第1章函数与极限

第1章 函数与极限

高等数学A

习 题 课

2

函 数 与 极 限 习 题 课

结构框图

函数的定义 极限的概念 连续的概念

简略内容小结

定义与性质

求极限的常用方法 求极限的常用结果

判定极限不存在的常用方法 常见题型

典型习例1-12

（一）函数的定义

函 数 的定义

反函数 隐函数

反函数与直接 函数之间关系

基本初等函数

复合函数 初等函数

函 数 的性质

单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 双曲函数与 周期性

反双曲函数

4

（二）极限的概念

左右极限

两个重要 极限

求极限的常用方法

无穷小 的性质 极限存在的

充要条件

判定极限 存在的准则

无穷小的比较

极限的性质

数列极限 函 数 极 限

a x_n

n 



lim f x A

x

x 

 ( ) lim

0

A x

x f 



 ( ) lim

等价无穷小 及其性质

唯一性

无穷小

0 ) ( lim f x 

两者的 关系

无穷大



 ) ( lim f x

（三）连续的概念

左右连续

在区间[a,b]

上连续

连续函数 的 性 质

初等函数 的连续性

间断点定义 连 续 定 义

0 lim0 



 y

x

) ( )

(

lim ₀

0

x f x

x f

x 



连续的 充要条件

连续函数的 运算性质

非初等函数 的连续性

振荡 间断 点

无穷 间断 点

跳跃 间断 点

可 去间 断点

第一类 第二类

6

一. 定义

内容小结

函数定义 .

1 2. "



 N"定义

"定义

"

.

3



 X 4. "







"^定义

5. 连续的定义 6. 无穷小及阶的定义 7. 无穷大的定义

二. 性质

1. 极限的性质 2. 连续的性质 3. 无穷小的性质

4. 闭区间上连续函数的性质

三. 求极限的常用方法

1. 利用极限的运算法则及函数的连续性; 2. 利用两个重要极限;

3. 利用有理化、通分、三角函数恒等变形等; 4. 利用变量代换;

5. 利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量; 6. 利用等价无穷小替换;

7. 利用夹逼准则;

8. 利用单调有界准则;

利用左右极限求分段函数极限

8

四. 求极限的常用结果

);

0 (

1

lim  



 ⁿ a a

n

; 1

lim 



 n

n n

























 



; 1

,

, 1

,

0

, 1

,

1

, 1

, lim

q q q q qⁿ

n

不确定



























 

; 0 )

( )

( ,

, 0 )

( , 0 )

(

,

, , 0 )

(

), (

) (

) (

) lim (

0 0

0 0

0 0

0

0 Q x P x

x P x

Q x x Q

Q x P

x Q

x P

x

x 约去公因子























 

















 , .

,

, 0

,

, lim

0 0

1 1

0

1 1

0

k m

k m

k b m

a

a x

b x

b

a x

a x

a

m m

m

k k

k

x 



10

四. 判定极限不存在的常用方法

. )

0 (

) 0 (

) ( lim

) 1

( _{0 0}

0

A x

f x

f A

x f

x

x      

利用 

(2)利用极限存在的唯一性

或 函数极限存在的充要条件是它的任何子列的 极限都存在且相等.

五. 常见题型

1. 考虑函数的定义域及函数的性质

2. 计算极限

3. 函数连续性的讨论与间断点的分类

4. 利用连续性理论证明等式与根的存在性 5. 求待定参数

6. 无穷小阶的讨论

12

典型习题

. ,

} 3 {

) 1

( , 3

3 0

1 _{1 1}

并求其极限 收敛

确定的数列 证明由

例 _n

n

n n x

x x x

x 

 



 _

. ,

} {

), ,

2 , 1 (

) 3

( ,

3 0

2 _{1 1}

并求此极限 的极限存在

证明数列 设

例

n

n n

n

x

n x

x x

x     

 _

).

1 sin(

lim

3 ² 



 n

n



计算极限 例

2 ).

1 2

4 3 2 (1 lim

4 n

n

n

 



 

 

计算极限 例

. lim

, ,

2 , 1 2 ),

6 4 2

1 2

5 3 1

5 ⁿ _n

n n n x

n x n



 

















  求

设

例 





2 . )

ln(

) ln(sin

lim

6 _{2 2}

2

0 x e x

x e

x

x x

x  



 计算极限 

例

) . 1 (

lim ) ,

1 ( lim

7 ₂

0 3

1

0 

 

 

 

  



 x

x e f

x x x f

x x

x

求 若

例

. 0 )

1 ( lim ,

8 ³  ³   





 





x x

x

使 试确定常数

例

14

. 0

) (

, )

0 ( ,

3 1 cos 2

) 1 (

9 ₃

连续 在点

使得

的值 如何定义

设函数 例













  



 



  

x x

f

x f x x

f

x

. )

( ]

, [

, ,

] , [ )

(

10

0 0

0 a b f x x

x

b x

a b

a x

f







 使

证明存在

且 上连续

在闭区间 设函数

例

. ,

} 3 {

) 1

( , 3

3 0

1 _{1 1}

并求其极限 收敛

确定的数列 证明由

例 _n

n

n n x

x x x

x 

 



 _

解 (1)0  x₁  3,

1 1 1

2 1

3 1 2

3

) 1

( 0 3

x x x

x x

 

 

 



3 1 1 2

1







x 1

3 3 1 2





  3,

, 3 0  x_n1 

设

同理可证, 0  x_n  3, 即x_n有界.

16

n n n

n x

x x

x 

 

 

3

3 ²

又 1 ^{( 3 )( 3 )}

3

n n

n

x x

x

 

 

1 n,

n x

x 

 _ 即x_n单调递增. 收敛.

数列x_n



, lim

) 2

( x_n a

n 



不妨设  ,

3

) 1

( lim 3

lim ₁

n n n n

n x

x x



 



 



则 

3 ,

) 1

( 3

a a a



 

即 a   3,(负号舍去)

. 3

lim 

  n

n x

0  x_n  3,

 0

. ,

} {

), ,

2 , 1 (

) 3

( ,

3 0

2 _{1 1}

并求此极限 的极限存在

证明数列 设

例

n

n n

n

x

n x

x x

x     

 _

解 (1)由0  x₁  3,知x₁,3  x₁均为正数,

2. ) 3

3 2(

) 1 3

(

0  x₂  x₁  x₁  x₁   x₁  故

), 1 (

2

0  x_k  3 k  设

2, ) 3

3 2(

) 1 3

(

0  x_k1  x_k  x_k  x_k   x_k  则

2, 0 3

, 1

,对任意正整数n  均有  x_n  由数学归纳法知

18

, 1时 又当n 

) 3

( )

3

1 n n( n n n n n

n x x x x x x x

x _       

(3 2 )

( 3 )

3

n n

n n n

n n

x x

x x x

x x

    

 

. }

{ ).

1

1 ( 即 单调增加

因而有x_n  x_n n  x_n

. lim

,知 存在

限

由单调有界数列必有极 _n

n x





, lim

) 2

( x_n a

n 



不妨设  lim ₁ lim _n(3 _n),

n n n

x x

x  



 



则 

, ) 3

( a

a

a  

即 ,

2

 3

a .

2 lim  3

  n

n x

( 0 3)

n 2

 x 

 0

).

1 sin(

lim

3 ² 



 n

n



计算极限 例

解 lim sin( ²  1)



 n

n



) 1

sin(

lim n

 

n² n



n   

 

 

ⁿ



^{n n}



n







 lim 1 sin



² 1

 

n n

n

n   

  1

sin 1

lim 2





20

2 ).

1 2

4 3 2 (1 lim

4 n

n

n

 



 

 

计算极限 例

解 (2k  1)(2k  1)  2k (k  1),

) 1 2

)(

1 2

(

1 2

5 3

3 3

1 1 2

1 2

4 3 2 0 1





 

 

 

 









 n n

n n

n 



1 2

1 2

5 3 3

1



 





 n

 n

1 2

1

 

n ,

1 0 2

lim 1 





 n

n

而

. 0 2 )

1 2

4 3 2 (1

lim     



 n

n

n

故 

( 0, 0)

2

ab  a b a  b 

由夹逼原理，知

. lim

, ,

2 , 1 2 ),

6 4 2

1 2

5 3 1

5 ⁿ _n

n n n x

n x n



 

















  求

设

例 





解  (2k  1)(2k  1)  2k (k  1),

) 1 2

)(

1 2

(

1 2

5 3

3 3

1 1 2

1 2

4 3 2 1





 

 

 

 







 n n

n n

n 



1 2

1 2

5 3 3

1



 





 n

 n

1 2

1

 

n ),

2 (

)

1 )(

1

(k  k   k k  又

n n

n 1 1 2 4 4 6 2( 1) 2 2

3

1             

  

22

n n

2

) 1 (

2 6

4 4

2 2

1 









 

n 2

 1

1 2

1 2

1 2

4 3 2 1 2

1

 

 







 n n

n

n 

n n n n

x n

n 2 1

1 2

, 1

 

 从而

, 2 1

lim 1 



 n

n n

而 1,

1 2

lim 1 





 n

n n

. 1

lim 

 

n n

n x

2 . )

ln(

) ln(sin

lim

6 _{2 2}

2

0 x e x

x e

x

x x

x  



 计算极限 

例

解

x e

x

x e

x

x x

x ln( ) 2

) ln(sin

lim _{2 2}

2

0  







x x

e e

x x

e e

x x

x x

x ln[ (1 )] 2

)]

sin 1

(

lim ln[ _{2 2 2}

2

0  



  ^_



) 1

ln(

) sin

1

lim ln( _{2 2}

2

0 e x

x e

x x

x 



 

 

sin2

lim e ^x x



   1.

24

) . 1 (

lim ) ,

1 ( lim

7 ₂

0 3

1

0 

 

 

 

  



 x

x e f

x x x f

x x

x

求 若

例

解 ^x

x x

x x f

1

0

) 1 (

lim 

  

  ^x

x x

x f x

1 2

0

) 1 (

lim 



 



 



 

2 2 2

) ( )

2 ( 0

) 1 (

lim ^x

x f x

x f x

x

x x

x f x

 



 



 



 





2 2 0

) lim (

x x f x

ex



  ^

 

  

 ^{0 2}

) 1 (

lim

x x f

ex  e³, ( ) 3.

1

lim ₂

0 



 

  x

x f

x

. 0 )

1 ( lim ,

8 ³  ³   





 





x x

x

使 试确定常数

例

解 1 0,

lim

3 3

 









   

 

 x x

x x

x

 

由

, 1 0

lim

3 3

 









   



 x x

x

x

 

有

, 1 1 1

lim 1 ³ ₃

3 3







 

  x x

x

x



得

26

) 1

(

lim ³ x³ x

x





 



从而

x x

x 1

1 1 1

lim

3 3  

 

x x

x 1

1 1 1

lim

3  3 



 

x x

x 1

1 3

1

lim ³



 

. 3 0

lim 1₂ 

 ^x x

. 0

) (

, )

0 ( ,

3 1 cos 2

) 1 (

9 ₃

连续 在点

使得

的值 如何定义

设函数 例













  



 



  

x x

f

x f x x

f

x

解 









  



 



  



 1

3 cos 2

lim 1 )

(

lim ₃

0 0

x x

x

x x x

 f

3 3 ) cos ln(2

0

lim 1

x e

x x

x

 



 0 3

3 ) cos ln(2

lim x

x x

x



 

28

0 2

3 ) cos ln(2

lim x

x

x



  0 2

3 )

1 1 cos

ln(

lim x

x

x

 

 

0 2

3

1 cos

lim x

x

x



  0 3 2

1 lim cos

x x

x

 

 .

6

 1



6, ) 1

0

(  

令f 则f (x)在点x  0连续.

. )

( ]

, [

, ,

] , [ )

(

10

0 0

0 a b f x x

x

b x

a b

a x

f







 使

证明存在

且 上连续

在闭区间 设函数

例

证 设F(x)  f (x)  x, x [a,b], ,

] , [ )

( 在 上连续

则F x a b

, 0 )

( )

(a  f a  a 

且F F(b)  f (b)  b  0,

; ,

0 )

(a x₀ a

F  时 取 

当 当F(b)  0时,取x₀  b; ,

0 )

( )

( 时

当F a  F b 

; 0 )

( )

, (

,至少存在一点x₀  a b 使得F x₀  由零点定理

30

32

34

36

38

40

. 0 )

( )

, (

0 )

( )

( ,

0 ,

) ( )

(

, , ]

, [

11





















a b f

b f a

f L

y x

L y

f x

f

y x b

a

使得 证明至少存在一点

且 为常数

其中

恒有 上的任意两点

设函数对于闭区间 例

证 x₀ (a,b), 



 0, min{ , x₀ a,b x₀},

L  







取 ,

|

| ₀ 时

则当 x  x 



^{由已知条件有} ,

|

|

| ) (

) (

| f x  f x₀  L x  x₀ 



所以f ( x)在x₀连续, ,

) ,

0 ( 的任意性知

由x  a b f (x)在(a,b)内连续. 时,

或

当x  a x  b 取







,

42

, ] , (

) ,

[ 或 时

则x  a a 



x  b 



b ,

|

|

| ) (

) (

| f x  f x₀  L x  x₀ 



就有

, ,

)

( 在 右连续 在 左连续

从而f x x  a x  b .

] , [ )

( 在 上连续

从而f x a b

, 0 )

( )

(a  f b  由已知有f

. 0 )

( ),

, (

,



 a b 使f



 所以由零点定理知

. )

( ) 2 (

; 0

) ( ) 1 (

, : ,

0

, ) ,

(

12

都不连续 在非零的点

连续 在点

证明 设

例

x x

f x

x f

Q x

Q x

x x

f c









 

证 (1)



 0, 取







_, 则当| x  0 || x |



时, ,

|

|

| ) (

|

| ) 0 ( )

(

| f x  f  f x  x 



), 0 ( )

( lim

0 f x f

x 

故  即f (x)在x  0连续.

44

. )

( ,

0 )

2

( x₀  则f x 在x₀不连续 事实上, ,

,

0 r 0 r Q

x   

若 则f (x₀)  f (r)  r.

, ),

( :

}

{r_n r_n  r n   r_n  r 分别取一有理数列

), (

: }

{s_n s_n  r n   取一无理数列

, lim

) (

lim f r r_n r

n n

n  







则  lim ( )  lim 0  0,







 n n

n f s

,

 0

而r 由函数极限与数列极限的关系知 lim f (x)不存在,

r x

. )

( 在 处不连续

故f x r

,

0 ,

Qc

s s

x  

若 则f (x₀)  f (s)  0.

), (

: }

{u_n u_n  s n   分别取一有理数列

s v

n s v

v_n}: _n  (  ), _n  取一无理数列{

, lim

) (

lim f u u_n s

n n n



 



则  lim ( )  lim 0  0,







 n n

n f v

, )

(

lim 不存在

的关系知

由函数极限与数列极限 f x

s x

. )

( 在 处不连续

故f x s