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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

高等数学 A

4.1.3 正项级数及其收敛性 (2)

4.2.1 交错级数及其审敛法 4.2.2 条件收敛与绝对收敛

4.1 4.1 正项级数 正项级数 4.2 4.2 交错级数与任意项级 交错级数与任意项级 数 数

第 第 4 4 章 无穷级数 章 无穷级数

4.1 正项级数 4.2 交错级数与任意项级 数

4.1.3 正项级数及其收敛性

比值法 ( 达朗贝尔 D’Alembert 判别法 ) 根值法 ( 柯西 Cauchy 判别法 )

习例 1

习例 2

4.2.1 交错级数及其审敛法 ^{莱布尼兹 Leibnitz 判别法}

习例 3

4.2.2 条件收敛与绝对收敛

绝对收敛定理 习例 4

绝对收敛与条件收敛定义

判别交错级数的发散性及习例 5 判别一般项级数的发散性

级数收敛的必要条件的应用及习例 6

综合习例

正 项 级 数 交 错 级 数 与 任 意 项 级 数

1. 比值审敛法 ( 达朗贝尔 D’Alembert 判别法 ) ： 定理 1 设



^

1 n

un_{是正项级数,如果}lim^1 ( )



 数或

n n

n u

u

则 (1)

  1

_{时级数收敛;}

(2)

  1

_{时级数发散;}

(3)

  1

_时失效.

证 当为有限数时, 对  0,

,

 N 当n  N时, ^1    ,

n n

u 有 u

) (

1

n N

u u

n

n

  



 

^

  即 

一、正项级数审敛法

, 1 )

1

( 当  时

, 1 )

2

( 当  时

, 1  



取 使r      1,

1,

1 

_m  ^m _N

N r u

u

1

,

2 





_N

N

ru

u u

_N3

 ru

_N2

 r

²

u

_N1

,  ,

,

1

1



^ 1

  

m

N m u

r 收敛

而级数 .

1 1



收敛



^







  



N

n u

m uN m u

,

 1





取

 使 r      1 ,

时,

当n  N

u

_n1

 ru

_n

 u

_n

,

lim  0.



 n

n u 故级数发散 . 1 ,

) 3 (

1



^ 发散

 n n

1 ,

1 2收敛



^

 n n

; 1 1

lim

lim ¹ 

 









 n

n u

u

n n n

但 n

. ) 1

1 lim (

lim ^{1 2} ₂ 

 









 n

n u

u

n n n

但 n

比值法习例

解 ( 1)!

lim ! lim

) 1

( ¹

 









 n

n u

u

n n n

n 0

1 lim 1 

 



 n

n

1

1 .

n n!







由正项级数的比值审敛法知原级数收敛

! 10 10

)!

1 lim (

lim )

2

( ¹ ₁

n n

u

u ⁿ

n n n

n

n  _ 









     



 10 lim n 1

n

1

! .

10ⁿ

n

 n





由正项级数的比值审敛法知原级数发散

,

 1

,

 1

) 2 2

( ) 1 2

(

2 ) 1 2

lim ( lim

) 3

( ¹









 









 n n

n n

u u

n n n

n  1,

比值审敛法失效 , 改用比较审敛法

1 , 2

) 1 2

(

1

n

2

n

n 



 

1 ,

1 2 收敛 而级数



^

 n n

1

1 .

2 (2 1)

n n n



  



由正项级数的比较审敛法知原级数收敛

说明 : 比值审敛法一般适用于级数通项

中含

n ! , n

^

, 

ⁿ

等因子的形式的正项级 数 .

2. 根值审敛法 ( 柯西 Cauchy 判别法 ):

定理 2. _设



^

1 n

u n _{是 正 项 级 数 , 如 果}



 



n n n u

lim (



为数或   )_,

则(1)1_{时级数收敛;} (2)1_{时级数发散;}

(3)1_时失效. ^证 从略 . 注

意(1)当通项含有n!或连乘积时,优先选择比值审敛法. .

, )

2

( 当通项含有n次方时 优先选择根值审敛法 .

, ,

1 )

3 (

极限形式 须用比较法或比较法的

比值法与根值法都失效 时

当 

根值法习例

例 2

2 .

) 1 ( ) 3

4 (

; 1 ) 1

ln(

) 3 (

! ) 3

2 ( )];

1 (

4 1

[ 9

5 1

)]

1 (

3 2

[ 8

5 ) 2

1 (

1

1 2

1 1



























 



















n n

n n

n n

n n

n

n n n

n





判别级数的敛散性：

例 2 判别级数的敛散性：

2 .

) 1 ( ) 3

4 (

; 1 ) 1

ln(

) 3 (

! ) 3

2 ( )];

1 (

4 1

[ 9

5 1

)]

1 (

3 2

[ 8

5 ) 2

1 (

1

1 2

1 1



























 



















n n

n n

n n

n n

n

n n n

n





解 n

n u

u

n n n

n 1 4

3 lim 2

lim )

1

( ¹



 









 

由正项级数的比值审敛法知原级数收敛 .

! 3

) 1 (

)!

1 (

lim 3 lim

) 2

( ₁

1 1

n n n

n u

u

n n n

n n n

n

n 



 ^ _









  ⁿ

n n

n ) ( 1

3

lim 

 

由正项级数的比值审敛法知原级数发散 . , 4 1

3 



, 3  1

 e

, 0 1 1

1 ) 1

ln(

lim lim

) 3 (

2

2  



 





n n v

u

n n n

n

1 ,

1 2 收敛 而级数



^



n n 由正项级数的比较法知原级数收敛 . ) ,

1 ( 3

) 1 ( lim 3

2 lim 1

) 4

( ^{1 n}_n¹ 不存在

n n n

n u

u







  ^









 

故不能用比值法，可用根值法和比较法来判别 . ,

2 1 1 2

) 1 ( lim 3

lim     









n n

n n n

n u 所以原级数收敛 .

2 , 4 2

) 1 ( 3

n n

n 



或  ,

2 4

1

收敛 且



^



n n 所以原级数收敛 .

小结

上述判别正项级数敛散性的四个审敛法，

都是充分条件，如果用其中的某一个审敛 法不能判定所给级数的敛散性，那么就要 改用其它的审敛法以及级数收敛与发散的 定义，收敛的性质、必要条件等去判别，

这需要学生通过练习不断总结各种方法优 劣及适用范围，熟练而灵活地使用它们。

1. 定义 : 正、负项相间的级数称为交错级数 . )

1 ( )

1 (

1 1

1 n

n n n

n

n u



u



^







 

 或 (其中u_n  0)

2. 判别法 ( 定理 3) ：

莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ )u_n  u_n1 (n  1,2,3,)_{;(ⅱ )}lim  0



 n

n u _,

则级数收敛,且其和s  u_1,其余项 r_{n的绝对值}

1

 _n

n u

r _.

二、交错级数及其审敛法

Leibnitz

证

n n

n

n

u u u u u u

s

₂



₁

 (

₂



₃

)    (

_{2 2}



_{2 1}

) 

₂

又

) (

) (

)

(

_{1 2 3 4 2 1 2}

2n

u u u u u

n

u

n

s       

_





u1



,

1

  0

 n

n

u

 u

. lim s

_2n

s u

₁

n

 





, 0 lim

_{2 1}





 n

n

u



2

是单调增加的 , 数列 s

_n

2

是有界的 ,

数列 s

_n

) (

lim

lim

_{2 1 2 2 1}



 





 



_{n n}

n n

n

s s u

_{ s,}

. , s u

₁

s 

 级数收敛于和 且

), (

₁



₂

 





_{n n}

n

u u

余项 r

2 ,

1   

 _{n n}

n u u

r

满足收敛的两个条件 ,  r_n  u_n1.

解 ₂

) 1 (

2

) 1

) ( ( 1





 

  x x x x

 x

^{ 0 (x  2)}

1 单调递减 , 故函数 x 

x

1

,





 u

_n

u

_n

lim 1

lim  









n

u n

n n

又

n

 0 .

原级数收敛 .

交错级数习例

收敛 收敛



  







 ^

n

n 1 )

1 4 (

1 3

1 2

1 1 )

1 ¹



  







 ^

! ) 1

1

! ( 4

1

! 3

1

! 2 1 1

)

2 ¹

n

n

用 Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性 :



  







 ^n n_n

) 10 1 10 (

4 10

3 10

2 10

) 1

3 _{2 3 4} ¹ _收敛

上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 1 ;

) 1



^1



n n ;

! ) 1

2



^1



n n .

) 10 3



^1



n n

发散 收敛 n 收敛

! ) 1 (

1

 n

! 1 n

1 1

 

 n

 n n

u

u ₁

10 

_

1

₁

n

n

n

n

10

ⁿ

n 1 10

1  



1. 定义 :正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 . 即级数中含有无穷多个正项和负项，且排列是任意的 . 定理 4.

绝对收敛定理

证

( ) ( 1 , 2 , ), 2

1   

 u u n v

_{n n n}

令

, 0,

0

0

1

为正项级数 即

显然



^

 





 

n n n

n

n n v

u u v u

n ,

n u v 

且

,

1



^

收敛





n

v

n

), 2

(

1

1





^











n n n

n un v u

又 .

1



^ 收敛





n un

三、条件收敛与绝对收敛

以上定理的作用：

任意项级数 正项级数 定义:若^

1

nun_{收敛,则称}



^

1 n

un为绝对收敛; 若^

1

nun_发散,而^

1

nun_{收敛,则称}^

1

nun_{为条件收敛.}

注意 : (1)若^

1

nun_收敛,则



^

1 n

un收敛;

(2)若



^

1

n

u

n_发散,而



^

1

n

u

n_{不一定发散.}

1 . )

1 (

1 ,

1

1 1

收敛 而

发散

如

 

^



 





n

n

n n n （条件收敛）

绝对收敛定理的作用：

任意项级数 正项级数 例 4 判别级数的敛散性：

sin . )

3 ( );

(

! )

2 (

!; )

1 ( )

1 (

1 2 1

1

1

 



^











 



n n

n

n n

n

n R n

n n

n  

解 ! ,

) 1 (



^1



n nn

考虑加绝对值后的级数 n

) ! 1 (

)!

1 lim (

lim ¹ ₁

n n n

n u

u ⁿ

n n n

n

n  





 

 

 1 1,

1) (

lim  

 



 n e

n _n

n

故原级数绝对收敛 .

! ,

1



^ 收敛





n nn

n

绝对收敛定理应用习例

! , )

2 (



^1

 n

n

n 考虑加绝对值后的级数 

n n

n n n n

n n

u u



 _! )!

1 lim (

lim

1

1  











  0 1,

lim 1  

 



 n

n



故原级数绝对收敛 .

1 , ) sin

3

( _{2 2}

n n

n 

 1 ,

1

2 收敛

而



^

 n n sin ,

1



^ 2





n n

n 收敛 故由定理知原级数绝对收敛 .

! ,

1



^ 收敛





n

n

n



级数 

^





 

1

1

1 ) 1

1 (

n

n

n 是否绝对收敛 ? 解

例 5

1 1

1 ) 1

1

(

¹

 



^



n n

n

由调和级数的发散性可知 , , 1

1

1



^

发散





n

n

故 

^





 

1

1

1 ) 1

1 (

n

n

n ^{发散 .}

1 1

 

n

原级数是一个交错级数 , 且满足：

1 , )

1 (

1 2

1 1

1

1

 

 

 

 

_n

n

u

n n

u n

由莱布尼兹判别法可知 , 该交错级数收敛 . ,

0

lim 



 n

n

u

故原级数是条件收敛 , 不是绝对收敛的 .

4. 判别一般项级数的发散性 :

. ,

1 1

发散 则原级数

发散

若用比值法判定

 

^





 n n

n un u

. ,

1 )

2 (

; ,

1 )

1 (

lim

1 1 1

1

发散 时

当

绝对收敛 时

当 则

满足 即若级数































n n

n n

n n n

n n

u u u

u

u







5. 利用级数收敛的必要条件可证明 : lim  0.



 n

n u

例 6 0 ( 1).

lim !  



 a

n aⁿ 证明n

证 ( 1),

1 !



^ 



n a a

n

考虑级数 n

n n

n n n

n a

n n

a u

u !

)!

1 lim (

lim

1 1

 ^









  0 1,

lim 1  

 



 n a

n

所以该级数收敛 .

).

1 (

! 0

lim  



 a

n aⁿ 从而 n

综合习例

例 8 判别下列级数是绝对收敛 , 条件收敛 , 发散？

1

2 100

(1) ( 1) ( ) ;

3 1

n n

n

n n





 





1

cos 2

(2) 3 ;

2ⁿ

n

n n







 ¹

1

(3) ( 1) ;

2 1

n

n n

 









1 1 10

(4) ( 1) 2 ;

n n

n n

 





 ²²

1

( 1)

(5) ( 1) [1 ].

( 1)

n n

n n





  





例 7 判别级数的敛散性：

1; )

1 ( )

1 (

1



^ 1





 

n

n

n n















^ 



6 2

4 2

2 1

7) (1 5

) 1 7 (1 3

) 1 7 (1 1

) 2 (

n un

例 7 判别级数的敛散性：

1; )

1 ( )

1 (

1



^ 1





 

n

n

n n

解 1 0,

lim 1 lim

) 1

(  

 







 n

u n

n n

n ^{所以原级数发散 .}





^







 



1

2 1 2

] 7)

(1 )

1 2

( [ 1 )

2 (

n

n n n

u n



. 7)

(1 )

1 2

(

1

1

2

1 2与 都收敛

而

 

^





  _n

n

n n















^ 



6 2

4 2

2 1

7) (1 5

) 1 7 (1 3

) 1 7 (1 1

) 2 (

n un

所以原级数收敛 .

1.

 _n

n u

但显然不满足u

例 8 判别下列级数是绝对收敛 , 条件收敛 , 发散

？

解 ) ,

1 3

100 (2



^1

 



n

n

n 考虑 n

n n

n n n

n n

u n )

1 3

100 (2

lim

lim 

 







 3

2 1

3

100

lim 2 



 



 n

n

n  1

故原级数绝对收敛 .

1

2 100

(1) ( 1) ( ) ;

3 1

n n

n

n n





 





1

cos 2

(2) 3 ;

2ⁿ

n

n n









解 考虑

1

cos 2

3 , 2ⁿ

n

n n







 ₂ ³ ₂ ^,

cos 2

_n n_n

n n



 

且 2 ,



^1



n n

对于 n

n n

u

u ⁿ

n n n

n n

2 2

lim 1

lim ¹  _1 









 1,

2 1 



故原级数绝对收敛 .

1

1 ,

2 1

n n



 



此级数发散 . 1 ,

) 1 (

2

1 1

2 1



 

 n

但 n 即u_n  u_n1, ,

1 0 2

lim 1

lim 

 







 u n

n n n

原级数是莱布尼茨型交错级数，故原级数条件收敛 . 解 考虑

1 1

(3) ( 1) ;

2 1

n

n

n

 





 

1 1 10

(4) ( 1) 2 ;

n n

n

n

 



 

解 考虑 10 1

2 ,

n

n

n







n n

n n n n

n u n

u

) 2 1 (

lim 2 lim

10 10

1 1



 

^











 2  1 ,

故原级数发散 .

2 1 2

( 1)

(5) ( 1) [1 ].

( 1)

n n

n n





  

 

解 ²

1

4 ,

( 1)

n

n n



 



_{此级数发散 .}

1,

 _n n u

易得u 0, )

1 (

lim 4

lim ₂ 

 







 n

u n

n n n

故原级数条件收敛 . 考虑

1. 利用正项级数审敛法 必要条件 lim  0



 n

n u

不满足 发 散 满足

比值审敛法 lim

n

1

un

un 



根值审敛法 







n n nlim u

1



收 敛

1



不定

比较审敛法

用它法判别 







积分判别法 部分和极限

 1



内容小结

发 散

2. 利用绝对收敛定理和莱布尼兹判别法讨论任 意项级数的绝对收敛与条件收敛

.

, ,

,

, ,

是条件收敛

则知它 若收敛

断它是否收敛 再用莱布尼兹审敛法判

否则

判断它是否绝对收敛 先用正项级数的审敛法

对任意项级数

此次课内容较多，数项级数敛散性判别法的 重点，难点全在这部分，要求学生必须熟记如 下定理：比较审敛法、比较审敛法的极限形式

、比值审敛法和柯西判别法（这些定理只适合 于正项级数）；莱布尼兹判别法（适当于交错 级数）；任意项级数的绝对收敛和条件收敛，

这些判别法在运用过程中不能混用，学生可以 通过练习熟练掌握其中的知识技巧。