1.4 极限的运算法则

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第1章 函数与极限

高等数学A

1.4 极限的运算法则

1.4.1 极限的四则运算法则 1.4.2 复合函数的极限运算法则

1.4 极限的运算法则

函数极限计算举例

1.4.1 极限的四则运算法则

极 限的 运 算法 则

多项式函数(代入法) 习例1

有理分式

其它习例6-11 函数极限的四则运算

数列极限的四则运算

1.4.2 复合函数的极限运算法则

习例2-5

代入法

0 0





极限计算反问题

定理1 若lim f (x)  A, lim g(x)  B,则

B A

x g x

f x

g x

f ( )  ( )]  lim ( )  lim ( )   lim[

) 1 (

B A

x g x

f x

g x

f ( ) ( )]  lim ( )lim ( )   lim[

) 2 (

) 0 (

) (

lim

) ( lim )

( ) lim (

) 3

(   B 

B A x

g x f x

g x f

1.函数极限的四则运算法则

一、极限的四则运算法则

. ,

, ,

, ,

lim"

" 表示 _{0 0 0} 都成立

以下定理中 x  x x  x^ x  x^ x  x  x  

注意:

(1)代数和与乘积运算可推广到有限个函数的情形. ),

( lim )

( lim )

2

( cf x  c f x lim[ f (x)]ⁿ  [lim f (x)]ⁿ. (3)数列极限有类似的四则运算.

2 , )

( ,

0 ,

0 _{0 1}

1

 

      

 当 x x 时 有 f x A

2 , )

( ,

0 ,

0 _{0 2}

2

 

      

 当 x x 时 有 g x B

}, ,

min{₁ ₂

 

取 当0  x  x₀   时, 2 . ) 2

( )]

( )

(

[ _{   }  _  _ 

B A

x g x

f

. )]

( )

( [ lim

0

B A

x g x

f

x x







 

不失一般性，考虑极限过程 , ^{x  x}₀ 进行证明 . 证明:

] )

( [ ] )

( [ )

( )]

( )

(

[ f x  g x  A B  f x  A  g x  B



B x

g A

x

f   

 ( ) ( )

,

 0

 ^{f x A g x B}

x x x

x  



 ( ) , lim ( ) lim

0 0



B A

x g x

f

x x





 [ ( ) ( )]

lim )

1 (

0

B A x

g x

x f

x  

 [ ( ) ( )]

lim )

2 (

0

证明:

AB x

Bf x

Bf x

g x f AB

x g x

f ( ) ( )   ( ) ( )  ( )  ( ) 



A x

f B B

x g x

f   

 ( ) ( ) ( )

,

 0

 ^{f x A g x B}

x x x

x  



 ( ) , lim ( ) lim

0 0



2 , )

( ,

0 ,

0 _{0 1}

1 x x  f x A B

      

 当 时 有

2 ,

又对于 A ,

2 ) 3

( 2 ,

) ( ,

2 0 A f x A

A x

f   



 有 即

3 , )

( ,

0 ,

0 _{0 3}

3 x x  g x B A

      

 当 时 有

}, ,

,

min{₁ ₂ ₃

 

取 当0  x  x₀   时, 2 . 3

2 ) 3

( )

( _{  }  _{ }  _ 

B B A

AB A x

g x f

B A x

g x f

x x





 lim [ ( ) ( )]

0

) 0 ( )

( lim

) ( lim )

( ) lim (

) 3 (

0 0 0











 B

B A x

g x f x

g x f

x x

x x x

x

) (

) ( )

( )

( ) (

x Bg

x Ag x

Bf B

A x

g x

f   

 ( )

] )

( [ ]

) ( [

x g B

B x

g A A

x f

B   



) (

) ( )

( ) (

x g B

B x

g A x

g

A x

f 

 



证明:

因 ，对于正数 ， 使得当 时，  

0

lim 0

x x g x B

  

2 B

1 0



  ⁰  ^{x x}₀ ₁

有 ,所以 . 即得  

2

g x  B B      

2 g x  g x   B B B  g x  B B

 0

  分两种情况:

若 ,则 ， A0  

0

lim 0

x x f x A

   使得当 时,有  2 0

0 2

0  x x 

B x

g

2 )

(

1 

    ⁰  

2 f x  A f x   f x  B 

 1 2

min ,

   

取 , 则当 时，有 ⁰  ^{x x}₀ 

    

   

  ²

0 2

B

f x A f x f x

g x  B  g x   g x  B    由定义知  

 

0

lim 0

x x

f x A

g x B

  

若 ,因 ， A 0   使得当 时,有

0

xlimx f x A

   ₃ 0 ^{0 x x0 3}

  4 f x  A B 

因 ，   使得当 时,有

0

xlimx g x B

  _{ 4 0} 0  x x₀ ₄

  ²

4 g x B B

A 

 

取 , 则当 时，有   min  1, 3, 4 ⁰  ^{x x}₀ 

  

f x A

g x  B    

 

B f x A A g x B Bg x

  



1 2 2

4 4

B B

B A

B B ^  A  ^ 

       

 

 

所以

 

 

0

xlimx

f x A g x B

  _证毕。

2.数列极限的四则运算法则

定理2 设

lim

_n

, lim

_n ，则

n

x a

n

y b









 

lim _{n n} lim _n lim _n=

n x y n x n y a b

      

 

lim _{n n} lim _n lim _n=

n x y n x n y a b

      

 

lim _{n n} lim _n lim _n =

n x y n x n y a b

      

当 yn  ⁰n ^{1, 2,} ，且 b  0 时， lim ⁿ

n n

x a

y b

 

定理 3 (复合函数的极限运算法则)

注意:

复合函数的极限运算法则（证明参见教材）

二、复合函数的极限运算法则

, )

( lim

), ( )

1 (

₀

0

u x

g x

g u

x x



 

设

, )

( lim

), ( )

2 (

0

A u

f u

f y

u

u 

 

, ,

) 3

( 当 x  x₀时 u  u₀

).

( lim

)]

( [ lim

0 0

u f A

x g f

u u x

x   

则

. )

( lim )]

( [ lim :

0 0

) (

A u

f x

g

f u u

x g u x

x  







令

应用过程为

把   ₀换成 或 ，

0

lim g x u

x

x 

   

 g x

x

xlim₀  ^{ }



 g x limx

而把 f  u A 换成 ,可得类似的定理 .

u

u 

 ₀

lim ^f  ^{u A}

u 



lim

1.多项式函数极限的计算

三、函数极限计算举例

常用结论 (1) limC  C, (2) lim ₀,

0

x x

x x

  ,

1 0 lim )

3

( 



 x

x (4) lim  0 (  1).



 qⁿ q

n

).

( lim

, )

( .

1

0

1 - 1

1

0x a x a x a P x

a x

P

x n x

n n

n



   



 求

设

例 

解: _n

x x n

x x n

x x x

x P x a x a x a

0 0

0 0

lim lim

lim )

(

lim _{0 1} ¹









   

n n

x x n

x x

a x

a x

a   



 



 



 



  ^



 

1 1

0

0 0

lim lim

n n

n a x a

x

a   

 _{0 0 1 0}^1  )

(x₀

 P

例如计算：   、 等。

lim 21 1

x x

  lim( ² 3 5)

2  

 x x

x

). (

) lim (

, )

( ), (

. 2

0 Q x

x x P

Q x

P

x x

求 为多项式函数

设 例

2.有理分式函数极限的计算

1 . lim

. 3

2

1 









 x

n x

x

x ⁿ

x

计算  例

1).

3 1

( 1 lim .

4 1  3 



 x x

x

计算 例

1 . 2

lim 1 .

5 ₂

2









 x

x x

x

计算 例

). (

) lim (

, )

( ), (

. 2

0 Q x

x x P

Q x

P

x x

求 为多项式函数

设 例

解: lim ( ) ( ₀), lim ( ) ( ₀),

0 0

x Q x

Q x

P x

P

x x x

x



 

 

, 0 )

(x₀  若Q

, 0 )

( )

(x₀  Q x₀ 

若P 则把P(x),Q(x)分解因式约去

公因式后再处理. ,

0 )

( , 0 )

( _{0 0} 时

若Q x  P x  . )

( ) lim (

0



 Q x  x P

x x

则

); (

) (

) ( lim

) ( lim

) (

) lim (

0 0

0 0

0 Q x

x P x

Q x P x

Q x P

x x

x x

x

x  





则 

例3. 计算 . lim 1

2

1 









 x

n x

x

x ⁿ

x



解:

lim 1

2

1 









 x

n x

x

x ⁿ

x



1

) 1 (

) 1 (

) 1 lim (

2

1 











 

 x

x x

x ⁿ

x



)]

1 (

) 1 (

) 1 (

1 [

lim ^{2 1 2}

1          

 ^{ }

  ^{n n} 

x

x x

x x

x

n n  









 1 2 3  ( 1) 2 .

) 1 ( 

 n n

0 )

( 0 型

例4. 计算 ).

1 3 1

( 1

lim1  3 



 x x

x

解: )

1 3 1

( 1

lim1  3 



 x x

x

1

3 lim ₃ 1

2

1 





 

 x

x x

x

) 1 )(

1 (

) 2 )(

1

lim ( ₂

1   



 

 x x x

x x

x

. 1 1

lim ₂ 2

1 





 

 x x x

x

1 . 2

lim 1 .

5 ₂

2









 x

x x

x

计算 例

解: 1 0,

lim 



 n

x x

 2 1

lim ₂ 1

2





 



 x

x x

x

2 2

2 1

1 1 1

lim

x x x

x 



 



 2

 1

同样地,

2 lim _{3 2}2

2









 x x

x x

x

2 . lim ₂ 2

2

3  









 x x

x x

x

3 2

2 1 1

2 1

lim

x x x x

x  



  0,

1 0 



)

( 型





一般地，当a₀  0,b₀  0,m和n为非负整数时有

 

















 n

n n

m m

m

x b x b x b

a x

a x

a





1 1

0

1 1

lim 0













 ,  ,

0

0 n m

b

a 当

,

,

0 当n  m

.

, n  m

 当

当 x 以自然数变化时也有同样的结论!

方法: (1)以分子分母中自变量的最高次幂除分子、分母，

然后再求极限.

(2)或者直接用结论.

. lim

10. _{x x}

x x

n n n

n n







 

计算  例

4. lim 2

.

6 ₂

2 



 x

x

x

计算 例

3.其它函数极限计算习例6-11

3 . 2 lim 1

.

7 3 





 x

x

x

计算 例

1. lim 1

8. 4

3

1 



 x

x

x

计算

例 ^{9. lim} ^.



 



   



 x x x x

x

计算 例

2 , 5 1

2 5 1

5 1

11.

1 1



















 







  



 n

n

Fn

已知 例

2 . 1 lim 5

1

 

 

 n n

n F

证明 F

4 . lim 2

.

6

₂

2







x

x

x

计算 例

解: , 4 2

2 

  x u x

令

4 , 1 2

lim 1 4

lim 2

2 2 2

 

 





 x x

x

x x



2. lim 1

4

1 







u

u

原式

2. 1 4

1 2

lim 1 4

lim 2

2 2 2



 

 





 x x

x

x x

或者

3 . 2 lim 1

. 7

3 





 x

x

x

计算 例

解: _x^lim_3 ¹_x^_^x₃^{ 2 } _x^lim_{3(x }⁽₃¹₎₍^{ x}₁^_⁴_x⁾_{ 2)}

4. 1 2

1 lim 1

3 



 

 x

x

1. lim 1

8. ₄

3

1 



 x x

x

计算 例

解:

12

1 lim ₄ 1

3 1

t x

x x

x ^

 





1 lim ₃ 1

4

1 



 t t

t

1 ) 1 )(

1 lim( ₂

2

1  



 

 t t t t

t

3 .

 4

 

^.

lim

9. x x x x

x





  计算 

例

解: ^lim



^{x x x x}



^.

x   





x x

x x

x x

x   

 



lim

1 1 1 1

1 1 lim







 





x x

x

x

x .

2

 1

. lim

10. _{x x}

x x

n n n

n n







 

计算  例

解:

1 lim 1

lim 2

2



 







 





 x

x x n

x

x x

n n

n n

n

n n

















0

1 , 1

1 1 lim

2

2 







 x

n n

x x n









0

,

1 x 

0

1, lim ₂ 1

2 







 x

n n

x x n

0

,

1 

 x

0

,

0 x  0, x  0

2 , 5 1

2 5 1

5 1

11.

1 1











 



 



  



 



  



 n

n

Fn

已知 例

2 . 1 lim 5

1

 

 

 n n

n F

证明 F

证明: _{2 2}

1 1

1

2 5 1

2 5 1

2 5 1

2 5 1

lim

lim _{ }







 



 



 



  



 



 



 



  



 



 

 _{n n}

n n

n n n

n F

 F

, 2

5 1

5 1

5 1

2 5 1

5 1

5 1 1

lim ₁

1



 



 



 







 



 



 



 







 

 _





 n

n

n

, 5 1

1

5

1 

 而 

2 . 1 5

5 1

lim 2

1

 

 



 

 n n

n F

F

2 2 2

12. lim 2, , .

2

x

x ax b x x a b



 

  

例 若 求

2

1 1

lim ( ) , ( ) 2 lim ( ), ( ).

x

f x f x x x

x

f x f x



 



例13 设 存在 求

函数极限的反问题

例14 试确定常数 a, b,c 使

2 2 2

12. lim 2, , . 2

x

x ax b x x a b



 

  

例 若 求

解 依题意, 4  2a  b  0, 即 b  4  2a.

2 2 lim 4

lim 2 ₂

2 2 2

2

2  





 











 x x

a ax

x x

x

b ax

x

x x

则

) 1 )(

2 (

) 2 (

) 2 )(

2 lim (

2  







 

 x x

x a x

x

x

1 lim 2

2 



 

 x

a x

x 3

4  a

  2

,

 2

a b  8.

2

1 1

lim ( ) , ( ) 2 lim ( ), ( ).

x

f x f x x x

x

f x f x



 



例13 设 存在 求

2 1

2

1 1

2

lim ( ) , ( ) 2 ,

( 1),

lim ( ) lim( 2 ) 1 2 ,

1 2 1,

, ( ) 2 .

x

x x

f x A f x x xA

x

f x x xA A

A A A

f x x x



 

  



   

    

 

设 则

对上式两边取极限 令 有

即 所以 解