x1x2

y

O x₁ ^x1x2 x₂ x 连续曲线上有切线的凹凸分界点

称为拐点 .

y

O _x

拐点

定理 2.( 凹凸判定

法 ) ^{f (x)} (1) 在 I

内

, 0 )

( 

 x

f 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;

(2) 在 I 内

, 0 )

( 

 x

f 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 .





证 : x₁, x₂  I, 利用一阶泰勒公式可得 )

( )

(x₁ f

f  

) ( )

(x₂ f

f  

两式相加

2 2

!

21

(

^x2x1

)



^{[ f (}₁^{)  f (}₂^)]

, 0

)

( 时

当 f  x  说明 (1) 成立

  ; (2)

设函数 在区间 I 上有二阶导数

证毕

2 ² ,

1 x x 

  记

) ( f 

  ^(x₁ ^ ⁾ )

( f 

  (x₂   )

! 2

) (₂ f 



^(x₂ ^{ )2}

! 2

) (₁ f 



^(x₁ ^{  )2}

) ( 2 )

( )

(x₁ f x₂ f

f   

),

2

(

) (

)

( _{1 2}

x

f

f x

f ^



^

x y

O 例 3. 判断曲线y  x⁴_{的凹凸性 .}

解 : y  4x³, y  12x² 时，

当x  0 y   0; x  0时, y   0,

故曲线 y  x⁴_在 (,  ) _{上是向上凹的 .} 说明 :

1) 若在某点二阶导数为 0 ,

2) 根据拐点的定义及上述定理 , 可得拐点的判别法如 下 : 若曲线 y  f (x) 在点x₀ 连续, f (x₀)  0 _或不存在 ,

但 f (x) _{在 两侧异号}x_{0 ,则点}(x₀ , f (x₀)) _是曲线 )

(x f

y  _{的一个拐点 .} 则曲线的凹凸性不变 .

在其两侧二阶导数不变号 ,

例 4. 求曲线 y  ³ x ^{的拐点 .} 解 :

y  

₃¹

x

^23

, y   

₉²

x

^53

x y 

y

0 )

0

(, (0, )

不存在 0





因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线y  ³ x _的拐点

. O x

y

凹 凸

x x

y   36 ²  24  36x(x  ₃²) 对应 y₁ 1, y₂  ₂₇¹¹ 例 5. 求曲线 y  3x⁴  4x³ 1_{的凹凸区间及拐点}

解 : 1) . 求

y 

, 12

12x³ x² y  

2) 求拐点可疑点坐标

令 y   0 _得 x₁  0 , x₂  ₃²,

3) 列表判别

) 0

(, (0, ₃²) (₃² ,  ) y 

x y

0 ₃²

 0 0

1 ₂₇¹¹

 

故该曲线在 (,0) _及 (₃²,  ) 上向上凹 ,在(0, ₃²)上

凹 凸 凹

32

) 1 , 0

( (₃² , ¹¹₂₇)

x y

O

内容小结

1. 可导函数单调性判别 I

x x

f ( )  0,  f (x) _{在 I 上单调递增} I

x x

f ( )  0,  f (x) _{在 I 上单调递减} 2. 曲线凹凸与拐点的判别

I x

x

f ( )  0, 

上向上凹 在

曲线 I

x f

y  ( ) I

x x

f ( )  0, 

+

上向上凸

–

在 曲线

I

x f

y  ( )

拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点

思考与练习

] 1 , 0

[ _上 f (x)  0, _则 f (0), f (1), f (1)  f (0) 或 f (0)  f (1) _{的大小顺序是 ( )}

) 0 ( )

1 ( )

0 ( )

1 ( )

(A f   f   f  f

) 0 ( )

0 ( )

1 ( )

1 ( )

(B f   f  f  f 

) 0 ( )

1 ( )

0 ( )

1 ( )

(C f  f  f   f 

) 0 ( )

1 ( )

0 ( )

1 ( )

(D f   f  f  f 

提示 : 利用f (x)  0  f (x) 单调增加 , )

1 0

( ) ( )

0 ( )

1

(  f  f 







 f

及 B

1. 设在

.

) ,

( ¹₂   )

e 1

,

( ¹₂  ^21

2. 曲线y  1 e^x2 _{的凹区间是} 凸区间是

拐点为

提示 : y   2e^x2 (1 2 x²)

) ,

( ^1₂ ¹₂ )

,

( ^1_{2 及}

y

O x

) e 1 ,

( ^1₂  ^21 ( ¹₂ , 1 e^21)

作业

P152 3

^(1),(7)

; 5

^{(2), (4)}

; 9

^{(3), (6)}

; 10

⁽³⁾

; 13 ; 14 ;

^*

15

;

;

1 1

2 

  x

y x 有位于一直线的三个拐点 . 1. 求证曲线

证明：y 

  y

2 2

2

) 1 (

2 1





 

x

x x

3 2

2 3

) 1 (

) 1 3

3 (

2







 

x

x x

x

3 2 1) (

) 3 2

)(

3 2

)(

1 (

2











 

x

x x

x

备用题

x x

x 1) ( 1)2 ( ²   

2 2 1) (x 

4 2 1) (x  )

2 2

(  x (x² 1)²  (1 2x  x²)  2(x² 1)  2x

令 y   0 _得 ,

1 1 x

, ) 1 , 1 (

从而三个拐点为

因为  2  3

所以三个拐点共线 .

3

3  2  x

, 3

2  2  x

, 3) 4 8

3 , 1

3 2

( 



 

 )

3 4

8

3 , 1

3 2

( 



 



3 2 



1

1

3 4 8

3

1

 1

1

3 4 8

3

1



1 1

2 

  x

y x _{2 3}

) 1 (

) 3 2

)(

3 2

)(

1 (

2











 

 x

x x

y x

4

 1

=

证明 :

2 0  x  π

当 时 , 有

π . sin x  2 x 证明 :

令

x x

x

F π

sin 2 )

(   , 则F(0)  0,

(x) 

 F

x x

F ( )  sin )

(x

 F _是凸函数



 F(x)

即 x x π

sin  2 )

2 0 π

(  x  2 .

0 2)

(π  F

π cos x  2

 0



⁾



2 (π ),

0 (

min F F  0 ^{( 自证 )}

y

) (x F

2

O x