V、课程同步练习第4章无穷级数

(1)

V、课程同步练习

第 4 章无穷级数

4.1 常数项级数与正项级数同步练习

一、填空题

1.解：充分必要条件.

2. 解：由p^{级数的敛散性知，仅当}2 p1^即p1^时，级数



^

 

1 2

1

n

n p 收敛，其他情形均发散.

3.解：由比值判别法，可知



^

1 !

n p

n

n 收敛，所以原极限0. 二、选择题：

1. 选（A）.

2.选（D）.

3.C

三、根据级数收敛和发散的定义判定下列级数的敛散性

(2)

四、判别下列级数的敛散性：

1.



^





1

! 2

n n n

n

n ；2.



^

1  1) (

n

na (a0)^；3.



^

 





1

2 1

) 1 ( 3

n n

n

. 解：1. 由比值法判别法可得原级数收敛.

2. 因为，当时原级数发散；当时原级数收敛；

当时，，则原级数发散.

3. 利用根值判别法，因为，

而由及知，

所以，因此原级数收敛.

n a

n na n

n 





 )

( 1

lim a1 0a1

1

a 1 0

1) (

lim  





 n e

n _n

n

n n

n n n

un

2 ) 1 ( 3 2 1 2

) 1 ( 3

1



 



  _

n n

n

2 2 ) 1 (

1 3   lim 21



 n

n 1

2 ) 1 (

lim 3  



 n

n n

2 1 lim 1 



 n

n un

(3)

4.2 交错级数与任意项级数

同步练习

一、填空题：

1. 答案：因为

1 1 1

) 1 ] ( ) 1 ( 1[

) 1 ( ) 1 (

) 1 (

 



 



 

 







n n

n n n n

n n

n

，

而



^

 



2 1

) 1 (

n

n 收敛，



^

2 1 1

n n 发散，所以原级数发散.

2.p1^，p1 3.条件收敛

( 1 )

0 0

sin sin( ) sin

d d ( 1) d

t x n

n n

x n t t

u x t t

x n t n t

   



 

   

   

 

  

^，

所以

1 1 0

( 1)ⁿ sin d

n

n n

u t t

n t



 

 

 

  

 ^{是交错级数。由于数列} 0

sint d n t t



 

  





单调减少收敛于零，所以是

1 n n

u





 ^收

敛的。

对

1 1 0

sin d

n

n n

u t t

n t



 

 

 

  

^，由于



⁰^_n^sin__^t_t^d^t^

_

_n_¹₁

_

_



⁰^^{sin d}^{t t}^

_

_n_²₁

_

_ ^，且

_ _

1

2

n n 1 



 



^是发散

的，所以

1 n n

u





 ^{条件收敛的。}

二、选择题：

1选（B）.对于（B）：因为而发散；（A）为条件收敛；（C）（D）为绝对收敛.

2.选（C）.

3.选择（B）.因



^

1

|

n

an 收敛，则



^

1 n

an 绝对收敛，由收敛级数的性质知



^

1 n

pn收敛，



^

1 n

qn 收敛，故



^

1 n

pn

与



^

1 n

qn都收敛.

三、判别下列级数的敛散性. 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?

1.



^





1

) cos 1 ( ) 1 (

n

a （常数a0）； 2.

n n

n

ln ) 1 1 (

2



^



 ^；

解：1. （常数）；

由，而

，

由正项级数的比较判别法知，与同时敛散.

而收敛，故收敛，从而原级数绝对收敛.

3 0 lim  1



 n

n u



^





1

) cos 1 ( ) 1 (

n

a a0

n a n

n a

cos 1 ) cos 1 ( ) 1

(   

2 0 1

2 ) ( 2 1 lim

sin 2 2 1 lim

cos 1 lim

2

2 2

2



















a n

n a

n n a

n n

n



^





1

) cos 1 (

n n

a



^

1 2

1

n n



^

1 2

1

n n



^





1

) cos 1 (

n n

a

(4)

解：2. ；

记，则 .

显见去掉首项后所得级数仍是发散的，由比较法知发散，从而发散. 又显见

是Leibniz型级数，它收敛. 即收敛，从而原级数条件收敛.

四、讨论级数



^

  



3

2 3 2)

(

) 1 (

n

x n

n

n 的绝对收敛和条件收敛性.

解：因为，

当即时，原级数绝对收敛；

当时，，故原级数发散；

当时，发散，即原级数不绝对收敛，而，

，可见，，由 Leibniz 判别法知原级数收敛，故当时，

原级数条件收敛.

n n

n

ln ) 1 1 (

2



^





) 1 ln(

) 1 1

( ¹

 

 ^

u_n ⁿ n _n v_n

u n



  1 1



^

1

1

n n



^

1 n

vn



^

1 n

un



^

2 n

un

) 1 ln(

) 1 1 (

1

 



^



 n n

n

n n

n

ln ) 1 1 (

2



^





) (

1 , ) ~ 2 3 (

1 )

2 3 (

) 1 (

2 2

2 



 





 n

n n

n ^x ^x ^x

n

1 2x

2

 1 x

0

x 0

) 2 3 (

lim ₂ 1 







 x

n n n

2

0x 1



^

₃( ² 3 2) 1

n

n x

n vⁿ n ^x n ^x

) 2 ( ) 1 (

1



 

x n x

n v n

) 1 (

1

1  

 v_n v_n1 lim 0



 n

n v

2 0x1

(5)

4.3 幂级数同步练习

一、填空题：

1. 1

) 2 )(

1 (

) 1 lim (

lim ¹ 



 

 





 n n

n n a

a

n n n n

 ，所以R 1.

又当x1时，级数成为



^

 



1 ( 1)

) 1 (

n

n ，都收敛，故级数的收敛域为[1,1].

2. 解： 1 1

lim lim

1

 



 

 

 n

n a

R a

n n n n

，所以，1x41，3x5. 当x3时，级数成为



^





1

1) (

n n ，由调和级数知发散；

当x5时，级数成为



^





1

) 1 (

n

n ^{，由交错级数的}^Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所以收敛域为(3,5].

3. 设幂级数



^





1

) 1 (

n

n n x

a 在x1处收敛. 则此级数在x2处 . （绝对收敛、条件收敛、发散）

解：绝对收敛二、选择题：

1.设函数项级数



^

1

) (

n n x

u ，下列结论中正确的是( ).

（A）若函数列



^un^(x⁾



定义在区间I^{上，则区间}I ^{为此级数的收敛区间}

（B）若S(x)为此级数的和函数，则余项r_n(x)S(x)S_n(x)^，lim ( )0



 r_n x

n

（C）若x₀I^使



^

1 ( 0)

n n x

u ^收敛，则|x||x₀|^所有x都使



^

1

) (

n n x

u ^收敛

（D）若S(x)^{为此级数的和函数，则}



^

1 ( 0)

n n x

u 必收敛于S(x₀)

解：选（B）.

2. 幂级数

0 n n n

a x





 ^{的收敛半径为}^R⁽⁰^{  }^R ⁾，则（）是正确的.

(A) 级数

0 n n n

a R





 ^{收敛 (B)} ^级数 0

n n n

a R





 ^发散

(C) 若级数

0 n n n

a R





 ^{收敛，则是条件收敛}

(D) 级数

0 n n n

a R





 ^{可能收敛也可能发散}

解：选（D）.

3. 若级数



^



 

1

) ) (

1 (

n

n n

n a

x 在x0时发散，在x0处收敛，则常数a（）.

（A）1 （B）-1 （C）2 （D）2 解：由于



^



 

1

) ) ( 1 (

n

n n

n

a 收敛，由此知 a 1.当1a1时，由于



^



 

1

) ) (

1 (

n

n n

n a

x 的收敛半径为 1，

因此该幂级数在区间(a1,a1)^{内收敛，特别地，在}(0,a1)^{内收敛，此与幂级数在}x0时发散矛盾，

(6)

因此a1.故选（B）.

三、解答下列各题 1. 设幂级数



^





1

) 2 (

n

n n x

a ^在x0^收敛，在x4处发散，求该幂函数的收敛域.

解：由于



^





1

) 2 (

n

n n x

a ^在x0处收敛，由 Able 定理知，该幂级数在x2 2内绝对收敛，又在x4处发散，因此再由 Able 定理知，该幂级数在x2 2内发散.所以原幂级数的收敛域为[0,4)^.

2. 求



^

 



1

2

2 1

1 2

n

n x

n 的和函数，并求

2

2 1

2ⁿ

n

 n





 ^的和.

解：



^

 



1

2

2 1

1 2

n

n x

n 的收敛域为( 2, 2)^.

收敛域( 2, 2)^内设



^

 

1

2

2 1

1 ) 2

(

n

n x

x n

S ^，则



² ¹



² ² ³

2

1 2

1 1

( ) ( ) 2

2 2 2 2 2(2 )

1 2

n

n n

x

x x x x x

S x x x

  

  

 

      

        

 

 

^ ₂₍₂⁶^x²_^_x^x^{2 2}₎⁴ ^，

令x1，

2 ) 5 1 ( 

S ，所以，

2

2 1 5

2ⁿ (1) 2

n

n S





  



^.

(7)

4.4 函数展开成幂级数同步练习

一、填空题：

1.函数 f x( )e^x^¹^的Maclaurin级数为e^x^¹＝ . 解：     

!

! 1 2

2

n x x x

e

n

x ， x(,)^.

2

1 1

1 2! !

n

x x x

e x

e n

  

       

  ^，x(,) 2.函数

x x

f  

1 ) 1

( ^在x₀ 0^{处的幂级数为}

x 1

1 ＝ . 解：       



n nx x

x

x 1 x ( 1)

1

1 2 3 ， x(1,1)^.

3.函数 f(x)arctanx^展成x的幂级数为

0 n n n

a x





 ^（^x^^[¹^,¹^]^）^，则^aⁿ^ .

解：  

 





 ^

1 ) 2

1 5 (

1 3 arctan 1

1 2 5

3

n x x

x x x

n

n x[1,1]^.

所以，

( 1) 1 , 2 1

, 0,1, 2,

2 1

0 , 2

n n

n k

a k k

n k

   

  

 





二、选择题

1. 函数 1

( ) 2 f x  x

 ^展开的^Maclaurin级数为（）

(A)

0 n n

x





 (B)

02

n n n

 x



 ^(C) ¹

02

n n n

 x

 



(D)

0

( 1) 2

n n

 x





 解：选C

0

( ) 1 1

n n

f x u

u





 





2 3

1 1 1 1

2 2 2 1 2 2 2 2

1 2

x x x x n

x x

       

             

         

 

2. f x( )sin 2x^展开成Maclaurn级数为（） (A)

2 1 2 1 0

( 1) 2

(2 1)!

n

n n

n

n x

 





 



(B) ² ¹

0

( 1) 1

(2 1)!

n n

n

n x

 



 



(C)

2 1 2 1 0

2 (2 1)!

n n n

n x

 



 



(D)

2 2 0

( 1) 2 (2 )!

n

n n

n

n x









解：选（A）

2 1 2 1

2 1

0 0

( 1) (2 ) 2

sin 2 ( 1)

(2 1)! (2 1)!

n n n

n n

x x x

n n

 

 



 

   

 

 

3.. 函数 f(x)ln(2x²x3)^展开成(x3)的幂函数为（）.

(8)

(A)

1

( 1) 1

( ) ( 3) 2

n

n n

n

n x

 



 



(B)

1

( 1) 2

ln18 ( ) ( 3)

9

n

n n

n

n x

 







 

(C)

1

( 1) 2 1

( ) ( ) ( 3)

9 2

n

n n n

n

n x

 



    



(D)

1

( 1) 2 1

ln18 ( ) ( ) ( 3)

9 2

n

n n n

n

n x

 



  





   

解：选（D）

2 )]

1 3 ( 2 ln[

))]

3 9( 1 2 ( 9 ln[

)]

1 )(

3 2 ln[(

)

( 













 x

x x

f

2 ) 1 3 ln(

)]

3 9( 1 2 ln[

18

ln      

 x

x



^



 



    

 



1

2 ) ( 3 ) 1 )] (

3 9( [2 ) 1 18 (

ln

n

n n

n

n x

x n n



^



  

 

 



1

) 3 ( 2) (1 9) (2 ) 1 18 (

ln

n

n n

n x ^.

三、将 2

) 2

( x x

x x

f    ^在x₀ 0处展开成幂级数，并求其收敛域.

解：

1 2 1 3 _1 1

1 3 ) 1 2

2 1

( 1 3 1 ) 2 )(

1 2 (

)

( ₂

x x x

x x

x x x

f



 



 

 

 

 



  ^，

因为



^



  0

1 1

n

xn

x ^，1 x1；



^







 ⁰( 1) 2 1 2

1

n

n n n x

x ^， 1

1 2 

 x

，即2 x2；根据幂级数运算性质有



^











 

















 





0 0

0

2 ] ) 1 1 ( 3 [ 1 ) 2

1 3 (

1 3

1 1 2

1 3 1 1

1 3 ) 1 (

n

n n

n

n n n n

n x x

x x x x

f ，

所以，



^



 

 

 ² ₀ ]

2 ) 1 1 ( 3 [ 1

2 _n

n n

n

x x x

x ，1 x1.

四、将 f(x)cosx^展开成 3



x 的幂级数.

解：因为 )

sin( 3 2 ) 3 cos( 3 2 ] 1 ) 3 cos[( 3 )

(    









 x x x

x f



^



 

 











0

1 2

0

2

)!

1 2 (

3) ( ) 1 ( 2

3 )!

2 (

3) ( ) 1 ( 2 1

n

n n

n

n n

n x n

x  

，(x)^.

所以， ,( )

)!

1 2 (

3) ( ) 1 ( 2

3 )!

2 (

3) ( ) 1 ( 2 cos 1

0 0

1 2 2





 



 







^ 











n x x n

x x

n n

n

n  

.

(9)

4.5 Fourier 级数同步练习

一、填空题：

1. 设f(x)^为(,)^上以2为周期的周期函数,且在(,]^{上的表达式为}















 

, 0

,

, 0

2 , 1 )

(



 x x

x x x

f

则 f(x)^以2为周期的 Fourier 级数在[,]^{上的和函数为}S(x)

.

解：由 Dirichlet 收敛定理可得，





























 4 .

, 0 2,

, 0

,

, 0 2,

) (

 

 



x x

x x x

S

2. 设

















, 2 1

1 ), 1 ( 2

2, 0 1

, ) (

x x

x

f a a n x

x S

n

n 



^







1

0 cos

) 2

( ^，xR,

其中a_n ^2



0¹f(x)cosnxdx (n0,1,2,)^，则  ) 2 ( 5

S . 解：将 f(x)作偶延拓得余弦级数，其周期为 2，因此由 Dirichlet 收敛定理有

2) (1 2) ( 1 2) 2 5 ( 2)

( 5 S S S

S       ^，

且

4 ) 3 2 1 1 2( )] 1 2 0 (1 ) 2 0 (1 2[ ) 1 2

(1  f   f    

S ^.

即 4

) 3 2 (5 

S .

3. 函数 ( ) sin ( )

2

f x  x    x  的 Fourier 级数为解：由于函数 ( ) sin

2

f x  x ^是[ , ]^{上的奇函数，因此}a_n0

0

1 1 1 1

sin sin cos cos

2 2 2

n

b ^ x n xdx ^ n x n x dx

 

 ^ 

     





 



        

0

1 1 1 1 1

sin sin

1 2 1 2

2 2

n x n x

n n



 

     

            

 

1 1 1 1 1

sin sin

1 2 1 2

2 2

n n

 



 

     

            

 

(10)

1

1 2 2

1 ( 1) ( 1) ( 1) 2 8

( 1) ( 1, 2, )

1 1 1 (4 1)

2 2 4

n n n

n n

n n n

  

 

 

    

             

 



二、选择题

1. 函数f(x)^在[0, ] ^上的^Fourier级数应为（）的形式

（A） ⁰

 

1

cos sin

2 n ⁿ ⁿ

a a nx b nx









 （B） ⁰

 

1

cos 2 sin 2

2 n ⁿ ⁿ

a a nx b nx











（C） ⁰

1

2 n ⁿcos

a a nx









（D）

1 nsin

n

b nx







解：选B

2. 函数 1, 0,

( ) 1, 0 , f x x

x



   

    的 Fourier 级数和函数为S(x)^{（）}

（A）^{S x}^{( )}^ ^{f x}^{( )}



^{  }^ ^x ^



（B） ^{( ),}



^{, 0}



^{(0, )}

( ) 0, , 0, f x x

S x x

 

  

   



（C）S x( )^是以2为周期的周期函数，且在一个周期上( , ]^上S x( ) f x( )

（D）S x( )^是以2为周期的周期函数，且在一个周期上( , ]^上

^{( ) ,}



^{, 0}



^{( 0 ,} ⁾

( ) 0, , 0, f x x

S x x

 

  

   



解：选D

3. 函数f(x)^在[ , ]上连续是其 Fourier 级数的和函数S x( )满足（）的充分条件

（A）^{S x}^{( )}^ ^{f x}^{( )}



^{  }^ ^x ^



^（B）^{S x}^{( )}^ ^{f x}^{( )}



^{  }^ ^x ^



（C）^{S x}^{( )}^ ^{f x}^{( )}



^{  }^ ^x ^



^（D）^{S x}^{( )}^ ^{f x}^{( )}



^{  }^ ^x ^



解：选D

（题目三、四被误放到下一节了，注意提到4.5节）

三、判断题

1.三角函数的正交性是指在三角函数系中任意两个不同函数的乘积在[,]^{上积分值为}^0.（^）

解：不对.

2.在[,]^{上连续的函数} f(x)^之Fourier级数在[,]^上收敛于 f(x)^.（）解：不对.

3. f(x)^在[,]^上满足 Dirichlet 条件，且在[,]^上 f(x)f(x)^，则f(x)^的 Fourier 级数在



 

0, ,

x ^{上必收敛于}^0.（^）解：对.

四、将下面周期为2 的函数展开成Fourier级数：

1. 























; 0

,

, 0 , 0

, 0

, )

(

x x

x x x

x f



并计算  ₂  ₂  5

1 3

1 1 .

解：x2k (k 0,1,2,)^{处不连续，其}Fourier级数收敛于     2

) 0 0 ( ) 0 0

( f

f ，

(11)

当x2k (k 0,1,2,)^时，其Fourier级数收敛于f(x). 且其Fourier系数如下：



^ ^ ^ ^

  



 



 ⁰

0

cos ) 1 (

nxdx x

f a_n

















 0, .

,

4 , cos

sin cos

[ sin

1 ⁰ ₂

2 0

0 2

0 为偶数

为奇数 n

n n n

nx n

nx x n

nx n

nx

x 

 _ _



 



 







0 1 ( )

dx x f

a ^，

0 sin

) 1 (









  ^f ^x ^nxdx

b_n ^，

所以，

























 





^

 , 0

0 ,

0 , )

1 2 ) cos(

1 2 (

1 4

2 1

2

x x

x

x x x

n n

n  



 .

当x0时，有 



 





^ 

1 2

) 1 2 (

1 4

2 _n n ^{，由此可推得} 5 8

1 3 1 1

2 2

2





  .

(12)

4.6 函数展开成正弦级数与余弦级数同步练习

一、填空题：

1. 若 f(x2) f(x) ^{, 设} ( ) 1 (0 )

 ^ ^



 x x

x

f 的余弦级数的和函数为 S(x) ^{, 则}



3) (

S ，S(12) .

解：将 f(x)^{作偶延拓，即}























. 0

, 1

, 0

, 1 ) (

x x x x x

f

 

从而，由3(,0)^得



3 1 3

) 3 ( ) 3

(  f     

S ^.

由周期性知，S(12)S(124)^，而124 (,0)^，

所以 



 

) (12 4 ) 1 ¹² ⁴ ¹² ³ 4

12 ( ) 12

( 

 











S f

S ^.

2. 函数



















 



x x x

f

2 , 0

2, 0

, 1 )

( 展开成余弦级数为

解：将 f(x)^作周期为2 的偶延拓，则   



 x x

,2

0 2 时 f(x)^连续，

2



x 为间断点，此时 f(x)^的 Fourier 级数收敛于

2 1 2

1 0 

.且 2 1

)

2 ( ₂

0 0 _



0^ ^f ^x ^dx_



^^dx

a ,

) , 2 , 1 ( 2 , 2 sin 2 cos

cos )

2 ( ₂

0

0    





^f ^x ^nxdx



^nxdx _n ⁿ ⁿ

a_n 



 

.

所以，  



^     



x x

x n nx

x n f

n

5 5 cos 3 2

3 cos cos 2

2 2 cos 1 sin 2

2 2

) 1 (

1   



) , 2

0

(  x

且

x .

3. 函数 (0 )

) 2

(  



 

 x x

x

f 展开为正弦级数为

解：将 f(x)作周期为2 的奇延拓，则满足收敛定理的条件.x0为 f(x)的间断点，则其 Fourier 级数在

0

x 处收敛于 0

2 2) 2 ( 



，在连续点处收敛于f(x)^，且

nxdx n nxdx x

x f

b_n 1

2 sin sin 2

) 2 (

0

0   

_



^ _



^^ ^.

所以， sin3 ,(0 )

3 2 1 2sin sin 1

1sin )

(

1













^



x x

n nx x

f

n

 . 二、求 f(x)x1(0x2)的周期为 4 的余弦级数的系数a₃^.

解：因为 2 ( )cos , ( 0,1,2, )

0  

 _l



^f ^x ⁿ_l^x^dx ⁿ

a_n ^l 

，而l 2，

所以 2

2 3 0

9 8 2

cos3 ) 1 2 (

2



 







^x ^x^dx

a ^.

V、课程同步练习 第4章 无穷级数