《数值分析》21

《数值分析》21

主要内容： ^{一阶常微分方程欧拉法}

欧拉法和修正的欧拉法(单步法) 局部截断误差和p阶精度

Range-Kutta公式

线性单步法的收敛性和稳定性

线性多步法简介

一阶常微分方程欧拉法

例

1.

一阶常微分方程初值问题

) (

2 )

,

(x y x y

f  

) (

2 x y

dx

dy   8 . 0 )

0

( 

y

例

2. Logistic

模型

y(1 y) dx

dy  

初值条件

y(0)=0.2

如何求

y(x)

?

一阶常微分方程欧拉法

一阶常微分方程初值问题

:













0 0

0

) (

), ,

( y x

y

x x

y x dx f

dy

数值方法

——

取定离散点

: x₀ < x₁ < x₂ < ··· < x_N

其中

, y = y(x)

是未知函数

,

右端函数

f(x, y )

是已知函数

,

初值

y₀

是已知数据。

要求：未知函数

y(x)

在这些离散点上的近似值

y₁, y₂, y₃, ···, y_N

) ,

(

1 n n n

n f x y

h y

y _   )

, ( x y dx f

dy 



欧拉法和修正的欧拉法(单步法)

1)

区域离散：取定步长

h,

记

x_n = x₀ + nh, ( n = 1,2, ···, N )

2)

格式：

Euler

公式（法），

y_n+1 = y_n + h f( x_n, y_n )













0 0

0

) (

), ,

( y x

y

x x

y x dx f

dy

近似解求法（

Euler

法）

: v

问题：

问 ：

_{f( xn, yn )}

其实可以看作什么？

欧拉法和修正的欧拉法(单步法)

y’ = f (x, y)



^



 

1 ( , ( ))

) (

)

( ₁ ⁿ

n

x n x

n y x f x y x dx

x y

)]

, (

) ,

( 2 [

)) (

,

( _{1 1}

1



 



^{xn f x y x dx}  ^{h f xn yn f xn yn}

2.2)

梯形公式

:

) ,

1 n ( n n

n y hf x y

y _  

2.1)

左矩形公式：

_x^{xn 1} f (x, y(x))dx hf (x_n, y_n )

n



^ 





_n^{n1 ( ) } x^x_n^{n1 ( , ( ))} x

x y x dx f x y x dx



近似解求法（修正

-Euler

法）

:

欧拉法和修正的欧拉法(单步法)

) ,

~ (

n n

n

n y hf x y

y _1  

~ )]

, (

) ,

(

2 [ ^{1 1}

1  

  _n  _{n n}  _{n n}

n y h f x y f x y

y

)]

, (

) ,

(

2 [ ^{1 1}

1  

  _n  _{n n}  _{n n}

n y h f x y f x y

y

预-校方法又称为修正的

Euler

法

,

算法如下

k₁ = f(x_n , y_n) ,

k₂ = f( x_n+1 , y_n+ h k₁) _,

] 2 [

^{1 2}

1

y h k k

y

_n



_n

 

3)

由梯形公式推出的预-校方法:



局部截断误差和p阶精度

设 y

_n

= y(x

_n

), ^称 R

_n+1

=y(x

_n+1

) - y

_n+1

^{为局部截断误差}

.

) 2 (

) ) (

( ) (

) (

)

(_{x 1 y x x 1 x y x} ^{x 1 x 2} _y 

y _{n n n n n} ⁿ  ⁿ 

 





 _ ^



) 2 (

) ,

( )

( )

(_{x 1 y x hf x y} ^h2 _y 

y _n  _n  _{n n}  

即 由泰勒公式

Euler

公式

: y_n+1 = y_n+ hf (x_n, y_n)

的局部截断误差

y(x_n+1) – y_n+1=y(x_n) – y_n+ O(h²) = O(h²)

Euler

公式的局部截断误差记为

: O(h²)

Euler 1

局部截断误差（欧拉公式）：

局部截断误差和p阶精度

若局部截断误差为

O(h ^p+1)，则称显式单步法（如

欧拉法）具有

p

阶精度。

(

计算格式的精度概念

)

例

3.

证明修正的

Euler

法具有 2 ^阶精度

~ )]

, (

) ,

(

2 [

^{1 1}

1  





_n



_{n n}



_{n n}

n

y h f x y f x y

y

) ,

~ (

1 n n n

n

y hf x y

y

_

 

将预测公式 代入

得

y_n+1 = y_n + 0.5h[f(x_n,y_n)+f(x_n+1, y_n+hf(x_n, y_n))]

f(x_n+1, y_n+hf(x_n, y_n))= f(x_n+h, y_n+hf(x_n, y_n))

= f (x_n, y_n)+h[f_x’]_n + hf(x_n,y_n) [f_y’]_n + O(h²) )

, (

)

(x f x y

y 



^{y (x )  d f ( x , y )}

局部截断误差和p阶精度

利用泰勒展开：

y(x

_n+1

)=y(x

_n

)+hy’(x

_n

)+0.5h

²

y”(x

_n

)+O(h

³

) 0.5h[f(x

_n

,y

_n

)+f(x

_n+1

, y

_n

+hf(x

_n

, y

_n

))]

=hy’(x

_n

)+0.5h

²

y”(x

_n

)+ O(h

³

)

局部截断误差

: y(x_n+1) – y_n+1 = y(x_n) – y_n + O(h³)

= O(h

³

)

y

_n+1

= y

_n +

hy’(x

_n

)+0.5h

²

y”(x

_n

)+ O(h

³

)

故修正的

Euler

法具有

2

阶精度。

Range-Kutta公式

由欧拉方法的截断误差可知：

1)用一阶泰勒多项式近似函数可以得其局部截断 误差为一阶泰勒余项

O(h²)

2)类似地，若用

p

阶泰勒多项式近似函数，则局部 截断误差应该为

p

阶泰勒余项

O(h^p+1)

3)因此，理论上只要

y(x)

充分光滑，利用函数的 泰勒展开可以构造任意精度的数值方法

但是： 具体实施时是很困难的！因为：若直接对

y(x)

用 高次泰勒多项式近似，会出现

f(x,y)

的各阶偏导数

，使得计算变得十分复杂并且工作量巨大。

因此一般不直接使用泰勒展开方法, 但可以间接 使用。

所以：此处介绍的

Runge-Kutta

方法就属于间接

Range-Kutta公式

建立高精度的单步递推格式。

单步递推法的基本思想是从

(x_i , y_i ) 点出发，以某一斜率

沿直线达到

(x_i+1 , y_i+1)

点。

注意：欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。



考察改进的欧拉法，可以将其改写为：

) ,

(

) ,

( 2

1 2

1

1 2

1

2 1

1

hK y

h x

f K

y x

f K

K K

h y

y

i i

i i

i i







 

 



 

斜率

一定取

K₁ K₂

的平均值吗？

步长一定是一个

h

吗？

Range-Kutta公式

首先希望能确定系数

₁

、

₂

、

p₁

、

p₂

，使得到的算法格式 有

2

阶精度，即在

^{yi  y(xi )}

的前提假设下，使得

) (

)

( x ₁ y ₁ O h³

y

R_i  _i  _i 

Step 1:

将

K₂

在

(x_i , y_i )

点作

Taylor

展开

(

用二元函数泰勒展开

)

将改进欧拉法推广为：

) ,

(

) , (

] [

1 2

1

2 2 1

1 1

p₂hK y

p₁h x

f K

y x f K

K K

h y

y

i i

i i i i













   

) , ( ) , ( )

, (

) , ( )

, (

) , ( )

(

y x f y x f y

x

f dx

y dy x f y

x f

y x dx f

x d y

y x

y x









 

Step 2:

将

K₂

代入第

1

式，得到

Range-Kutta公式

Step 3:

将

y_i+1

与

y( x_i+1 )

在

x_i

点的泰勒展开作比较

) ( )

2 ( )

( )

( )

( x ₁ y x hy x h² y x O h³

y _i  _i   _i   _i 

要求

_{Ri  y(xi1) yi1  O(h}³₎

，则必须有：

这里有

个未知 数，

个方程。

3 4

问题: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？

注意到，当 p

₁

=p

₂

, 就是改进的欧拉法。

满足上述方程的一族公式称为二阶龙格 - 库塔格式 。

Range-Kutta公式

其中 

_i

( i = 1, …, m ) ， 

_i

( i = 2, …, m ) 和



_ij

( i = 2, …, m; j = 1, …, i  1 ) 均为待定系 数，确定这些系数的步骤与前面相似。

... ) ,

( ...

...

) ,

(

) ,

(

) ,

(

] ...

[

1 1 2

2 1

1

2 32

1 31

3 3

1 21

2 2

1

2 2 1

1 1

 









































m m m m

m m

i m

i i

i i

i i

m m

i i

hK hK hK

y h x

f K

hK hK

y h x

f K

hK y

h x

f K

y x f K

K K

K h

y y

























二阶龙格 - 库塔格式推广得到更高精度格式

Range-Kutta公式

 最常用为四阶经典龙格-库塔法 /*

Classical Runge-Kutta Method */ ：

) ,

(

) ,

(

) ,

(

) ,

(

) 2

2 (

3 4

2 2 3 2

2 1 2 2

1

4 3

2 6 1

1

hK y

h x

f K

K y

x f K

K y

x f K

y x

f K

K K

K K

y y

i i

i h i h

i h i h

i i

i h i





























 

Range-Kutta公式

注：



龙格

-

库塔法的运算在于计算

K_i

的值，即计算

f

的值。

Butcher

于

1965

年给出了计算量与可达

到的最高精度阶数的关系 （本书不作要求）：

7 5

3

可达到的最高 精度

6 4

每步须算

K_i

的 2

个数

) (h²

O O(h³) O(h⁴) ^O(h4) O(h⁵) O(h⁶) O(h^n2)

8 n

 ^由于龙格

_-

库塔法的导出基于泰勒展开，故精度

主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太

好的解，最好采用低阶算法而将步长

h

取小（

Range-Kutta公式

三阶

Range-Kutta

公式一般形式

y

_n+1

= y

_n

+ h[k

₁

+4k

₂

+k

₃

]/6 k

₁

=f(x

_n

,y

_n

),

k

₂

=f(x

_n

+0.5h, y

_n

+0.5hk

₁

) k

₃

=f ( x

_n

+h, y

_n

– hk

₁

+2 hk

₂

)

四阶

Range-Kutta

公式一般形式

y

_n+1

= y

_n

+ h[k

₁

+2k

₂

+2k

₃

+k

₄

]/6 k

₁

=f(x

_n

,y

_n

),

k

₂

=f ( x

_n

+ 0.5 h, y

_n

+ 0.5 hk

₁

) k

₃

=f(x

_n

+0.5h, y

_n

+0.5hk

₂

), k

₄

=f(x

_n

+h, y

_n

+hk

₃

)

类似二阶推导，可得三阶、四阶RK公式：

Range-Kutta公式

















1 )

0 (

2 0

,

2

y

x xy

dx y dy

e x

x x

y _



 

2 1

) 1

例

4 (

数值实验

:

几种不同求数值解公式的误差比较

n 10 20 30 40 h 0.2 0.1 0.0667 0.05

RK4 6.862e-005 3.747e-006 7.071e-007 2.186e-007 RK3 0.0012 1.529e-004 4.517e-005 1.906e-005 RK2 0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e-004 Euler 0.1059 0.0521 0.0342 0.0256

线性单步法的收敛性和稳定性

一、收敛性

/*Convergence*/

1

( , , )

n n n n

y

_

 y h x y h  

对于初值问题

的一

种

0 0 0

( , )

( ) ;

dy f x y

y x dx y x x

 

 

  



( )  1

Def

显式单步法

产生的近似解，

如果对于任一固定的 x

, _n

 x nh

₀

 均有

， 则称该 单步法是收敛的 。

lim

0 _n

( )

_n

h

y y x





类似地可以定义隐式单步法的收敛性

线性单步法的收敛性和稳定性

定理

8.2

： 设初值问题（

*

）对应的下列单步法是

阶精度，

1

( , , )

n n n n

y

_

 y  h x y h 

p

且函数 

满足对

y 的

Lipschitz

条件，即存在常数

_{L  0}

1 2 1 2 1 2

| ( , , ) x y h ( , , ) |x y h  L y|  y | y y,

并且初值

y₀

是准确的，即

y₀ = y(x),

则该单步法是 收敛的 ， 且

y x( )_n  y_n  O h( )^p

证明： _记 e

_n

 y x ( )

_n

 y

_n

^{由截断误差的定义}

1 1

( _n ) ( )_n ( , ( ), )_{n n n} y x _  y x  h x y x h T  _

1 [ ( , ( ), ) ( , , )] 1

n n n n n n n

e _  e  h x y x h







x y h  T _

线性单步法的收敛性和稳定性

因为单步法是

p 阶的：  h

₀

, 0   h h

₀

^满足 | T

_n1

|  Ch

^p1

1 1

| e

_n

| | |  e

_n

 hL e | |

_n

 Ch

^p

  _{| | e}

_n

 

其中 

 1 hL,



 Ch^p1

1 2 2

| | e

_n

  | e

_n

|     | e

_n

|    

3 2

3 1

| e_n | ( )



_

  

      

2 1

0

1

| | e

_n

 

ⁿ

| | e   (       ... 

^n

)

0 0 1 0

1

| | exp[ ( e

_n

 L x x

_n

 )]| | e  Ch L

^{p }

{exp[ ( L x x

_n

 )] } 

1{exp[ ( 0)] }1

p n

Ch L^ L x x

  

( )

^p

e

n

 O h

0(h 0)

 

=

=

线性单步法的收敛性和稳定性

二、绝对稳定性

/*Absolute Stibility*/

计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响

首先以

Euler

公式为例，来讨论一下舍入误差的传播

:

1

( , )

n n n n

y

_

 y hf x y 

设实际计算得到的点

x

_n

的近似函数值为

y

_n

 y

_n

 

_n

，

y

n

其中

为精确值，



_n

为误差

1

( , )

n n n n

y

_

 y  hf x y 

_n1

^ y

_n1

^ y

_n1

1

[ ( , ) ( , )] [ 1 ( , )]

n n

h f x y

n n

f x y

n n

hf x

y n n



_

       

如果

| 1  hf |  1 ，则误差是不增的，故可认为是稳定的

线性单步法的收敛性和稳定性

例如： 对于初值问题

( )

0

y y

y x a

  

 

 ^精确解为

x x0

y ae 

^

而实际求解的初值问题为

( )

0

y y

y x a a

  

   



精确解为 y a    ( a e )

^{x x 0}

^在

x

_n

处的误差为  ae

^{xn x0}

可见误差随着

x

_n

的增加呈指数函数增长

如果初值问题为

( )

y y

y x a

  

   ^精确解为

⁰

y ae 

x x^

线性单步法的收敛性和稳定性

实际求解的初值问题为

( )

0

y y

y x a a

  

    



精确解为 y a    ( a e )

^{x x0}

^在

x

_n

处的误差为  ae

^{x x0  n}

可见误差随着

x

_n

的增加呈指数函数递减

当

f

_y

 0 时，微分方程是不稳定的；

而

f

_y

 0 时，微分方程是稳定的。

上面讨论的稳定性，与数值方法和方程中

f 有关

线性单步法的收敛性和稳定性

实验方程： y    y   C ,Re( )   0

1

( , , )

n n n n

y

_

 y  h x y h 

对单步法

应用实验方程，

1

( )

n n

y

_

 E h y 

Def 3

 h

如果

，当

E h ( )   1 时，则称该 单步法是绝对稳定的，在复平面上复变量

满足

( ) 1

E h   的区域，称为该单步法的绝对稳定域，

它与实轴的交集称为绝对稳定区间。

线性单步法的收敛性和稳定性

1

( ) ( 1 )

n n n n

y

_

 y  h y    h y 

例

4

：分别求

Euler

法和经典的

R-K

法的绝对稳定区间。

( ) 1

E h     h

解： 

_Euler

^公式： y

_n1

 y hf x y

_n

 ( , )

_{n n}

将其应用于实验方程

绝对稳定域： 1   h  1

1   h     1 2  h  0

当

  R 时，

绝对稳定区间： ( , )  2 0

 ^经典的

_R-K

^{公式： y}

_n₁

 ^y

_n

 ₆ ^{h ( k}

₁

 ^{2 k}

₂

 ^{2 k k}

₃



₄

⁾

线性单步法的收敛性和稳定性

1

( , )

_{n n}

k  f x y

2

(

_n

h 2 ,

_n

h 2

1

) (

_n

h 2

1

) k  f x  y  k   y  k

3

(

_n

h 2 ,

_n

h 2

2

) (

_n

h 2

2

) k  f x  y  k   y  k

4

(

_n

,

_n 3

) (

_n 3

)

k  f x h y hk     y hk 

2

(   2 h y )

_n

 

2 3 2

2 4

(   h  h y )

_n

  

3

y

n

hk

 

 

2 3 4

1 2 3 4

( ) ( ) ( )

( ) ! ! !

h h h

E h     h      

2 2 3 3 4 4

1

1

2 3 4

( )

! ! !

n n

h h h

y

_

   h       y y

n





线性单步法的收敛性和稳定性 当 

 R 时，

绝对稳定区间： ( .  2 785 0 , )

2 3 4

1 1

2 3 4

( ) ( ) ( )

( ) ! ! !

h h h

E h     h       

可以证明：

存在唯一极小值点

2 3 4

1 2 3 4

( ) ! ! !

t t t

g t    t  

1 596 . ; ( ) 0 27 0 . t

^

  g t

^

 

2 3 4

1 1

2 3 4

( ) ! ! !

t t t

g t    t   

由

得

线性多步法简介

1

1 -r 1

RK , ,

n n

n n n n

y y

y y y y



 

－

单步法在计算 时，只用到前一步的信息 。 为提高精度，需重新计算多个点处的函数值，如

方法，计算量较大。如何通过较多地利用前面的已知 信息，如 ， ， 来构造高精度的算法计算 ， 这就是多步法的基本思想。

线性多步法（理解思想即可）