第四节 函数展开成幂级数

第四节

两类问题 : 在收敛域内

和函数 S(x)

n n



^ anx

0

幂级数 ^{求 和} 展 开

本节内容 :

一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数

函数展开成幂级数

第十二章

一、泰勒 ( Taylor ) 级数

其中 R_n (x)  ₍  _在 x 与 x₀ 之 间 )

称为拉格朗日余项 .

0 1 )

1 (

)

! ( ) 1 (

)

( _

 



n n

x n x

f 

则在 复习 : f (x) 的 n 阶泰勒公

式



 ( ) )

(x f x₀

f f (x₀)(x  x₀)  ⁰ ( ₀)²

! 2

)

(x x x f  

n n

x n x

x

f ( )

!

) (

0 0 )

( 



  R_n (x)

若函数 f (x)在 x_{0的某邻域内具有 n + 1 阶导数 ,} 该邻域内有 :

 ) (x₀

f f (x₀)(x  x₀ )  ⁰ ( ₀)²

! 2

)

(x x x f  



  

 ⁿ x x ⁿ

n x

f ( )

!

) (

0 0 )

(

为 f (x) 的泰勒级数 .

则称

当 x₀ = 0 时 , 泰勒级数又称为麦克劳林级数

.

1) 对此级数 , 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x)

?

待解决的问题 :

若函数 f (x)在 x₀的某邻域内具有任意阶导数 ,

定理 1 . 各阶导数 ,

) (x₀ U

则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充

条件是 f (x) 要的泰勒公式余项满足 :lim ( )  0.



 R_n x

n

证明 : ( ) ,

!

) ) (

( ₀

0

) 0

( n

n

n

x n x

x x f

f 



^ 



令

) ( )

( )

(x S ₁ x R x f  _n  _n

 

 ( )

lim R_n x

n ^lim



^{f (x) S}_{n 1}^(x)



n    0 , x U (x₀)

n k k

k

n x x

k x x f

S ( )

!

) ) (

( ₀

0

) 0 (

1 





 

) (x₀ U

x 

设函数 f (x) 在点 x₀ 的某一邻域 内具有

定理 2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级 数 ,

唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同 . 证 : 设 f (x) 所展成的幂级数

为 f (x)  a₀  a₁x  a₂x²  a_nxⁿ , x (R, R) 则

; 2

)

(  ₁  ₂  ¹ 

 x a a x na_nx^n

f a₁  f (0)

; )

1 (

! 2 )

(  ₂   ² 

 x a n n a_nx^n

f a₂  ₂¹_! f (0)



 

;

! )

) (

(ⁿ x  n a_n 

f a_n  _n¹_! f ⁽ⁿ⁾(0)



 

显然结论成立 .

) 0

0 f ( a 

则这种展开式是

二、函数展开成幂级数

1. 直接展开法

由泰勒级数理论可知 , 函数 f (x) 展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值

;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;

第三步 判别在收敛区间 ( － R, R) 内lim R_n (x)

n 是否为

骤如下 :

展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式

间接展开法 — 利用已知其级数展开式

0.

的函数展开

例 1. 将函数f (x)  e^x _{展开成 x 的幂级数 .} 解 :  f ⁽ⁿ⁾(x)  e^x, f ⁽ⁿ⁾(0) 1 (n  0,1,),

1

其收敛半径为  

对任何有限数 x , 其余项满足

 ) (x

R_n e^

! ) 1 (n 

1

xn  e ^x

! ) 1 (

1





n x ⁿ

故 ,

! 1

! 3

1

! 2 1 1

e^x    ²  ³  xⁿ  x n

x x



 

R nlim _n¹_!

! ) 1 (

1

 n





n 0

) ,

( 

 x ( _在 0 与 x 之

间 )

 x ²

! 2

1 x

 ³

! 3

1 x

  xⁿ  n!

1 ^故得级数

例 2. 将f (x)  sin x _{展开成 x 的幂级数 .} 解 :  f ⁽ⁿ⁾ (x) 



 

 f ⁽ⁿ⁾(0) 得级数 : x

) sin(x  n  ₂^π

其收敛半径为 R  , _{对任何有限数} x , 其余项满 足

) (x 

R_n ^{sin( ( 1) 2)}

 π

 n



! ) 1 (n 

1

xn

! ) 1 (

1

 



n x ⁿ 1

2 

 k

n (k  0,1, 2,)

3

! 31 x

  ₅¹_! x⁵  (1)^n1 _(2n¹_1)!x^2n1 

) ,

(  

 x x

 sin





n 0

k n  2 ,

) 1 ( ^k

, 0



  







 x ₃¹_! x³ ₅¹_!x⁵ ( 1)^n1 _(2n¹_1)! x^2n1



  







 ^n x ⁿ

x n x

x ^{2 4 1 2}

! ) 2 ( ) 1

1

! ( 4

1

! 2 1 1

cos

对上式两边求导可推出 :

) ,

(  

 x

) ,

(  

 x



 

 









 ^{3 5 1 2 1}

! ) 1 2

( ) 1

1

! ( 5

1

! 3

sin 1 ⁿ x ⁿ

x n x

x x

例 3. 将函数f (x)  (1 x)^m 展开成 x 的幂级数 , 其 中 m

为任意常数 .

解 : 易求出 f (0)  1, f (0)  m, f (0)  m(m 1) ,



( 1) , )

2 )(

1 (

) 0

)(

(  m m  m  m  n 

f ⁿ

于是得 级数 1 mx   ₂ 

! 2

) 1

(m x

m

由于

1

lim 



n n

n a

R a

n m

n

n 

 





lim 1  1

   

  xⁿ

n

n m

m m

!

) 1 (

) 1 (

级数在开区间 ( － 1, 1) 内收 敛 .

因此对任意常数 m,

1 1

, )

(x   x  F



 ₂

! 2

) 1

(m x

m

   

  xⁿ

n

n m

m m

!

) 1 (

) 1 (



_ ^{ }_









 

 



  ^1

! ) 1 (

) 1 (

) 1 (

1 1 1

)

( xⁿ

n

n m

x m m m

x F





 m x x

F( ) 1

) ( )

1

(  x F x  mF(x),

x m

x

F( )  (1 )





₀^{x F}_F^₍⁽_x^x₎^{) d x } ₀^x_1^m_x ^{d x}

) 1

ln(

) 0 ( ln

) (

ln F x  F  m  x

1 )

0 ( 

F _推导

则

为避免研究余项 , 设此级数的和函数为



 ₂

! 2

) 1

(m x

m

   

  xⁿ

n

n m

m m

!

) 1 (

) 1 (







 x)^m 1 m x 1

(

) 1 1

(   x  称为二项展开式 .

说明：

(1) 在 x ＝ ±1 处的收敛性与 m 有关 .

(2) 当 m 为正整数时 , 级数为 x 的 m 次多项式 , 上式

就是代数学中的二项式定理 . 由此得



 ₂

! 2

) 1

(m x

m     

 xⁿ

n

n m

m m

!

) 1 (

) 1

 (





 x)^m 1 m x 1

(

) 1 1

(  x 

对应 m  ¹₂ ,  ¹₂ ,1 _{的二项展开式分别为} x

x 2

1 1

1   ²

4 2

1 x

  ³

6 4 2

3

1 x





 

) 1 1

(   x 











  ⁴

8 6 4 2

5 3

1 x

1 1

1 

 x

2

4 2

3

1 x



  ³

6 4 2

5 3

1 x







 

) 1 1

(   x 













  ⁴

8 6 4 2

7 5 3

1 x

2 x

 1

1 1

1 

 x

x2

  x³

) 1 1

(   x 



  

 ( 1)ⁿ xⁿ

 x

) 1 1

( 1 1

1    ₂      

 x x x x

x

n 



2. 间接展开法

1 2

1

 x

 x  1

1

利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质 ,

例 4. 将函数 展开成 x 的幂级数 解 : 因为 .



  





 x x ( 1)ⁿ xⁿ

1 ² ( 1  x  1)

把 x 换成x²

 ²  1

1

x 1 x²  x⁴  (1)ⁿ x²ⁿ 

) 1 1

(   x  , 得

将所给函数展开成 幂级数 .

例 5. 将函数f (x)  ln(1 x) _{展开成 x 的幂级数} 解 : .

x x

f    1 ) 1

( ( 1) ( 1 1 )

0













^



x xⁿ

n

n

从 0 到 x 积分 ,

得 x x x

x n n

n d

) 1 ( )

1 ln(

0 0





^







 ,

1 ) 1 (

0



^ 1







 

n

n n

n x

定义且连续 , 域为 1  x  1.

利用此题可得



 

 











 1

) 1 1 4 (

1 3

1 2

1 1 2

ln n

n

1 1 

^{1 } x^{ 1}

 x 上式右端的幂级数在 x ＝ 1 收敛

, 而 ln(1 x) 在 x 1有

所以展开式对 x ＝ 1 也是成立 的 ,

于是收敛

例 6. 将sin x _展成 x  ₄^π

解 : ^{sin x  sin}



₄^{π  (x } ₄^π)



) sin(

cos )

cos(

sin ₄^π  ₄^π  ₄^π  ₄^π

 x x



^cos( ₄^{π) sin( π}₄⁾



2

1   

 x x



 12 







       

 ² )³ 

4 ( π

! 3 ) 1

4 ( π

! 2 ) 1

4 ( π

2 1

1 x x x

) (    x  

的幂级数 .

)2

4 ( π

! 2

1 

 x   )⁴  4

( π

! 4

1 x 

 1 



  ) _^

4

(x  π )³

4 ( π

! 3

1 

 x   )⁵  4

( π

! 5

1 x 





例 7. 将

3 4

1

2  x 

x ^{展成 x － 1 的幂级数 .}

解 :

) 3 )(

1 (

1 3

4 1

2   



 x x x

x 2(3 )

1 )

1 ( 2

1

x

x  

 



¹



4

1

 

21 x





 4

1

2

1

 x



 ₂ ² 2

) 1 (x



 

 ⁿ x _n ⁿ 2

) 1 ) (

1 (





 8

1 1

4

1

 x



 ₂ ² 4

) 1 (x



 

 ⁿ x _n ⁿ 4

) 1 ) (

1 (



_{n n}



ⁿ

n

n (x 1)

2 1 2

) 1 1

( _{2 2 3}

0







 ^ _{ }



 ^{( 1 x  3 )}

2^1 1

x



¹



8

1

 

41 x

1

4^1 1

x 1 2) ( x  

内容小结

1. 函数的幂级数展开法

(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;

(2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展 开

2. 常用函数的幂级数展开式 ex

 1 x (,  )

) 1

(

ln  x

  x

] 1 ,

1 ( 

 x

 x ²

! 2

1 x

 ,

!

1 

 

 xⁿ

n

2

2 1x

 ³

3 1 x

  ⁴  4

1 x ¹

1 ) 1

( _



  ⁿ xⁿ

n 

式的函数 .



 

 ^

! ) 1 2

) ( 1 (

1 2

n x ⁿ x n

 sin  x

! 3 x3

 5! x5

  

! 7 x7

x

 cos  1

! 2 x2

 4! x4

  

! 6 x6





 ( 1) (2 )!

2

n x ⁿ

n

x)m

1 ( 

 1 mx ²

! 2

) 1

(m x

m 

 

   

  xⁿ

n

n m

m m

!

) 1 (

) 1 (

当 m = –1 时

 x 1

1 1 x  x²  x³  (1)ⁿ xⁿ ,

) ,

(  

 x

) ,

(  

 x

) 1 , (1

 x

) 1 , (1

 x

思考与练习

1. 函数f (x)在 x₀ 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级 数” 有何不同 ?

提示 : 后者必需证明lim ( )  0,



 R_n x

n 前者无此要求 . 2. 如何求y  sin² x_的幂级数 ?

提示 : y cos2x 2

1 2

1 





^









0 (2 )!

) 1 1 2 (

1 2

1

n

n

n

! , ) 2 ( ) 4 1 2 (

1 ₂

1

n n

n n x



^ n







 x (,  )

x)²n

2 (

作业

P283 2

(2) , (3) , (5) , (6)

;

3

⁽²⁾

; 4 ; 6

备用题

¹

. 将下列函数展开成 x 的幂级数 x

x x

f 

 

1 arctan1 )

( 解 : f (x)  ₂

1 1

 x ( 1) ,

0



^ 2







n

n

n x x (1,1)





 f (x) f (0)



^







0 0

2 d )

1 (

n

x n

n x x



^







 

0

1 2

1 2

) 1 (

n

n n

n x

x  1 时 , 此级数条件收敛 , ,

4 ) π

0 (  f

1 , 2

) 1 ( 4

) π (

0

1



^ 2







 



n

n n

n x x

f x [1,1]

因此

) 1

(

ln  x

  x

] 1 ,

1 ( 

 x

2

2 1 x

 ³

3 1 x

 ⁴

4 1 x

  



 

 ^1

1 ) 1

( ⁿ _n

n x

2. 将 在 x = 0 处展为幂级数

. ) 3

2 ln(

)

(x x x²

f   

解 : f (x)  ln(1 x)  ln 2  ln(1 ₂³ x)



 ) 1

ln( x 2 (1 3)(2² 3 )

x x x

x 

 



^





1 n

n

n

x (1 x 1)

) 1

ln(  ₂³ x _n ⁿ

n

n x

) (₂³

) 1 ( 1

1

 





 ( ₃²  x  ₃²)

n n

n

n [1 ( ) ]x 2 1

ln ₂³

1











^



) ( ₃²  x  ₃² 因此 f (x)  ln 2



^





1 n

n

n

x _n

n

n x

n) ( ) 1

(

23 1



^ 1



 

