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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学 A

4.1.1 常数项级数

4.1.2 常数项级数的基本性质 收敛的必要条件 4.1.3 正项级数及其收敛性

4.1 4.1 正项级数 正项级数

第 第 4 4 章 无 穷 级 数 章 无 穷 级 数

4.1 正项级数

4.1.3 正项级数及其收敛性

4.1.1 常数项级数的概念

常 数 项 级 数 与 正 项 级 数

4.1.2 常数项级数的基本性

质

级数的概念

级数的收敛与发散 习例 1-4

性质 1~5 习例 5-9

正项级数收敛的充要条件 比较法

习例 10-11

比较法的极限形式 习例 12

小结与思考题

常数项级数概念及性质的小结



  









^



 n

n

n

u u u u

u

_{1 2 3}

1

设有数列 {u_n}: u₁ , u₂ , …, u_n , …

为一个无穷级数 , 简称为级数 .

称 u_n 为级数的一般项或通项 . 则称表达式

1. 级数的定义 :

一、常数项级数的概念

.

,

1

数 则称该级数为常数项级

均为常数 的每一项

若级数 _n

n

n u



^ u



.

) (

), (

:

1

数项级数

为函 则称级数

函数

一个变量的 若级数的每一项均为同



^





n

n n

n u x u x

u

; 2

1 4

1 2

1 2

1

1



 







^ 

 n

n n 1 2 ;

1



 







^ 



n n

n

2 ,

2 1

0 0



 









^ 



n n n

n

nx a a x a x a x

a ^{| x | 1.}

, sin

2 sin sin

sin

1



 







^ 



nx x

x nx

n

. R x 

2 、问题的提出





      



_n

10 3 1000

3 100

3 10

33333 3 .

3 0 1

其结果是一个确定的数 .

1

0, 2 ( 1) 1 1 ( 1) 1 ( 1)

1, 2 1

n n

n k

n k





 

             



^

又

其结果是不是一个确定的数 .

再看一个例子 :



 

 















 )

1 1 (1

4) 1 3

(1 3)

1 2

(1 2)

1 1

( n n

其结果多少 ?

2 , 1 2

1 1

1

  

s 3

1 1 3 )

1 2

( 1 2 )

1 1

2

 (     

s

1 1 1

 

 n

s

_n

, 

, 



 

 

 

 

 



^



( 1 )

1 3

2 1 2

1 1 )

1 (

1

1

n n n n

n

3. 级数的敛散性定义 无穷级数



^

1 n

un 的前 n 项之和：

2 ,

1 1

n n

k

k

n u u u u

S 



   

 

称为级数的部分和 . 若 n ^Sn  ^S



lim 存在 , 则称级数



^

1 n

un 收敛 . S 称为级数的和： .

1

S u

n

n 



^



,

lim 不存在

若 _n

n S



 则称无穷级数发散 .

? ,

. 2

? .

1

: ,

1

1

和为多少 若收敛

是否收敛

关心两个问题 讨论无穷级数













n

n

n

n

u

u

.

1

收敛的方法 下面我们讨论判断级数 

^

 n

u

n

方法一 : 利用部分和数列的敛散性判断

常数项级数概念习例 例 1

) . 2 )(

1 (

1

, ,

,

3 0 3

s n u

n s s

u

n

n n

与 中的

写出

的意义及它们的关系 试述



^

  

例 2 .

) 1 2

)(

1 2

(

1

1

的敛散性 判别级数



^

  

n n n

例 3

. )

0

2 (

0

 的收敛性













^ 



a aq

aq aq

a

aq ⁿ

n

n  

讨论等比级数 ( 几何级数 )

例 4 ( 1 ) .

1

的敛散性 判别级数



^







n

n n

例 1

) . 2 )(

1 (

1

, ,

,

3 0 3

s n u

n s s

u

n

n n

与 中的

写出

的意义及它们的关系 试述



^

  

解 lim s_n s,

n 



 u_n  s_n  s_n1. 4 ,

3 1

3  

u .

4 3

1 3

2 1 2

1 1

3  

 

  s

例 2 . )

1 2

)(

1 2

(

1

1

的敛散性 判别级数



^

  

n n n

解 (2 1)(2 1) 1



 

n u_n n

 ),

1 2

1 1

2 ( 1 2 1

 

 

n n

) 1 2

( ) 1 2

(

1 5

3 1 3

1 1





 

 

 



 s_n  n n

1) 2

1 1

2 ( 1 2 ) 1

5 1 3

(1 2 ) 1

3 1 1

2( 1

 

 









  n n

1) 2

1 1 2( lim 1

lim   

  s  n

n n n

1) 2

1 1 2( 1

 

 n

2,

 1

2. , 和为 1

 级数收敛

技巧 :

利用 “拆项相消” 求和

例 3

. )

0

2 (

0

 的收敛性













^ 



a aq

aq aq

a

aq ⁿ

n

n  

讨论等比级数 ( 几何级数 )

解

如果 q  1 时

1

2   





 ⁿ

n a aq aq aq

s 

q aq

a ⁿ



 

1 1 1 q ^,

aq q

a ⁿ

 

  ,

1时

当q  ^{lim  0}





n

n q

 ^ _n^lim_ ^{sn } _1^a _q ,

1时

当q  ^{ }





n

n q

 lim   



 n

n s

lim

级数收敛 级数发散

时 如果 q  1

, 1时 当q 

, 1时 当q  





 na

s_n 级数发散







 a a a 级数变为a

n不存在

n s



lim 级数发散

述综上所

. ,

1

, 1

1 ¹

0 







 



^

 当 时 发散

收敛于 时

当 q

q q a

aq

n

n

例 4 ( 1 ) .

1

的敛散性 判别级数



^







n

n n

解  s_n  ( 2 1)  ( 3  2)  ( n  1  n) 1

1 



 n









 



 lim ( 1 1)

lim s n

n n

n 原级数发散.

注意 : (1) .

1 1

不同 与











n i i

n un u

. lim

) 2 (

1

是否存在有关 是否收敛与 _n

n un n s











. ,

) 3 (

1

的近似值 是

收敛

若 u s_n s

n



^ n



利用部分和数列和敛散性判断无穷 级数的敛散性 , 一般不易求得数列 和 , 此法应用范围较小 .

下面给出利用级数性质判断的方法 .

二、 常数项级数的基本性质 性质 1. 若级数



^

1

n un _{收敛于 S ,} ,



^1





n

un

S _则各项

乘以常数 c 所得级

数



^

1 n

un

c _也收敛 , 证 : 令 ,



1



 ⁿ

k k

n u

S _则





 ⁿ

k

k

n cu

1



 c S_n ,

n



n



 lim  c S 这说明



^

1 n

un

c _{收敛 , 其和为 c S} .

n Sn

c 

 lim

说明 : 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .

即

其和为 c S .

性质 2. 设有两个收敛级数 ,



^1





n un

S



^





1 n vn



则级数 ( )

1 n

n



^ un  v



也收敛 , 其和为S 



.

证 : 令 ,



1



 ⁿ

k k

n u

S ,



1



 ⁿ

k k

n v



_则

) (

1

k n

k

k

n 



u  v





 _Sn 



_n  S 



(n  ) 这说明级数 ( )

1 n

n



^ un  v

 也收敛 , 其和为S 



. 结论 : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减 .

说明 :

(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( )

1

n n

n v

u 



^

必发散 . 

但若二级数都发散 , ( )

1

n n

n v

u 



^

 不一定发散 . 例如 , 取 u_n  (1)²ⁿ, v_n  (1)^2n1,

 0

 _n

n v

而u

(1) 性质 2 表明收敛级数可逐项相加或减

.

( 用反证法可证 )

性质 3. 在级数前面加上或去掉有限项 , 不会影响级 的敛散性数.

证 : 将级数



^

1

n un _的前 k 项去掉 ,



^

  1

n uk n

的部分和为



 

 ⁿ

l

l k

n u

1



 S_kn  S_k

n k n 与S _ ,



时 由于n   数敛散性相同 .

当级数收敛时 , 其和的关系为



 S  S_k . 类似可证前面加上有限项的情况 .

极限状况相同 , 故新旧两级 所得新级数

性质 4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和 .

证 : 设收敛级数 ,



^1





n un

S _{若按某一规律加括弧} ,









 ) ( )

(u₁ u₂ u₃ u₄ u₅

则新级数的部分和序列



_m (m 1,2,)_{为原级数部分和} 序列 S_n ( n 1, 2 , )_{的一个子序列} ,

n n

m m S







  lim

lim



 S

因此必有

例如

推论 : 若加括弧后的级数发散 , 则原级数必发 散 .

注意 : 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛

. (11)  (11)   0 , ^但 1111 _发散 . 例如，

用反证法可证

性质 5 , lim 0.

1

 







 n

n un收敛 则n u 若级数

级数收敛的 必要条件 证 lim s_n s,

n 



 

且 u

_n

 s

_n

 s

_n1

,

lim 1

lim

lim _











  

 _n

n n n n

n u s s

 0



 s s

注意 :

. ,

0 lim

) 1 (

1

发散 则

若



^

 

 

n n

n un u

判别级数发散 的充分条件

. ,

0 lim

) 2 (

1

不一定收敛 则

若



^

 

 

n n

n un u

注意 : lim  0



 n

n u 并非级数收敛的充分条件 . 例 5 调和级数



^     

 n n

n

1 3

1 2

1 1 1

1

虽然 1 0又 lim

lim  







 u n

n n

n 但此级数发散 .

事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 lim ( ₂  )  0



 n n

n S S

n n

 2 n n

n

n 2

1 3

1 2

1 1

1  

 

 

 

但 S_2n  S_n 

矛盾 ! 所以假设不真 .

2

 1

例 6 . 6

1 5

10

0

收敛 证明级数



^







n n

n

例 7 .

3 2

5

1

的敛散性 判别级数



^

 

n n

n

例 9 , :

1

下列级数是否收敛 收敛

设



^



n un

1 . )

3 (

; )

2 (

; ) 0001 .

0 (

) 1 (

1 1 1000

1

 



^





 







n n

n n

n n

u u u

例 8 .

10 1 2

1 20

1 4

1 10

1 2

1 的敛散性

判别级数      

n n

常数项级数的基本性质习例

例 6 . 6

1 5

10

0

收敛 证明级数



^







n n

n

证

 

^





 

  

 



0 0

6) (1 6)

(5 6 10

1 5

10

n

n n

n n

n



, 6)

(1 6)

(5 10

0 0

收敛 与

而

 

^









n

n n

n

由级数性质可知原级数收敛 .

例 7 . 3

2 5

1

的敛散性 判别级数



^

 

n n

n

解 0,

2 5 3

2

lim 5  





 n

n

n

所以原级数发散 .

例 8 . 10

1 2

1 20

1 4

1 10

1 2

1 的敛散性

判别级数      

n n

解



^





















1

10 ) 1 2

( 1 10

1 2

1 20

1 4

1 10

1 2

1

n n

n n  n





2 , 1

1

收敛 又



^



n n ,

10 1

1



^ 发散



n n

由级数性质可知原级数发散 .

例 9 , :

1

下列级数是否收敛 收敛

设



^



n un

1 . )

3 (

; )

2 (

; ) 0001 .

0 (

) 1 (

1 1 1000

1

 



^





 







n n

n n

n n

u u u

解 (1) lim (  0.0001)  0.0001  0,



 n

n u



. )

0001 .

0 (

1



^ 发散







n un

, )

2 (

1

1 1000与



同时敛散



^





 

n n

n un u

 .

1 1000收敛



^

 



n un

1 , lim )

3

(  



 n

n u

 1 .

1



^ 发散





n un

常数项级数概念及性质的小结

1.由定义,若s_ns_{,则级数收敛;} 2.当

lim  0



 n

n

u

_{,则级数发散;}

3. 按基本性质. 常数项级数的基本概念

基本审敛法

 



































1 9

1

0

5 , 1

3 1 1 . .

2

, 1

, ) 1

( .

1

n n

n

n

n

n n

n

q aq q

发散 等都

由性质还有

发散的 是

调和级数

发散 时

当

收敛 时

等比级数 当 几何级数

记住

三、正项级数及其审敛法

1. 定义 :如果级数 中各项均有 0，

1



^ 

 n

n un u

这种级数称为正项级数 .

. ,

0

1

散性 与正项级数有相同的敛

则级数 如果



^





n n

n u

u



  



 s s

_n

s

_{1 2}

2. 正项级数收敛的充要条件 : 部分和数列 为单调增加数列 .^{s_n^}

正项级数的部分和数列是单调增加的 单调有界的数列必有极限

理由 理由

在某极限过程中有极限的量必界 定理 1( 收敛准则 )

有界. 部分和所成的数列

正项级数收敛  s_n

级数



^ 是否收敛？

₁ 2 1 1

n n

该级数为正项级数 , 又有 _{n n}

2 1 1

2

1 

 (n =1, 2, …)

故 当 n  1 时 , 有





 

 

 ⁿ

k k

n

k k

Sn

1

1 2

1 1

2 1

即其部分和数列 {S_n} 有界 , 从而 , 级数₂ ¹ ₁ ^.

1



^ 收敛

 

n n

解

2 1 1

2 1 1

2 1













 



 



 



n

2 1

1 1 

 _n

例 1

3. 正项级数的比较审敛法：

定理 2 ,

1

1





^





 n n

n un与 v 设有两个正项级数

; ,

), ,

2 , 1 (

) 1 (

1 1

收敛 则

收敛 且

若

 

^











n n

n n

n

n v n v u

u 

. ,

), ,

2 , 1 (

) 2 (

1 1

发散 则

发散 且

若

 

^











n n

n n

n

n v n v u

u 

证 (1) , .

1



 _收敛于 的部分和为

设 _n

n



^ vn



n n



^ un sn  u  u   u

 1 2 

1

的部分和

则  v1  v2  v_n   _n



 



   n n n

nlim s lim

大收则小收 , 小发则大发 .

1  s_n   ,

即u 故s_n有界. .

1



^ 收敛





n un

, )

2 (

1

收敛 反设



^



n un (1) , .

1

与已知矛盾 收敛

可得 由



^



n vn

.

1



^ 发散





n un

注意(1): 比收敛级数还小的级数收敛，

比发散级数还大的级数发散 .

. ,

), 0 ,

( )

2 (

1 1

收敛 则

收敛 且

若

 

^













n n

n n

n

n kv n N k v u

u

. ,

), 0 ,

( )

3 (

1 1

发散 则

发散 且

若

 

^













n n

n n

n

n kv n N k v u

u

正项级数比较法习例

例 11判别级数的敛散性：

).

0 1 (

) 1 4 ( 2 ;

sin )

3 (

1 ) 1

2 ( );

1 (

) 1 1 (

1 1

1 2

1

 

 

























a a n n

n

n n

n n

n n



解 _当 ^{p  1}_时^, 1 1 ,

n^p  n 则p  级数发散. ,

1时

当 p  1 1 ,

1 _{p p}

x n n

x

n    有 





_ ^ _

 _nⁿ _{p n}ⁿ _p

p x

dx n

dx

n ^{1 1}

则 1 1 ]

) 1 (

[ 1 1 1

1

1 

 

 

 _{p p}

n p n

(*) 1 ]

) 1 (

[ 1 _{1 1}

2  





 



_{p p}

n n n

考虑级数

) ] 1 (

1 [ 1

3 ) 1 2

( 1 2 )

1 1

( _{1 1 1 1 1}

 











 _{p p p p p}

n n n

s 

) 1

1 (

1 1 _

 

 _p

n , 1

lim 

  n

n s 从而级数 (*) 收敛 . 故p  级数收敛.

, . 1

, 1 1

1 



 





^

 当 时 发散

收敛 时

级数 当

p p p n

n p

例 11判别级数的敛散性：

). 0 1 (

) 1 4 ( 2 ;

sin )

3 (

1 ) 1

2 ( );

1 (

) 1 1 (

1 1

1 2

1

 

 

























a a n n

n

n n

n n

n n



解 ,

1 1 )

1 (

) 1 1

(  

 n

n

 n

1 , 1



^1

 

n n 发散

而级数 所以原级数发散 . 1 ,

1 ) 1

2

( _{2 2}

n n 

 

1 ,

1 2收敛 而级数



^



n n 所以原级数收敛 .

n

n 2

sin 2 )

3

(  _ 



2 ,

1

收敛 而



^



n n

 所以原级数收敛 .

, 0 1 1

lim 1 ,

1 )

4

(  

 



 n

n a

a 时

当 所以原级数发散 .

, 2 0

1 1

lim 1 ,

1  

 



 n

n a

a 时

当 所以原级数发散 .

1 , 1

, 1

1 _{n n}

a

a a 

 时 

当 1) ,

(

1

收敛 而



^

 n

n

a 所以原级数收敛 . 比较审敛法的不便 : 须有参考级数 .

通常是 p- 级数和几何级数，调和级数 .

4. 比较审敛法的极限形式 : 定理 3.

设



^

1 n

u

n _与



^

1 n

v

n _{都是正项级数} ,如果

则(1) 当 时,两级数有相同的敛散性 ; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛;

(3) 当 时 , 若



^

1 n

v

n _发散,则



^

1 n

u

n _发散;

,

lim l

v u

n n

n 









 l 0

 0 l



l 



^

1 n

vn



^

1 n

un

证

l v

u

n n

n





lim



) 1

( 由 0 ,

2 

 l 对于 

,

 N 当n  N时,

2 2

l l v

u l l

n

n

 





) 2 (

3

2 l v n N

u l v

n n

n

  

即

由比较审敛法的推论 , 得证 . .

, 1 )

2

( 取  可得结论

, lim

) 3

(  



 n n

n v

 u 则u_n  v_n, . ,

1 1

发散 则

发散

若

 

^









n n

n vn u

正项级数比较法的极限形式习例

解

n n n

n 3

3 1 1 lim

) 2

( 



 

n n

n 1

sin 1 lim

) 1

(  

故原级数发散 .

n

n

n

1 3 lim 1





  1

3 , 1

1



^

收敛



n n



^{故原级数收敛 .}

1 ,

1

发散 而



^

 n n

,

 0 ,

0 1 





^un ,



^{vn lim l,}

v u

n n

n 



是两个正项级数 , 

(1) 当 时 ,





 l

0 两个级数同时收敛或发散 ;

特别取 1 ,

n p

v  n _{对正项级数}



^un, _{可得如下结论} ^: ,

1

p 0  l  

lim

_n

n

u l

 n ^p



p 1, 0  l  



^un 发散 (2) 当 且 收敛

时 ,

 0

l



^vn

(3) 当 且 发散 时 ,





l



^vn

也收敛 ;



^un

也发散



^un .



^un 收敛

的敛散性 . 例 13. 判别级

数

 



^





1 2

1 1 ln

n n

解 :



 nlim

 ² 1₂

lim n n

n 

   1

根据比较审敛法的极限形式知



^{1 1}



^.

ln

1 2 又 又



^





n n

) 1

ln( ¹₂

 n _～ ¹₂

n

n2 ^ln



^{1 1}₂



 n