习题课 级数的收敛、求和与展开

习题课

级数的收敛、求和与展开

三、幂级数和函数的求法

四、函数的幂级数和傅式级数 展开法

一、数项级数的审敛法

二、求幂级数收敛域的方法

第十二章

) (

0

x u

n



^ n



求和 S(x)

展开 ( 在收敛域内进行 )

) (

0

x u

n



^ n



基本问题：判别敛散； 求收敛域；

求和函数； 级数展开 .

为傅里叶级数 . x

n b

x n a

x

u_n( )  _n cos  _n sin 当

为傅氏系数 ) 时 ,

时为数项级数 ; x0

x  当

n n

n x a x

u ( ) 

当 _{时为幂级数} ;

n n b a , (

一、数项级数的审敛法

1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法

必要条件 lim  0



 n

n u _{不满足 发 散}

满足

比值审敛法 lim

n

1

un

un 



根值审敛法 







n n nlim u

1



收 敛 发 散

 1



不定 比较审敛法

用它法判别

积分审敛法 部分和极限

1



3. 任意项级数审敛法 为收敛级数



^

1 n un

Leibniz 审敛法 : 若u_n  u_n1  0 , _且 lim  0 ,



 n

n u

则交错级数 _n

n

nu



^





1

) 1

( _收敛 ,

概念 :

且余项 r_n  u_n1.



^

1

n un

若 收敛 ,



^

1 n un

称 绝对收敛



^

1

n un

若 发散 ,



^

1 n un

称 条件收敛

例 1. 若级数

 

^





1 n 1 n

n an 与 b ^{均收敛 , 且}a n  c n  bn

, ) ,

2 , 1

(n   _证明级数



^

1

n cn _{收敛 .}

证 : 0  c _n  a _n  b_n  a _n (n  1, 2 ,), _则由题设 )

(

1 n

n



^ bn  a

 收敛 ( )

1 n

n



^ c n  a

 收敛



^

1

n c n [( ) ]

1 n n

n c n  a  a





^



) (

1 n

n c n  a





^





^





1

n a n _收敛

练习题 : P320 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5

解答提示 :

P320 题 2. 判别下列级数的敛散性

: 1 ;

) 1 (



^1



n nn n ;

2 )

! ) (

2 (

1 2



^ 2



n n

n ;

2 ) cos

3 (

1

3π



^ 2

n n

n n

ln ; ) 1

4 (

2 10



^



n n (5) ( 0, 0).

1





^ 



s n a

a

n s

n

提示 : (1)

n n n n

n

1 1

lim

 1,

据比较审敛法的极限形式 , 原级数发散 .

n n n

lim 1



 



^ 发散

1

1

n n



^





12

n n

n

n

n ln10

lim 1





∴ 原级数发散 2 :

)

! ) (

2 (

1 2



^ 2



n n

n

2 : ) cos

3 (

1

3π



^ 2



n n

n n

ln : ) 1

4 (

2 10



^



n n

故原级数收敛



^

2

1

n n 发散 ,

收敛 ,

2 2

) 1 (

2

]

! ) 1 lim [(







 n

n

n 2

2

2 )

! (

n

n  

2 , 2

0 cos ^3π

2

n n

n n

n 



n

1 n

n

nlim ln10



 

x x

xlim ln10





 

x x

xlim 10ln9





 

2 8

9 lim 10







 

   x 

x  

用洛必达法则

n n n

n lim 2



 2

 1

, 原级数发散

: ) 0 ,

0 (

) 5 (

1





^ 



s n a

a

n s

n

时收敛 ;

时 , 为 p 级 数

时收敛 ;

1 s

时发散 .

 1 s

1

a _时发散

.

1 a

1 a

s n

s n

n a n

a

n

) 1 (

1

lim ^





 s

n n

a n 





 



 



 1

lim  a

P320 题 3. 设正项级

数



^

1 n

un 和



^

1 n

vn



^





1

)2

(

n un vn 也收敛 .

法 1 由题设 lim  lim  0 ,







 n

n n

n u v

, )

(

1

n 收敛

n un  v



^



) (

lim _{n n}

n u  v

   0

根据比较审敛法的极限形式知结论正确 .

都收敛 , 证明级 数

n n

n n

n u v

v u



 





)2

lim (

法 2 因 lim  lim  0 ,







 n

n n

n u v

故存在 N > 0,当 n >N 时

, 0 )

(

lim  

  n n

n u v

) (u_n  v_n

2  ) (u_n  v_n

, 1 )

(

0  u_n  v_n  从而

再利用比较法可得结论

P320 题 4. 设级数



^

1 n

un 收敛 , 且lim 1,



 n

n

n u

v



^

1 n

vn 是否也收敛？说明理由 .

但对任意项级数却不一定收敛 . ) ,

1 ( u n

n n

 

问级数

提示 : 对正项级数 , 由比较判别法可

知



^

1 n

vn

级数



^

1 n

un 收敛 ,



^

1 n vn n

n

n u

v



lim

收敛 ,

级数 发散 . n

n n

) 1 lim (

1 

  1

例如 , 取

n v n

n n

1 )

1

( 



1; ln

) 1 ( )

3 (



^1



 

n

n

n n

P320 题 5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛

性 :

1 ; )

1 ( )

1 (



^1





n p

n

n ;

π ) sin

1 ( )

2 (

1 1π1



^ 1

   

n n nn

!. ) 1 ) (

1 ( )

4 (

1 1



^

 

 

n n

n

n n

提示 : (1) p >1 时 , 绝对收 敛 ;

0 < p≤1 时 , 条件收敛 p≤0 时 , 发散 . ;

(2)

故原级数绝对收敛 .

n n

n π 1

lim 1_



, 

π 1 π

) sin 1

( ^n1 _n^nπ₁^1  _n1 π ,

1

1 1 收敛



^

 



n n

, π 1

1 





^



 

1

ln 1 )

1 ( )

3 (

n

n

n n

1) 1

( 1 ln

ln n n

u_n  n   

因 单调递减 , 且

但对 n

n

n

ln 1

1



^ 



 









 ⁿ

k

k k

1

ln )

1 ln(

) 1 ln( 

 n   (n  ) 所以原级数仅条件收敛 .

k S ⁿ k

k n

ln 1

1









由 Leibniz 审敛法知级数收敛 ;

0

lim 



 n

n u



^

 

 

1 1

! ) 1 ) (

1 ( )

4 (

n n

n

n n

因 ^ 

n n

u

u ₁ ( 2) ²

! ) 2 (

 

 n n

n

) 1

1 1 1

1 (

2 _

 



  ⁿ

n n

n

1

! ) 1 (



 nn

n





n e^1 1 所以原级数绝对收敛 .

二、求幂级数收敛域的方法

• 标准形式幂级数 : 先求收敛半径 R :

再讨论 x  R

• 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 .

P320 题 7. 求下列级数的敛散域 :

; 1)

1 ( )

2 (

1



^ 2





n

n n x

n .

) 2 4

( ²

1

n n nn x



^



练习 :

, lim

1



 

n n

n a

R a ⁿ _n

n a

R1  lim^

或 ^{( 自证 )}

1



解 : ⁿ

n

n n

n a 1n)

1 ( lim

lim  







 

当 e

1

 x

因此级数在端点发散 ,

e 1)

1

(  ^n1  n

n

un





 e

n

n) 1 1

( 

n

n) 1 1

( 

) (

e 0

1   

 n

. e ) , 1 e (1

 e

时 ,



^





1

) 2

1 1 ( )

2 (

n

n n x n

e ,

 1

R

e 1 e

1  

 x

故 时原级数收敛 .

故收敛域为

n n nnx₂

12 )

4

(



^



) (

) lim ¹(

x u

x u

n n n





解 : 因 

) 1 ( 2

2 1

1 _



 n

n x

n

2 x2 n 

n x n ₂ 2

, 2 1

2 

当 x 即  2  x  2 时，

, 2时 当x  

故收敛域为 ( 2 , 2) .

级数收敛 ; 一般项 u_n  n 不趋于 0,



 

nlim

级数发散 ;

例 2. [3 ( 1) ] .

1

的收敛半径

求幂级数 ⁿ

n

n n

n x



^







解 : 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数

,

lim ¹

n

an

a n







n n

n a



lim

极限不存在



^

1

) (

k

k x

 ,

2

4 ₂

1

2 k

k

k

k x



^







^

1

) (

k

k x

 ^{2 1}

1

1 2

1 2

2 _







_

 ^k

k

k

k x

) (

)

1(

lim _x^x

n ⁿ

n

 _



  (4x)², R₁  ₄¹

) (

)

1(

lim _x^x

n ⁿ

n

 _



  (2x)², R₂  ¹₂

∵ 原级数 =



^

1

) (

k

k x





^





1

) (

k

k x



∴ 其收敛半径 R  min{R₁,R₂}  ¹₄

注意 : 此题

• 求部分和式极限

三、幂级数和函数的求法

求和

• 映射变换法

逐项求导或求积分

n n

n x



^ a



 0

)

*(x

对和函数求积或求导 S )

(x S

难

直接求和 : 直接变换

,间接求和 : 转化成幂级数求和 , 再代 值

求部分和等

• 初等变换法 : 分解、套用公 式 （在收敛区间内）

• 数项级 数 求和

n n



^ anx

0

例 3. 求幂级数 .

! ) 1 2

( ) 1 1

( ^{2 1}

0

 的和函数





 ^{ }_ ⁿ n

n x

n n

法 1 易求出级数的收敛域为(,  )



^



 

 



0

2

2 )

!( ) 1 2

( ) 1 1 2 (

1

n

n

n x

原式 n

 

^



 ^  ^



 ^{2 1} 0(2 1)!

) 1 ( 2

1 _n

n

n x

x

n

) sin 2 (

1 

 x x

, 2 cos

2sin

1 x x

x 

 x (,  )

法 2 先求出收敛区间 , ) (x

S 则

2 1

0 0

0

( ) d ( 1) 1 d

(2 1)!

x n x n

n

S x x n x x

n

 



  





 

2 2

0(2 1)! )

1

( _





 ^ _

 ⁿ

n

n

n x 2

1

1 2

0 (2 1)! ) 1 ( 2

 



 ^ _

 ⁿ

n

n

n x

x x x

2 sin

 ,

2 cos 2sin

) 1

( x x

x x

S  



, ) ,

( 

设和函数为

) ,

(  

 x

1 2 0 (2 1) !

) 1 1

( ^





 ^{ }_ ⁿ

n

n x

n n

练习 :

). 1 ) (

4 (



^1

 

n

n

n n

; x 2

1 ) 2

1

( ^{2( 1)}

1

 



 ^{ n}

n n n x

解 : (1)

) 2 (

1 _{2 1}

1

 ^{ } 



 ⁿ

n n x

原式

) 2 1

0 (

2 

 x

   

^





^

1

2

2 1

n

x n

x

 

^

 



2 2 2

2

1 1

x x

x

 

^

  ₂ 2 x

x

2 2

2

) 2

( 2

x x



 

显然 x = 0 时上式也正确 ,

. ) 2 ,

2 (

 故和函数为 x

而在^{x   2} x≠0

) , 2

( ) 2

( _{2 2}

2

x x x

S 

 

P320 题 8. 求下列幂级数的和函数：

级数发散 ,

(4) ⁿ

n

n x

n 





 







^ 

 1

1 1

1

原式

1 1 0

x n d

n

t t

 





 

0

1

1 ^{x n} d

n

t t

x





 

  

 

 

0

1 d 1

x t

 t



 ^{ 1}_x



₀^x _1^t _t ^{d t}

) 1

ln(  x



 1 ln(1 )

1 x

x 





) 1

( ln ) 1 1

(

1 x

x  





) 1 0

(  x 



¹



0 1

x n d

n

t t

 





 

0

^{ }

1

1 ^{x n} d

n

t t

x







 

x≠0



^

₁ ( 1)

n

n

n n

x 1 1) ln (1 ) , (

1 x

x  





显然 x = 0 时 , 级数收敛于 0,

根据和函数的连续性 , 有

 ) (x S

1 1

0 ,

) 1

( ln ) 1 1

(

1   x  x  x  

x 及

0

0， x 

1

1， x 

1 0  x 

x = 1 时 ,级数也收敛 . 即得



^{1 ( 1 1)ln (1 )}



lim0 x

x

x   

 ln (1 ) 0

lim

1 0  

  x

x 又 x



 







 









^





0 0( 2 1)! )

1 (

! ) 2 (

) 1 ( 2

1

n

n n

n

n n

练习 :



^

 

 

0 (2 1)!

) 1 1 (

n

n

n n

解 : 原式 =



^

 



0 (2 1)!

) 1 (

n

n

n

1 2[cos

 1

的和 .



^{(2n 1) 1}



2 1

] 1

 sin P320 题 9(2). 求级数

注 : 本题也可利用例 3 间接求和 .

四、函数的幂级数和傅式级数展开法

• 直接展开法

• 间接展开法 练习 :

1) 将函数 ₂

) 2

(

1

 x 展开成 x 的幂级数 .

— 利用已知展式的函数及幂级数性质

— 利用泰勒公式

解 :

 

^

 

 x 2 x 1 )

2 (

1

2

 

^

 



1 2

1 2

1

x





 









^

0 2 2

1

n n

xn

2 , 2

1

1



^ 1



 

n n

xn

n x(2 , 2) 1. 函数的幂级数展开法

2)

设 f (x)  1 ² arctan ,  0 x

x x x

0 ,

1 x 

, 将 f (x) 展开 成

x 的幂级数 ,



^

 



11 4 2

) 1 (

n

n

n 的和 . ( 2001 考研 )

解 : ₂ 1

1

 x

 ( 1) ,

0



^ 2







n

n

n x x (1,1)

x arctan

 ₂

0

1

1 d

x x

 x



 ₂^{( 1)}₁ ^,

0

1



^ 2







 

n

n n

n x x [1,1]

) (x

f



^

 

 



1

2

1 2

) 1 1 (

n

n n

n x



^







 

0

2 2

1 2

) 1 (

n

n n

n x 于是

并求级数



^







 

0

2 2

1 2

) 1 (

n

n n

n x



^







 

1

1 2

1 2

) 1 (

n

n n

n x )

(x

f



^

 

 



1

2

1 2

) 1 1 (

n

n n

n x



^

 

 



1

2

1 2

) 1 1 (

n

n n

n x



^

 

 

 

 





1

2

1 2

1 1

2 ) 1

1 ( 1

n

n

n x

n n

4 , 1

) 1 2 (

1

1

2



^ 2

 

 



n

n n

n x x [1,1]



^

 

 

11 4 2

) 1 (

n

n

n [ (1) 1] 2

1 

 f

2 1 4

π 



2. 函数的傅式级数展开法

系数公式及计算技巧 ; 收敛定理 ; 延拓方法 练习 :

x y

O π

 π

) ,

[  上的表达式为









 

) π , 0 [ ,

e

) 0 , π [

, ) 0

( x

x x

f _x

将其展为傅氏级数 .

n 

a π

1 e^x cosnx d x



0^{  1}_

^

^ex(nsin₁^nx_{ n}^₂ ^cosnx)

^

^π₀

) ,

2 , 1 , 0 1 (

1 )

1 ( e 1

2  







  ^ n

n

n

P321 题 11. 设 f (x) 是周期为 2 的函数它在,

解答提示

x nx

b_n 1 e^x sin d



0^

 



₂



1

) cos

(sin e

1

n

nx n

x nx





  0

 )

, 2 , 1 1 (

) 1 ( 1

2  





  n

n e

n ^{ n}





 

 ^

2 1 ) e

(x

f



^





1

1



n ^{2 (cosnx  nsin nx)}

e ( 1) 1 1

π n

n

 



) ,

2 ,

1 ,

0 ,

( x  k k    

思考 : 如何利用本题结果求级数 ²

0

e ( 1) 1 1 ?

π n

n n





 



 ^的和 根据傅式级数收敛定理 , 当 x = 0 时 ,

有



 2

1

e



^



 π 1

1

n 1 2

1 )

1 ( e

n

n





 

2

) 0 ( )

0

( ^  ^

 f f

2

 1 提示 :

P320 6

⁽²⁾

; 7

⁽³⁾

; 8

(1), (3) ;

9

(1) ;

10

(1) ;

12

作业

备用题 设幂级数 ( , )

0





^ 



n在

n

nx a 满足

解 : 设

) (x

y y   2xy  4y  0, y(0)  0, y(0) 1 ,

2 , 1 1 ,

2

2 

 

 a n

a_n n _n

,



^0





n

nxn

a y

内收敛 , 其和函数

(1) 证明

(2) 求 y(x) 的表达式 .

则由 y(0)  0, y(0) 1



^



 

 

2

) 2

1 (

n

nxn

a n

n y

1 ,

0 ₁

0  a 

得a ,



^2









n

nxn

a x

y 1 ,

2



^ 1



 

 

n

nxn

a n y

代入微分方程得

( 2007 考研 )

1 )

0 ( ,

0 )

0 ( ,

0 4

2      

  xy y y y

y



^



 

 

2

) 2

1 (

n

nxn

a n

n y



^







2 n

nxn

a x

y



^



 

 

2

1 1 n

nxn

a n y



^













2

) 4

( 4

4

n

n xn

a x

y



^









 



2

) 2

( 2

2

n

n xn

a n x

y x



^

   



0

) 2

1 )(

2 (

m

m xm

a m

m



^

   







2

2 3

2 6 ( 2)( 1)

2

n

n xn

a n

n x

a a

分析

0 ]

) 4 2

( )

1 )(

2 [(

) 6 6

( 2

2

2 3

2   



^     

 

n

n n

n n a x

a n

n x

a a

1 3

1 1 1

, 2

1 a a

a    

 ( 1, 2, )

1 2

2  

 

 a n

a_n n _n

, 故得

2_m  0 (2) 由 (1) 知a

1 2 1

2 2

2



  _m

m a

a m 1 _{2 1}

 a _m

m ( 1) ^{2( 1) 1} 1



 

 a _m

m m

1 2

2 2

) 1 (

1



 

 a

m

m  ( 1, 2, )

!

1  

 m

m

1 2

1 !

) 1

( ^{ }









 ^m

m

m x x

x y

可见 ⁿ aⁿ

n n

a n

) 1 )(

2 (

4 2

2  

  , 

2  0

a a₃ 1, a_n

n 1 2

 

e

^x2

 x