第三章 重积分

7.1 重积分

7.1.5 重积分的应用（物理应用）

一、相关问题

1. 由物理学知道，若xoy_平面上有

n

个质点，它们分别位于(x₁,y₁)_，(x₂,y₂)_，

 ,

⁽xn^,yn⁾_{处，质量分别为}m₁,m₂,,m_n．则该质点系的重心的坐标为







 

 _n

i i n i

i y i

m x m M

x M

1

1 ，







 

 _n

i i n i

i i x

m y m M

y M

1

1 ．

假设有一平面薄片，占有 xoy_{面上的闭区域}D，在点(x,y)_{处的面密度为}(x,y)_， 假定(x,y)_在D上连续，如何求该平面薄片的重心？

答：由元素法，知该平面薄片的质量为 ( , )

D

M 



 x y d，则该平面薄片的重心为

) , , (

) , (







D D

d y x

d y x x

x  





) . , (

) , (







D D

d y x

d y x y

y  





当薄片是均匀的，重心称为形心. 1 ,





D

A xd

x  1 .





D

A yd

y  ^



D

d

A 

其中

2. 设空间物体占有的区域为，其体积为V ，体密度为常数_{，由物理学知道该空间}

物体的质量为M V 。但是一般的物体的体密度都是变化的，如何求其质量M ？例如，

给定的空间物体为球体x²y²z² 2Rz，其各点处的体密度等于该点到坐标原点距离的 平方，分析如何求该物体的质量、重心坐标？

答：由元素法，知该空间物体的质量为M ( , , )x y z dv







，则该空间物体的重心坐标为

( , , ) ( , , ) ( , , )

, ,

( , , ) ( , , ) ( , , )

x x y z dv y x y z dv z x y z dv

x y z

x y z dv x y z dv x y z dv

  

  

  

  













  

二、相关知识

1. 写出利用二、三重积分计算平面薄片、空间物理的质量、重心、转动惯量、对质点 的引力等物理量的有关公式。（答：见教材）

2. 给出问题一（2）的计算过程。

解：的体密度 (x,y,z)x²y²z²_；

2 2 cos

2 2 2 2 4 5

0 0 0

( ) sin cos 32

15

M x y z dv d R d R

  

     







  

  



2 2 cos

2 2 2 2 5 6

0 0 0

( ) cos sin 8

3

R

Mxy z x y z dv d d d R

  

      







  

  



故 R

M z M^xy

4

5

 ，由对称性^x0,y0，则求得该球体的重心为（0，0， R 4

5 ）。

三、练习题

1. 求位于两圆之间的均匀薄片的重心r a cos , r b cos (0 a b) . 答 薄片关于x 轴对称，则y0,







D D

d d x x  





D

rdr r

d ^b

a





 









 ^{ }

 2

0

cos

cos cos

2

) (

) (

2 2 4

3 3 8

a b

a b



 _^  .

) ( 2

2 2

a b

a ba b





 

2. 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为

a

、b，求这三角形对其中任一

直角边的转动惯量.

解 设三角形的两直角边分别在

x

轴和y _{轴上，如图}

对 y _{轴的转动惯量为}^{I x2dxdy,}

D

y ^





_

^bdy

_

^{a by} x dx

0

) 1 ( 0

 2 .

12 1 a₃b

 同理：对

x

轴的转动惯量为I y dxdy

D

x ^



^{2 .}

12 1 ab₃



3. 一物体由半径为4和8的两个同心球所围成，且其上任一点的密度与该点到球心的

距离成反比，而且已知离球心为5处的密度为1，求此物体的质量。

解：设球心在原点处，其外球面方程：x²y²z² 64，内球面方程：x²y²z² 16，

a b x

y

o

a b

o y

x

由题意知其体积密度： ( , , ) 2 k2 2

x y z

x y z

 

  ^，

将 x² y²z² 5,1代入得k=5，故 2 2 2

) 5 , ,

(x y z x y z



 



则质量

2 8

2 2 2 0 0 4

5 5 sin 480

M dv d d d

x y z

 

     



  

 

   

四、思考题

1. 在半径为a的均匀半球体靠圆面的一旁拼接一个半径与球相等，材料相同的圆柱体。

拼接后的整体的重心位于球心，试求圆柱体的高为多少？

解：球面x²y²z²a²，拼接的圆柱高H，圆柱面x²y² a² 由题意知重心为（0，0，0），即^{x0,y0,z0}， 必

2 2

2

0 0

2

2 2

( 2 ) 0

4

a a r

xy H

M z dv d rdr zdz

a a H

   







  

  

   

即 a²2H² 0，则求得

2 H  a 。

2 归纳运用定积分、重积分的“微元法”（“元素法”）解决实际问题的思想方法。

答：某一实际问题中所求量U满足：

1°U量与某变量P变化有关，P，为可度量的有界闭区域。

2°U量对域具有可加性，即







 ⁿ

i

Ui

U

1

。

3°部 分 量Ui可 由 f(Pi)i_{近 似 表 示 （}P_i _i） ， 即 部 分 量U 可 由

P i

f( ) _{近似表示（因}很小）。称dU  f(P)d_为U量的“微元”（“元素”），其 中d为积分域的“微元”（“元素”），则所求量

 









 dU f P d

U ( ) 。

若P R ,R，此时 f(P) f(x),[a,b],ddx，那么上述为定积分的“微 元法”（“元素法”）U ^



a^bf(x)dx。

若P R ²,R²，此时 f(P) f(x,y),D,dd，那么上述就为二重积分 的“微元法”（“元素法”）， ^



D

d y x f

U ( , )  _。

若P R ³,R³，此时 f(P) f(x,y,z),,ddv_{，那么上述就为三重积} 分的“微元法”（“元素法”），





 f x y z dv

U ( , , ) 。