第二节 二重积分的计算法

* 三、二重积分的换元法

第二节

一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分

二重积分的计算法

第十章

O y

)

1(y x 

)

2(y x 

x d

c 且在 D 上连续时

,

0 )

,

(x y  当被积函数 f













b x

a

x y

D (x) ( )

: ¹ ²



_D ^{f (x, y) dx dy }



_a^{bd x}



_^₁^{2((xx)) f (x, y)dy}

由曲顶柱体体积的计算可知 ,

若 D 为 X - 型区域

则

O _{( )}

1 x y  

)

2(x y  

b x y

D a x

若 D 为 Y - 型区

域 









d y

c

y x

D (y) ( )

: ¹ ²

y x

y x

y f

y ⁾ ( , )d

( ) (

2



_^1



_c^{d d y}



_D ^{f (x, y) dxdy}  则

一、利用直角坐标计算二重积分

当被积函数 f (x, y)

 

 2

) , ( )

, ) (

,

( f x y f x y

y x

f 2

) , ( )

,

(x y f x y

f 

) ,

1(x y

f f₂(x, y) _均非负





^

 D f (x, y)d x d y D f₁(x, y)d x d y 在 D 上变号时 ,

因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于



 D f₂(x, y)d xd y

x y

O

x y

D O

说明 : (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是 Y - 型区

域 ,



_D ^{f (x, y) dx dy}

为计算方便 , 可选择积分序 , 必要时还可以交换积分 序 .

)

2(x y  

a b

)

1(y

xd x ₂(y)

c 则有

x

)

1(x y  

y y y

x

x f

x ⁾ ( , )d

( ) (

2



_^1



 ^b

a d x

x y

x

y f

y ⁾ ( , )d

( ) (

2



_^1



 ^d

c d y

(2) 若积分域较复杂 , 可将它分成若干

D2 D¹ D3

X - 型域或 Y - 型域 ,









_D ^ _D1 ^ _D2 ^ _D3

则

1 2 1

2



 ² dy

例 1. 计算 ^{I }



_D ^xyd

^

, ^{其中 D 是直线 y ＝ 1, x ＝ 2} , 及

y ＝ x 所围的闭区域 .

解法 1. 将 D 看作 X - 型区域 ,

则 

: D



I



₁^{2d x}



^{xyd y }



₁^{2 d x}

 



^

 ²

1 3 21

21 x x dx

8

 9

 

1

2

21 x

y x

解法 2. 将 D 看作 Y - 型区域 ,

则 D : 



I



^{2d y}



^{xyd x}

^

^{21 x2 y}

^

^{2 }

_

²



^{2y  1}₂ ^y3



^{dy  9}

1 x

y 2

x y 

 1

2 1 x 

 2

 x y

2 1 y 

x y 

x y

x y

O

例 2. 计算



_D ^xyd^ , ^{其中 D 是抛物} 线

x y²  所围成的闭区域 .

解 : 为计算简便 , 先对 x 后对 y 积 分 ,

 :  D



^{xy d x}



 D xyd



^



_²₁^dy

 



_ ^

 ²

1

2 2

12 x y ^y₂ dy

y ^{ 1}₂



_²₁^{[y(y  2)2  y5] dy}

 

1 2 6

2 1 3

4 4

2

1 ⁴ _{3 2 6}

 





 y y y y

8

 45

D

x y² 

 2

 x y

2

O1 4

y

x y

2  x  y  2 y

2 1 

 y

y2

 2 y

 2

 x y

及直线

则

例 3. 计算 sin d d ,



_{D x} ^{x x y 其中 D 是直线 y  x, y  0,}

所围成的闭区域 .

O x

y

D π

 π x x

y  解 : 由被积函数可知

因此取, D 为 X - 型域 :

π 0

: 0













x

x D y



 D x y

x

x d d

sin



₀^xdy



 ^π

0 sin xdx

 

0 cos x π



  2



 ^π

0 sin d x x

x

 π x

先对 x 积分不行 ,

说明 : 有些二次积分为了积分方便 , 还需交换积分顺

2

例 4. 交换下列积分顺序









^{ }

 ²

2

8 0 2

2 2 2

0 2

0d ( , )d d ^x ( , )d

x

y y

x f x

y y

x f x

I

解 : 积分域由两部分组成 : 2 ,

0 : 0

2 21 1 









x

x D y

2 8

2  y 

x

D2

2 2

y

O x

 2













2 2 2

8

: 0 ²

2 x

x D y

2

1 D

D D   将

 :  D

视为 Y - 型区域 ,

则 ₂

8

2y  x   y 2

0  y 



 D f x y x y

I ( , )d d ^



₀^2dy



₂⁸_y^{y2 f (x, y)dx}

D1 2 12 x y 

例 5. 计算I xln(y 1 y² )dxdy ,



D ^{ }

 _{其中 D}

, 由 4 x²

y   y  3x, x 1 _所围成 .

O y

x

1

4 x2

y  

x y  3

D2

D1

 1 x 解 : 令f (x, y)  xln(y  1 y² )

2

1 D

D

D   ( 如图所示 ) 显然

,

1上,

在D f (x, y)   f (x, y)

2上,

在D f (x,y)   f (x, y) y x y

y x

I D ln( 1 )d d

1



^{ } 2





 0 y x y

y

xln( 1 ² )d d



^{ }



4

二、利用极坐标计算二重积分

O x

k k

k r

r   





k k

k k

k

k r

 

r





 cos ,  sin 对应有

在极坐标系下 , 用同心圆 r = 常 数

则除包含边界点的小区域外 , 小区域的面 积 



_k

k k

k k

k r r r

r      



 ₂¹[ ( )]

) , ,

2 , 1

(k n

k  





在

 

_{k (rk ,}



_{k ),}

k

 

k

k 



   

r

k

r 

^{ k}

k

rk  



 ¹₂ ²

内取点

k k

k r

r    



 ₂¹ ( )²

及射线  = 常数 , 分划区域 D 为

k

rk 



rk ^rk

k

 O

k k

k k

k k

k n

k

r r

r r

f

  

  





  ( cos , sin )

lim

0 1

k k

n

k

f



k

 







  ( , )

lim

0 1



D f (x, y)d



r d r d



即 ^



D f (r cos



,r sin



)



d r d r



d

r d



O

) (



 r

D

O x



D

)

1(



 r

)

2(





 r

O x



_^₁²_(^(₎^{) f (r cos}

^

^{,r sin}

^

^{)r d r}

设 ( ) ( ),

: ^{1 2}

























 r

D 则



D f (r cos



,r sin



)r d r d





 ^

 d



特别 ,

对 0 2π ) ( : 0

















 D r



D f (r cos



,r sin



) r d r d





0^{( )} f (r cos



,r sin



)r d r



 ^2π

0 d



)

1(





 r



)

2(



 r

O x

D

此时若 f ≡1 则可求得 D 的面积







( )d 2

1 ^2π

0



2





 D





d

思考 : 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原 点 , 试







问  _{的变化范围是什么} ?

(1) (2)

π π  





) (





 r

D y

x O

) (





 r D y

O x

) (



 r D

O x

例 6. 计算



_D e^x2y2d^xd^y , ^{其中D : x2  y2  a2.} 解 : 在极坐标系

下

π , 2 0

: 0















a D r

原式 ^



D ^a re ^r d r

0



^ 2

r a

0

e 2

2 π 1

2 

 

 ^  π (1 e^{a 2} )

e^x2 的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角 e^r2r d r d



^



₀^2πd

^

由于

故

坐标计算 .

注 :利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式

2 d π

0 e

2 



^{ x x}

事实上 ,



R² e^x2y2dxdy ^



_^{ ex2d x}



_^{ey2d y}

2

0 e d

4 ² 





 



^{ x x}

x

a y

x

x

alim e d

2 2

2



2









 

 π

①

) e

1 ( π

lim ^a2

a





 





R² e^x2y2dxdy 又

例 7. 求球体x²  y²  z²  4 a²_被圆柱面x²  y²  2 ax )

0

(a  _{所截得的 ( 含在柱面内的 ) 立体的体积 .} 解 : 设

由对称性可知 2

0 π , cos 2

0

:  r  a







 D



d d

4

4 a² r² r r V ^



D ^



 ^π2

0 d

4

 

0^{2 cos } 2

2 d

a 4

r r

r a





)d sin

1 3 (

32 ^π₂

0

3

3



^

 a

3) 2 2

( π 3

32 ₃ 

 a

x y

a 2 D O 

 cos

 2 r

x

y z

a 2

O

* 三、二重积分换元法



^{b f (x) d x }



^{ f [}

^

^(t)]

^

^{(t) d t ( x }

^

^(t))

定积分换元法



 

) , (

) , : (

v u y y

v u x

T x (u,v) D  D

满足 (1) x(u,v), y(u,v)在 D上_{一阶偏导数连续} 雅可比行列式;

上 在D )

2 (

; ) 0

, (

) , ) (

,

( 



 

v u

y v x

u J

(3) 变换T : D  D

则



^{f (x, y)d x d y }



^{f (x(u,v), y(u,v))}

定理 : 设 f (x, y)在闭域 D上连续, _变换 :

是一一对应的 ,

v u

v u

J ( , ) d d O

v

u D

T y

x D

O

y

x D

O O u v

D 证 : 根据定理条件可知变换 T 可

逆 .

用平行于坐标轴的 坐标面上,

在uOv

直线分割区域 D, _{任取其中一个小矩}

T 形 , 其顶点为

), ,

( ,

) ,

( ₂

1 u v M u h v

M   

u _{u  h}

M1

M4 M₃ M2

kv v 

通过变换 T, 在 xOy 面上得到一个四边

形 , 其对应顶点为M_i (x_i , y_i ) (i 1,2,3,4) ^M1

M4 ³

M

M2

2 ,

2 k

h 

 

令 ^则

1

2 x

x   x(u  h,v)  x(u,v)

).

, ( ,

) ,

( ₄

3 u h v k M u v k

M     

) ) (

,

( h o



v u u

x 



 

1

4 x

x   x(u,v  k)  x(u,v) ( ) )

,

( k o



v v u

x 



 

1

2 y

y  ( )

) ,

( h o



v u u

y 



  同理得

1

4 y

y  ( )

) ,

( k o



v v u

y 



 

当 h, k 充分小时曲边四边形 , M₁M₂M₃M₄ 近似于平行四 边形 , 故其面积近似为

4 1

2

1M M M

M 







4 1 4 1

1 2

1

2 x y y

x

y y

x

x  



 _^_u^x h ^_u^y k

v hk

x u

x



 







  J (u,v) hk

v u

v u

J ( , ) d d d





因此面积元素的关系为

从而得二重积分的换元公式 :



D f (x, y)d x d y





 D f (x(u,v), y(u,v)) J (u,v) du d v

例如 , 直角坐标转化为极坐标时 , x  r cos



, y  r sin



)

, (

) , (



r

y J x



   cos



 r sin





sin  r cos



 r



 D f (x, y)d x d y





 D f (r cos



,r sin



) r d r d



例 8. 计算 其中 D 是 x 轴 y 轴和直 2 线



 y

x _{所围成的闭域 .}

解 : 令u  y  x , v  y  x,_则 , 2

2

u y v

u

x  v   

) , (

) , (

v u

y J x



 

y

D x

x y

x y

d d



e ^



 ^v u v

u

D e ^₂¹ d d





 ^{ 1}₂



₀^{2d v}

v v d )

e e

1 ²(  _1





^{ e  e1}

12 21 12 21

 

2

1





 v

v v u

u d e

x y

x y





e d x d y ,

) (D  D



_D

 2

 y x

D

x

y

O

D

 2 v

v u  v

u  

u v

O

u v

O

y b x² 

y a x² 

D

O y

x

x q y² 

x p y² 

,

, ²

2

y v x

x

u  y  例 9. 计算

由 y²  p x , y²  q x , x²  a y, x²  by )

0 , 0

(  p  q  a  b _{所围成的闭区域 D 的面积 S} 解 : 令 .

D

p q

a b 则











 

b v

a

q u

D : p D

) , (

) , (

v u

y J x



 

) , (

) , (

1 y x

v u



 

3

 1







S D d x d y





 ^b

a q

p du d v 3

v 1 u

D J d d





 ( )( )

3

1 q  p b  a



例 10. 试计算椭球体 ₂ 1

2 2

2 2

2   

c z b

y a

x 解 :

y x

z

V ^ 2



D d d ^c _D b ^{x y}

y a

x d d

1

2



^ ₂^{2 } ₂²



, 由对称性 1

: ₂²  ₂²  b

y a

D x 取

令 x  a r cos



, y  b r sin



, _{则 D 的原象为} π

2 0

, 1

:   

 r



D

) , (

) , (



r

y J x



 



  

cos sin

sin cos

r b b

r a

a 







 V 2c D

r r

r c

b

a d 1 d

2



^2π



^{1  2}





^{ 4 π abc}

r b

 a 1 r2 ab r d r d



的体积 V.

内容小结

(1) 二重积分化为二次积分的方法 直角坐标系情形 :

•

_{若积分区域为}



^{(x, y) a x b, y}₁^{(x) y y}₂^(x)



D     

则



_D ^{f (x, y)d}

^

^



_a^{bd x}



_y^y₁²₍⁽_x^x₎^{) f (x, y)d y}

•

_{若积分区域为}



^{(x, y) c y d, x}₁^{(y) x x}₂^(y)



D     

则



_D ^{f (x, y)d}

^

^



_c^{d d y}



_x^x2₍⁽_y^y₎^{) f (x, y)d x}

)

1(x y y 

)

2(x y y 

x y

a b

D

O

x y

)

1(y x x 

D

d c

)

2(y x x 

O



^{( ,}

^

⁾

^

^

^

^

^

^,

^

₁⁽

^

^{)  }

^

₂⁽

^

⁾



 r r

D





_D ^{f (x, y)d}

^

^ _D ^{f (r cos}

^

^{,r sin}

^

⁾

则





 ^{( )}

) (

2 1

d ) sin

, cos (

d ^{ }











f r



r



r r

(2) 一般换元公式



 

) , (

) , (

v u y y

v u x x

D y

x, ) 

( (u,v) D, 0

) , (

) ,

( 



 

v u

y J x

且





极坐标系情形 : 若积分区域为



d d r r

在变换 下



D

)

1(



 r

)

2(



 r

O x

(3) 计算步骤及注意事项

• 画出积分域

• 选择坐标系

• 确定积分序

• 写出积分限

• 计算要简便

域边界应尽量多为坐标线

被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少

累次积分好算为妙 图示法

不等式 ^{( 先积一条线 , 后扫积分域 )} 充分利用对称性

应用换元公式

y

x 1 y



x O 1

思考与练习

1. 设 f (x)C[0,1], _且 ¹ ( )d ,

0 f x x  A



求 ¹d ¹ ( ) ( )d .

0 x f x f y y

I ^

 

x

提示 : 交换积分顺序后 , x , y 互换

y x



I ^y f (x) f ( y) d x



0



₀^{1d y }



₀^{1d x}



₀^{x f (x) f (y)dy}



 2I



₀^{1d x}



_x^{1 f (x) f (y) dy} 



₀^{1d x}



₀^{x f (x) f (y)dy}



 ¹d x



¹ f (x) f (y)dy^



^{1 f (x)d x}



^{1 f (y)d y  A2}



cos a

r



a x O

2. 交换积分顺序

a arccos r

 

) 0 (

d ) ,

(

d ^cos

0

2π 2

π 





^



^{f r r a}

I



^{a }



提示 : 积分域如图

r r



0^a d ^r



^a

arccos r a

arccos r

 

I f ( r,



) d



作业

P152 1

^{(2), (4)}

; 2

^{(3), (4)}

; 5; 6

^{(2), (4)}

;

11

^{(2), (4)}

^; 13

^{(3), (4)}

^; 14

^{(2), (3)}

^;

15

^{(1), (4)}

^; *19

⁽¹⁾

^; *20

⁽²⁾

ax y  2 解：

原式



 ^a y

0 d ^



_a^{2a d y}

2ax x2

y  

2

2 y

a a

x   



备用题

^{1. 给定}

改变积分的次序 .

) 0 (

d ) , (

2 d

0

2

2 ² 





^x



_ ^{f x y y a}

I ^{a ax}

x ax



 ^a y

0 d



^{2 2  2}

2

d ) ,

y (

a a

a

y f x y x



_a²_^a _a²_y^{2 f (x, y) d x}



^a

a

y² f x y x

2

2 ( , )d

a

x  ₂y²

 2a

a 2 a

O x

y ^{x  2ya2}

2

2 y

a a

x    x  a  a²  y²

x y

O 3

2  π





6

1  π







sin

 4

 r

y x

y

x )d d

( ²  ²



 _

^{4sin r2 r d r 15( π  3)}

y y

x²  ²  4 y y

x²  ²  2

0 3 

 y x

2. 计算 其中 D 为由圆

所围成的 ,

d d

)

(x² y² x y



D ^{ x2  y2  2y,}

y y

x²  ²  4 _及直线

x  3 y  0 ,

y  3x  0 解：

平面闭区域 .

0 3 

 x y



sin

 2

 r

2 4



 ^3πd

D