PDF 《数值分析》17

《数值分析》17

主要内容： 函数逼近与希尔伯特矩阵 切比雪夫多项式

勒让德多项式

正交多项式的应用

函数逼近与希尔伯特矩阵

问题. 求二次多项式

P(x)= a₀ + a₁x + a₂x²

使

min )]

sin(

) (

1

[

0

2



 ^{P x}  ^{ x dx}

0 0.5 1

0 1

连续函数的最佳平方逼近

已知

f(x)∈C[0, 1],

求多项式

P(x) = a₀ + a₁x + a₂ x² + …… + a_n x ⁿ

使得 ^L  

₀¹

[ ^P ( ^x )  ^f ( ^x )]

²

^dx  min

 





 ¹

0

2 1 0

0, , , ) [ ( ])

(a a a a x f x dx

L ⁿ

j

j j

 n

令

  

 

^{ }

 ⁿ a_j x ^j dx ⁿ a_j x ^j f x dx f x dx L ¹[ ]² 2 ¹ ( ) ¹[ ( )]²

函数逼近与希尔伯特矩阵

  ^ 

 





 1

0 0

1

0

2 ( )

2 a x dx x f x dx

a

L

ⁿ _k

j

k j j

k

 

 





 

 







 

 





 

 





 

 





 

 













n

n

b

b b

a a a

n n

n n





















1 0 1

0

) 1 2

/(

1 )

1 /(

1

) 2 /(

1 3

/ 1 2

/ 1

) 1 /(

1 2

/ 1 1

Hilbert

0

 

 a

k

令 L ^{记 b}

^k

^ 

₀¹

^x

^k

^{f ( x ) dx}

函数逼近与希尔伯特矩阵

定义 6.3 ^设 f(x), g(x)

^∈

C[a, b], ρ(x) ^是区间 [a,b] ^上的

权函数

,

若等式

0 )

( ) ( ) ( )

,

( ^{f g}  

_a^b

^{ x f x g x dx} 

成立

,

则称 f(x), g(x) ^在 [a, b] ^上带权 ρ(x) ^正交 .

当 ρ(x)=1 ^时

^,

^简称正交 。

例1 验证 

₀

(x)=1, 

₁

(x)=x ^在 [ –1, 1] ^上正交 ,

并求二次多项式 

₂

(x) ^使之与 

₀

(x), 

₁

(x) ^正交

0 1

) ( )

(

¹₁

1

1 0 1

   





 x  x dx



xdx

解 :

函数逼近与希尔伯特矩阵

设



₂

(x) = x

²

+ a

₂₁

x + a

₂₂

0 )

(

1 1

1  2 







x dx ¹ _{( ) 0}

1 2 



 x



x dx

3 ) 1

( ²

2 x  x 

 所以 ,

0 )

1 (

1 2  21  22 



 x a x a dx



¹₁ x(x²  a₂₁x  a₂₂ )dx  0

a

₂₂

= - 1/3 a

₂₁

=0

2/3+2a

₂₂

= 0

2a

₂₁

/3=0

切比雪夫多项式

由 cos(n+1)  =2 cos  cos(n  ) – cos(n-1)  得 T

_n+1

(x) = 2 x T

_n

(x) – T

_n-1

(x) (n

^≥

1)

所以 , T

₀

(x)=1, T

₁

(x)=x, T

₂

(x)=2x

²

– 1 , ···

1. ^递推公式

切比雪夫多项式 :

^T

₀

^{(x)=1, T}

₁

^{(x)= cos  = x, T}

₂

^{(x)=cos2  ···}

T

_n

(x)=cos(n  ),···

切比雪夫多项式

0 )

cos(

)

0

cos( 



^

^{m  n  d }

0 cos

cos

) ( )

1 ( ) 1

, (

0 1

1 2





 









_m  _n  _d 

dx x

T x x T

T

T

_{m n m n}

所以,切比雪夫多项式在 [– 1 , 1] ^上带权

₂

^正交

1 ) 1

( x x

 



2. 切比雪夫多项式的正交性

勒让德多项式

勒让德 (Legendre) ^多项式

] ) 1

! [(

2 ) 1

(

_n ⁿ_n ^{2 n}

n

x

dx d x n

P   (n

^≥

1)

2. 正交性



 



 







 m n

n

n m

dx x

P x

P

_{m n}

1 , 2

2 , ) 0

( )

1

(

1

1. 表达式 P

₀

(x) = 1, P

₁

(x) = x

勒让德多项式

3. ^递推式



 



 



 







1 1

1 0

1 1

1 2

1

n n

n

p

n xp n

n p n

x p

p

, ,

) (

)

( 3 1

2

1 2

2 x  x 

p

p ( x ) ( 5 x 3 x )

2

1

₃

3

 

4. ^零点分布

P

_n

(x) ^的 n ^个零点

,

落入区间 [ –1, 1] ^中 P

₂

(x) ^{的两个零点} :

P

₃

(x) ^{的三个零点} :

3

1   1

x 3

2  1 x

1   3

x x₂  0 3

3  x

正交多项式的应用

用正交多项式作最佳平方逼近

0 )

( )

( )

,

(^{Pk Pj} 



_a^{b Pk x Pj x dx} 

(

^{k ≠} j , k, j = 0,1,···, n

)

求 P(x) = a

₀

P

₀

(x) + a

₁

P

₁

(x) + ··· + a

_n

P

_n

(x)

min )]

( )

(

[ 

²



 

_a^b

^{P x f x dx}

L

使

  ^



^b

a

n

j j

n

a P x f x dx

a a

a

L (

₀

,

₁

,  , ) [ ( ) ( )]

²

设 P

₀

(x), P

₁

(x), ···,P

_n

(x) ^为区间

[a , b]

上的正交

多项式

,

即

正交多项式的应用

) ,

(

) ,

(

k k

k

P

k

P

f

a  P (k = 0, 1, 2, ···, n )

dx x

f x

P a x

a P

L

ⁿ

j j j

b

a k

k

 





 



0

)]

( )

( [)

( 2

0

 

 a

k

令 L ^记

^{(Pk , f ) =}



_a^b

^P

^k

^{( x ) f ( x ) dx}

) (

, 0 )

( )

( )

,

(P P ^b P x P x dx k j

a k j

j

k 



 

由于

则有 ( P

_k

, P

_k

) a

_k

 ( P

_k

, f )





^{n k}

P

_k

x P

P

f x P

P ( )

) ,

(

) ,

) (

f(x) ^{的平方逼近} (

正交多项式的应用

构造区间

[0，1]

上的正交多项式

P₀(x)= 1，P₁(x)= x – 1/2，P₂(x)= x² – x + 1/6

例 求二次多项式

P(x)= a₀ + a₁x + a₂x²

使

min )]

sin(

) (

1

[

0

2



 ^{P x}  ^{ x dx}

) ) (

, (

)) sin(

, ) (

) ( ,

(

)) sin(

, ( )

, (

)) sin(

, ) (

sin( ₂

2 2

1 2 1

1 1 0

0

0 P x

P P

x x P

P P P

x P

P P

x

x P   

   

1 / 2 )

, (

)) sin(

, (

0 0

0  

P  P

x P

12 / 1

0 )

, (

)) sin(

. (

1 1

1 

P P

x

P 

3 / ) 12 )) (

sin(

.

(P₂ x   ²   ³

正交多项式的应用

最佳平方逼近 : ₎

6 ( 1

1225 .

2 4 )

sin( x   x

²

 x 

 

0 0.5 1

0 1

6 ) ( 1

1225 .

2 4 )

( x   x

²

 x 

P 

) sin(

)

( x x

f  

正交多项式的应用

syms x

P1=inline('x-.5');

P2=inline('x^2-x+1/6');

c0=int(sin(pi*x),0,1);

c1=int(P1(x)*sin(pi*x),0,1)/int(P1(x)*P1(x),0,1);

c2=int(P2(x)*sin(pi*x),0,1)/int(P2(x)*P2(x),0,1) numeric([c0,c1,c2])

ans = 0.6366 0 -4.1225 P=inline('0.6366-4.1225*(x.^2-x+1/6)')

t=0:.1:1;y=sin(pi*t);pp=P(t);plot(t,y,t,pp,'o')

MATLAB

符号命令求解

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勒让德多项式

正交多项式的应用