建國高中 102 年數學科暑假作業—課外讀物心得感想
1年10班22號 許欣羽《數學的祕密生命》 喬治‧史皮婁 著
壹、綜觀全書與選讀動機
從每個人小學一年級開始，數學在每週課表中一定占有不可動搖的席次；在科學上，數學更是
量化分析的好工具，然而也有許多人在學數學的過程中曾遭遇嚴重挫敗，從此視數學為畏途，殊 不知日常生活中我們正處處和它相逢。本書廣泛介紹數學在各方面的應用，包括經濟、心理、政治、
運輸，也旁及日常生活，像是討論魔術方塊、井字遊戲、西洋棋等；並在字裡行間流露出對數學之 美的讚嘆、對一代大師的深刻佩服，更闡述了研究數理的正確態度—嚴謹、求真、細膩，全書平易 近人、廣泛、多層次是選讀它的最大動機。其中所提到的定理、定律、公理幾乎都是很深的境界，很 多是數學家研究多年的心血，但本書卻能用淺白的文字描述，為讀者埋下數學的種子；書中提到，
柏拉圖學院門口標記「不懂幾何的人，不得進入此門」，從此以後菁英主義盛行，數學成為高度抽 象的科學，外行人難窺其奧，直至近代才有改善，這大概就是在暗喻本書主旨吧！
貳、分述篇章心得感想 一、數學家與數學史
1. 以數學之名
猶太人擅長經商和數理方面的研究是眾所皆知的事實，根據資料，猶太人占全球約百分 之一的人口，卻占了諾貝爾獎五分之一的得獎人次，其中大部分集中在自然科學；但也因此，
他們屢遭政治強勢民族嫉妒、排擠甚至迫害，像二戰期間德國納粹黨的大屠殺，然而他們仍 憑堅強的民族意識、努力和天分，復國成功並繼續在數理領域占有一席之地。本文描寫蘇聯時 期排擠猶太人的意識仍在，高等教育的相關科系排斥入學，像是莫斯科大學力學數學系常以 苛刻的口試考題對待之，於是兩位高中教師決定創辦「猶太人民大學」，提供這些遭不公平對 待者接受大學基礎數學學程的機會，儘管設備克難，卻有多位知名學者無償前來授課，只為 了「人性尊嚴、糾正錯誤和對數學的熱愛」一時間也作育不少英才，傳為數學史上的佳話。
本文雖無涉及真正的數學，大學中師生對數學的熱情卻著實令人感動。想想現在自己學 數學的動機，多少有些是「利之所趨」，像是有好的數學基礎，以後選科就業比較寬廣等，少 付諸真正熱情於其上。正如書中提到，高等數學是一條辛苦的窄路，一篇刊在國際期刊上的 論文全球只有約二十個這個次領域的學者才看得懂，而且過程中挫敗不計其數；這些猶太學 生其實可選擇工學院，學習應用數學，未來出路也很廣，但他們仍堅持走上這條路，支持他
們的就只有熱情。看了本文，未來遭遇瓶頸時想必會為自己帶來力量。
2. 四百八十五次的名字
本文的主角是有數學王子之稱的高斯。其事蹟大家必然耳熟能詳，包括小時候就想出等 差級數求總和的方法、發現正十七邊形的尺規作圖法，以及創立非歐幾何，其貢獻之多使得 數學百科全書提到他的名字四百八十五次。每次看到這些數學史上的奇才，都不自覺產生一 種謙卑之情；平常我們但願考試題目不要太多變化，以在時間限制內解完平時反覆練習的題 目為喜，但真正的數學家卻是求新求變，以創造為喜，只能說仰之彌高，可讚嘆而不敢妄想 望其項背。
二、日常數學與趣味數學 1. 郵票、銅板與麥克雞塊
本文以郵票、銅板與麥克雞塊為媒介，說明某些複雜不定方程式常出現在生活中。例如
「有1、4、7、8四種面額的郵票，從中任取三張能組合出哪些價格，又是怎麼組合?」這看似簡 單的問題卻很難用一般的數學能力快速解開，若使用重複組合也只能算出有H34=C63=20種取 法，在數字小時可用單純試誤法，但大時就顯無濟於事，為此數學家還得藉助電腦才能找出 固定模式。類似的問題像是有兩種面額硬幣，要算出什麼價格以上一定可用這兩種面額硬幣 支付，文中提到若此二面額互質，則是AB－(A＋B)以上，三種時就只能使用電腦程式，四 種以上則極難求解。不定方程式的解虛無縹渺，且本文中所提只是一次不定方程式，高次更 顯複雜，歷年來數學家努力鑽研，各級學校數學科展也都試圖對某一型提出專論解法並加以 推廣。身為準高中生，大概只能用重複組合求形如a＋b＋c＋d=k(常數)的有幾組非負整數解 日常生活中還是交給試誤法吧！
2. 排隊的公平性
排隊接受服務是高國民素質的展現，然而相信每個人都有經歷過因服務模式有缺失造成 效率不彰的惱人情形。本文提出了影響隊伍行進的不同變因並探討之。首先是不同隊伍受服務 先後順序這個特性；在大部分的情形中，先到者先受服務，但像在電梯中就是後到者先出去，
而根據研究，在尖峰時間先服務需時少的顧客可提高效率，然而卻有失公平性。再來則要顧 及環境及人的心理因素，我舉個例子，每當一架飛機降落機場，旅客必然直驅海關，少在過 境區停留，此時在海關排隊的模式就會呈現和降落時間明顯相關的陣性；但若是小學分批放 學，學生有不少會在校園裡逗留，校門口的排隊模式自然接近均勻，在這些例子中所提到的 變因看似微不足道，然若能加以量化，比如掌握「乘客逗留過境區率」、「學生留校打球率」的
平均數據，再綜合天氣狀況等調變估計，必能預先採取適當措施，提高效率。
另外，文中也認為公平性對排隊者的重要性大於效率。像當有多個窗口提供服務時，多 數人認為多隊伍制較快，但可能因為某排突遇特殊狀況造成當排有延誤，而其它排沒有的不 公平狀況，相較之下，抽號碼牌等待分發至任一窗口被認為較公平，因為若有延誤大家一起 承擔。故大多數人認為後者較好，由此得出「人們重視公平性大於效率」的結論。書中提到根據 數學分析其實是後者的「平均等候時間」較短，但我認為多數人的想法是以「等候時間最小值」
來判斷何者較「快」，若然，則的確是前者較快，因為有特別延誤的隊伍就可能有特別流暢的 隊伍，這應該只是對「快」的定義不同，人們對這兩種「快」的意義差別應已從日常生活中獲得 一定的經驗。因此受訪者在回答後者較好時應已考慮到後者的平均等候時間較短這個事實，
也就是其做出的選擇是基於兩種因素的綜合，故我認為這個實驗變因控制不佳，未必足以證 明大多數人認為公平性較重要。
3. 走道上要用跑的或走的
本文從二個看似簡單的問題開始，即若要在最短時間內穿越機場大 ，要不要在電動走廰 道上繫鞋帶？那麼若只有有限的力氣衝刺，要不要在電動走道上跑？若憑直覺，馬上就會有 不同的答案。文中提出了一種思考模式，即要將較多的時間花在「速度較快的地方」就是電動 走道上，才是花最短時間的方式，用這種模式，第一個問題當然要在電動步道上繫鞋帶，第 二個問題要在一般地板上用跑的比較快，但文中未明確說明其原因。自行研究發現可以下列 算式簡單模擬。
(1)先假設必須移動的路徑長共有2L長，其中有L是在電動走道上，L是在正常路面上，
V1是正常走路速度，V2是電動走道的速度加正常走路的速度(V2＞V1)，ΔV是跑和走速度差，
則在正常路上跑時，T1=L/(V1＋ΔV)＋L/V2，在電動走道上跑時，T2=L/(V1)＋L/(V2＋ΔV) T1－T2=－ΔV/V1(V1＋ΔV)＋ΔV/V2(V2＋ΔV)= ΔV〔1/V2(V2＋ΔV)－1/V1(V1＋ΔV)〕
∵V2＞V1 ∴V2(V2＋ΔV) ＞V1(V1＋ΔV)，1/V2(V2＋ΔV)－1/V1(V1＋ΔV)＜0，得前者較快 (2)推廣：有兩段路，長度各為L，其中一段以V1行進，另一段路以V2行進(V1＋V2=定值K) T=L/V1＋L/V2=L(1/V1＋1/V2)=L〔(V1＋V2)/V1V2〕
∵V1＋V2=定值K，V1=K－V2
∴設y=f(V2)= V2(K－V2)，配方法得f(x)=－(V2－K/2)2，V2=K/2=V1時，V1V2有最大值，
T有最小值，觀察二次函數圖形可發現V1和V2愈近，T值愈小，速度愈快 結論：將兩段速度拉近，可縮短總時間。
文中提到類似的問題在經濟學上也常出現，即應該將最多的工作分給最有效率的機器；
此外，物理學家也發現人類在電動走道上會不自覺走得較慢以節省體力留給正常地面的行走，
也是一種截長補短行為以縮短整體的時間。下次千萬別在電動走道上趕路，讓現代科技助你 一臂之力！
4. 數字9的奧祕
本文提到生活中許多數據1-9數字出現的頻率不平均，很早就有人發現似乎8和9沒有1 和2常用，20世紀中葉，學者班佛更提出在不同類別的數據中，大約有30％以1開頭，
18％以2開頭，12％以3開頭，以9開頭則少於5％。文中舉了股票價值為例，由於初始值 常為1開頭(尤其少用9開頭)，而假設成長速率穩定，則此數值的開頭停留在1、2的時間較 長，停留在8、9的時間往往是同一位數中最少的。
我查詢其他資料發現，班佛從觀察各種數字分布及「隨機寫下一位正整數」實驗中歸納出 一串數字以k為首的機率大約是log(1+1/k)(k=1-10)，實際運算log(1+1/1)一直加到 log(1+1/10)，可發現括號內的分數會因連乘(logca+logcb=logcab)而消除，結果為 log10=1，可見符合機率總和為一的基本性質，且將k以1代入查表，得值0.301，k=2 時，則為0.176，k=3時，則為0.457，皆符文中所述班佛分布。而班佛分布應用包括：河 流流域面積、存款數目與股價、甚至國稅局都會以此查核公司行號有無報假帳，甚至連費波納 契數列(Fn+2=Fn+1+Fn)、2的高次方數，都神奇地符合班佛分布。
5. 你的蛋糕比我大
本文旨在探討分配問題。分配是日常生活中的一部分，從小學起，我們就學會用除法分 配，不過那僅止於均質物品的平分。至於簡單不均質之物，我們也必定有經驗，比如一個蛋 糕上面嵌著兩顆草莓，有四個小朋友要分，最公平(斤斤計較)的方法就是剝下兩顆草莓各切 對半分完後再將蛋糕切成四等分，或是衡量一顆草莓所帶來的滿足程度(營養價值)相當於多 少蛋糕，多切一點蛋糕給未得草莓的小朋友，文中提到的二戰後美、蘇、英、法分區佔領德國，
但因首都柏林地位重要，故要抽出來再平分。然而，當不均質性更趨複雜，難以充分量化比 較或分配時易有誤差，就得以「切到大家都滿意」為目標，就像文中的例子，當三方對平分的
認知不同時，就是不斷地修正、再平分有爭議的小部分直到其小到不足以構成爭執為止。這篇 雖只是簡單的操作，卻提供我們除了平分以外在不同狀況下適用的公正分配方法。
三、應用數學和數學與其他科學的關聯 1. 迷人的碎形
本文從兩位極度抽象風格的藝術家波洛克和蒙得理安說起，這兩位藝術家的畫常只是一 些顏料的點滴和一些奇怪的線條並堅稱其哲學的背景意義，長久以來能欣賞其美感的人並不 多。然而近年的數學研究發現這些畫符合比它們創作時間晚了數十年的碎形理論，而其他附 庸風雅的仿效者經過精細數學研究多半只是模仿其外表，未能參透此微妙之處。
1970年代，法國學者提出碎形理論。碎形就是「部分相似於全體」的結構，在日常生活中 像是雪花邊緣、花椰菜、分支的樹枝等都是碎形，數學家藉以發展出分數維度，像上述的平面 碎形都是介於一維和二維間，維度隨圖形複雜度增加向二維接近。據所查到資料顯示，碎形 的種類相當多，其中較適合高中生欣賞的大約有以下二種。
(1)Cantor Set
在製作Cantor Set的過程中，每次都挖掉0到1線段中原有的1/3，而剩下現有的2/3，當
做了n個步驟後，剩下的長度為(2/3)n共挖掉 ，經無窮等比級數計算(a1/(1－
r))，其和為1，意即最後的長度是0，只剩下許多點。經由數學論證(大致上是先說明點的分布 是去除1這個項的3進位制，和二進位制表達法一一對應，再設另一函數證明其和數線上所 有點也是一一對應)可知挖掉所有長度後所剩下的點等於全數線上所有點，意即所有點可以從 整條數線的長度被壓縮到0與1之間，甚至可被壓縮至長度為0的線段上，線是由點構成，
但一個點的長度為0，雖然數線上有無限多個點，長度還是0，充分表現點的數學性質。
(2)Koch Snowflake
給定一正三角形，每次切掉每邊的三等份的中 間段，並以此段為底邊向外做一正三角形。當每作 一次這個動作，每邊長度會變為原來的4/3倍，
做n次就會是(4/3)n(數學歸納法)，這是一個發散
的無窮等比級數，也就是邊長為無限長；而假設原三角形邊長為1，進行第一步後每邊就會 增加 的面積，第二步就會增加 的面積，同樣用數學歸納法進行第n步 會增加 ，
而最後的總面積經無窮等比級數運算是2√3/5，此值是原三角形面積(√3/4)的8/5倍，意即 其周長為無限長，圍出面積是卻是定值，奇妙至極！
2. 機率多高才超越合理懷疑
本文提到數學和法律審判的關聯。現代刑法相當重要的是無罪推定原則，包括了審後才 定罪、判有罪時必須具備有力證據說明其犯罪機率遠高於合理懷疑機率等。文中假設若有95％
的犯罪機率即可將被告定罪，而被告被指控的二個案件中經偵查得犯罪機率各是90％，則在 傳統法庭會被判雙雙無罪。但總合機率原則(網路資料)P(A)＝P(A∩B)+P(A∩B＇)亦即A事件 發生的機率等於A和B都發生的機率加A發生但B不發生的機率，稍移項變形為P(A∩B) ＝ P(A)－P(A∩B＇)可算出被告在兩案都清白的總合機率=10％－10％×90％=1％，顯示若 在兩案中都判決無罪並不合理，書中則建議至少在一個案件中定罪。相反的，若兩件案件的
犯率皆為95％，本來會都會判有罪，經總合機率計算，其同時犯兩案的機率小於95％，也
不應如是判決。此外，文中也提到總和機率會造成有前科記錄者反而比先前被判無罪者更容 易判無罪，因為「至少在一個案件中定罪」的比例太多，有前科者等於已接受過懲罰。總和機 率提供我們新奇的思考模式，也顯示出為達無罪推定的理想須縱放許多有犯罪事實的被告(統 計上明知判無罪者有多數有犯罪事實，但不知是誰，只好全部放走)；然而至少在一個案件中 定罪這個結論太空泛，且兩案涉及刑度不同更易有爭議。物各有優劣，這就是現實世界！
3. 班機飛巴黎……與安格拉治
機場的繁忙程度常代表此城市國際化的程度。然而繁忙常被定義為單位時間內班機起降 數，這未必周延，文中提到，直航城市數也是關鍵，可顯示其交通便利性，對長居此城市的 居民而言較重要；另外，一個機場成為兩城市間班機中停點的數目也很重要，這代表其對國 際航空網的重要性，沒有它，就有此數目的航班會受到影響。實際狀況下，以上述三種數值 衡量機場繁忙程度所得結果差異大，像阿拉斯加安格拉治和新幾內亞莫士比港市班機起降數 不多，卻是中停點數目的前幾名。本文闡述以數據衡量物品特性時，一定要注意數據測量方 式和此特性的關聯並選取適切者分析評比，生活中常會出現各種國家、大學、企業等排名，結
2 ) 1 (
! 2 )!
2 (
!
2
n n
n Cn n
果卻常大有出入，相關單位很少公布其研詳細研究方法。作為一個「數學人」，還是得存疑！
4. 選出最佳教宗和最佳歌曲
本文分析各種不同的選舉模式。首先是現在最常見的方式「多人一票制」，此方法雖簡明，
但無法明確表達候選人受歡迎的程度，也就是選民喜歡一個候選人與否，只有兩個等級：
「投」與「不投」。有個極端的例子，也許某位候選人在過半數選民中是一個折衷選擇的對象，
但一部分的選民卻對他深惡痛絕，而另一個候選人在大多數選民中的支持度僅略低於第一位 候選人，但卻相當受某特定族群的歡迎，則大多數選民皆會折衷將票投給第一位候選人，相 對少數的特定族群雖然很喜歡第二位候選人，也只能用「投一票」表示，最後勝選的還是第一 位候選人。如此模式會讓候選人儘量做到「不被大多數人討厭」而不在乎對少數特定族群的政 策，久之容易形成無魄力、無特色的執政，恐非民主選舉選賢與能的初衷。
因此，文中提到十八世紀時有「波達計數法」的出現，亦即選民可依他們對多位候選人的 喜好程度給予0-n的連續整數級分，總級分最高者當選。然此法在有二位候選人支持度接近時 較不利，因為敵對陣營可能互相不理性的給0分而給己方最高分，平均起來可能會是獲得中 間級分的候選人獲勝，出現同多人一票制的缺失。
於是後來又有「孔多塞方法」也就是循環賽制，讓所有候選人兩兩比較支持度，若獲得全 勝者即為當選者，但如此就有n(n-1)/2場比賽，且有可能不出現全勝情形(此時可再利用上述 二方法決定獲相同勝場數者)總之，選舉方法何其多，不同選舉結構各有其適用方法，這更是 數學、政治學和心理學的緊密配合。
補充---常見的賽制
a.單淘汰制：因為要淘汰(n-1)名選手，所以要(n-1)場比賽(決定三、四名要加賽一場)
b.雙淘汰制：敗兩場，才淘汰，所以分勝部和敗部，若冠軍不敗，要2(n-1)場，若冠軍敗過一次，
要2(n-1)+1場。
c.循環賽制：每人都和除自己以外每個人對戰，但a對b和b對a不可分辨，故有n(n-1)/2場。
許多比賽是預賽分組循環賽，複賽和決賽採雙淘汰制以保持比賽公平性(世界棒球經典賽) 5. 猶太經典是賽局理論先驅
本文討論古老的猶太經典-塔木德經的一起民事財產分配案件。在今日的觀念中，債務人 的剩餘財產依債權人各自持有的比例分配理所當然，但在此經典中卻是如是分配：將總財產
減對方持有的債權，先拿走這個數目，其餘再均分給所有債權人；這神祕的經典不但具有宗 教性、哲學性，更隱含許多這種令人吃驚的案例，很著名的另一個事件是有兩個人同時從煙 囪掉下，一個乾淨，一個髒，結果有人認為是乾淨的人去洗澡，因為他以為自已也一樣髒；
然而有人又有另一種解釋，就是乾淨的人後來發現自己不髒，反而是髒的人領悟到為何乾淨 者要洗澡於是跟進，結果最後的結果是兩者都錯，因為不可能從煙囪掉下一個乾淨一個髒。
文中和許多資料都提到這部經典是著名經濟理論像是看不見的手、風險評估、賽局理論的先驅 其中又以賽局理論關聯最大。
賽局理論就是一種擬定策略的方法，常將損益量化並用表格和數學工具(矩陣)呈現及運算 最基礎的例子就是囚犯困境，若兩人都招供會處無期徒刑，一人招供則招供者輕罪，另一人 死罪，但兩人都不招供則無罪釋放，亦即謀求對自己的最大利益可能和團體利益衝突，這時 囚犯就得考量另一人的性格以及「他人之視已」。記得在某期刊上看到在古典機率中會認定招 供和不招供各有一半的機率，四種狀況各四分之一，但在如此賽局中大部分的結果倒向兩人 俱招供。賽局理論的數學分析離我還有一段距離，但其中「知對手之視已」的概念卻很重要，
三國演義中諸葛亮的空城計神機妙算，或許也使用了賽局理論？
四、數學，數學，為何錯誤皆假汝之名 數字衝過頭
本文討論一篇刊登在國際知名期刊Nature的論文，論文中提到一百多年後，女性會在一 百公尺短跑中跑得比男性快，且秒數少於8.1秒。這訊息聽來誇張，其研究方法也大有問題。
書中作者提到這些研究者使用迴歸分析法，即設法用簡單函數(線性函數、二次函數等)通過 (接近)數據點，以簡易估算內插這段範圍內的未知數值(或使用插值多項式，以更高次多項式 函數近似之)。然研究者草率地認定「男性奧運百米秒數每十年會減少0.1秒」和「女性奧運百米 秒數每十年會減少0.18秒」的結論，並錯誤地將此結論延伸至這些數據點以外，才得到此荒 謬的結論。若依此結論推斷則八百多年後女性將以負的時間跑完全程，更顯見其不合理；其 實，這種成長曲線斜率會漸緩，正如人口不可能無限增長。
相似的情形或許經常在我們的生活中上演(新聞媒體)，因為凡事牽涉到數學就會使人認 為它是合理的、有根據的或是深奧的，尤其是外行人更難洞悉其謬誤，而這也是學生要學習 數學的原因，藉著縝密的思考與熟練的分析計算能力才能遠離這些無所不在的錯誤。由本文 中可看出研究數理不嚴謹的後果，尤其知名期刊未徹底審查更會造成相關研究者的矛盾、誤
解與疑惑，使整個科學界離真相愈來愈遠，實在不可不慎！
數學之鑰：嚴謹、求真、細膩、精確、深入、廣泛、熱誠，謹以此自勉！
參、參考資料 中文維基百科
建國中學數學科教學研究會網站-課內教材(學資) 許志農 《師父中的師父講堂 第三講 閒聊機率與統計》
http://www.lungteng.com.tw/LungTengNet/HtmlMemberArea/publish/Newpaper/013/math/N7202-ebook(p07~12).pdf
蔡宗龍 《碎形簡介》 http://www.tngs.tn.edu.tw/teaching/math/research/fractals/fractals.htm
《塔木德--猶太人的神祕經典》 http://ceag.phc.edu.tw/~nature/master/1/02/02-27.htm www.cyut.edu.tw/~chlee/mana_11.ppt
