第一节 二重积分的概念与性质

第十章

一元函数积分学

多元函数积分学

重积分 曲线积分 曲面积分

重 积 分

三、二重积分的性质

第一节

一、引例

二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算

二重积分的概念与性质

第十章

解法 : 类似定积分解决问题的思想 :

一、引例

1. 曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体 :

0 )

,

( 

 f x y z

底： xOy 面上的闭区域 D顶 : 连续曲面

侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的 求其体积柱面 .

“ 大化小 , 常代变 , 近似和 , 求 极限”

D

) , (x y f

z 

D

) , (x y f

z  1)“ 大化小”

用任意曲线网分 D 为 n 个区 域 



₁,



₂, , 



_n

以它们为底把曲顶柱体分为 n 个

2)“ 常代变”

在每个 



_k (



_k ,



_k ), 3)“ 近似和”







 ⁿ

k

Vk

V

1







 ⁿ

k

k k

f k 1

) ,

(

  

) ,

( _{k k}

f  

) , ,

2 , 1 (

) ,

( k n

f

V_k  _{k k}  _k  



  

中任取一点 则 小曲顶柱体

 k

)  ,

(_k _k

4)“ 取极限”

的直径为 定义 _k



_k



k P P P ,P







( )  max _{1 2 1 2}   令 max



( )



1 k

n

k

 



 









 

 ⁿ

k

k k

f k

V

0 1 ( , )

lim

  



) , (x y f

z 

) ,

( _{k k}

f  

 k

)  ,

(_k _k

2. 平面薄片的质量

有一个平面薄片 , 在 xOy 平面上占有区域 D ,



(x, y)C ,_{计算该薄片的质量 M}

. 度为

), (

) ,

( 常数

若



x y 



_设 D 的面积为

 ,

则







 M

若



(x, y)_{非常数 , 仍可用}

其面密

“ 大化小 , 常代变 , 近似和 , 求极限”

解决 .

1)“ 大化小”

用任意曲线网分 D 为 n 个小区 域

, ,

,

, ₂

1

 

n



 

 

相应把薄片也分为小块 .

D y

O x

y

x 2)“ 常代变”

中任取一点



k

在每个 (



_k ,



_k ),

3)“ 近似和”







 ⁿ

k Mk

M

1







 ⁿ

k k k k

1

) ,

(

  



4)“ 取极限”



^{( )}



1max k

n

k

 



 



令 





 

 ⁿ

k k k k

M

0 1 ( , )

lim

   





k

 )

, (_k _k

) , ,

2 , 1 (

) ,

( k n

M _k  _{k k}  _k  



   

则第 k 小块的质量

O

两个问题的共性：

(1) 解决问题的步骤相同

(2) 所求量的结构式相同

“ 大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限”





 

 ⁿ

k

k k

f k

V

0 1 ( , )

lim

  







 

 ⁿ

k k k k

M

0 1 ( , )

lim

   



曲顶柱体体积 :

平面薄片的质量 :

二、二重积分的定义及可积性

定义 : 设 f (x, y)

将区域 D 任意分成 n 个小区域 _k (k 1, 2 ,  , n), 任取一点 (



_k ,



_k ) 



_k , _{若存在一个常数 I ,}



使

  

 ⁿ

k

k k

f k

I

0 1 ( , )

lim

  



可积 ,

) , (x y 则称 f



_D ^{f (x, y)d}

^

) , (x y f

I 为

称 _在 D 上的二重积分 .

称为积分变量 y

x, 积分和



_D ^{f (x, y) d}

^

积分域 被积函数

积分表达式

面积元素

记作

是定义在有界区域 D 上的有界函数 ,



 D f x y

V ( , )d



引例 1 中曲顶柱体体积 :



 D x y

M



( , )d



引例 2 中平面薄板的质 量 :

如果 在 D 上可 积 ,

) , (x y f

元素 d 也常记作dxdy, _{二重积分记作} .

d d ) ,



_D ^f (^{x y x y}

k ,

k

k  x y





这时

分区域 D , 因此面积

可用平行坐标轴的直线来划



 D f (x, y)d x d y



 D



(x, y)d x d y y

O x

二重积分存在定理 : 若函数 f (x, y) )

, (x y f

定理 2. f (x, y)

上可 在

则 f (x, y) D

( 证明略 )

定理 1.

在 D 上可积 .

限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 积 .

在有界闭区域 D 上连续 ,则

若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有

例如 ,

y x

y y x

x

f 

 ²  ² )

,

( _在 D : 0  x 1

1 0  y  上二重积分存在 ;

y y x

x

f  1

) ,

但 ( _在 D 上 二重积分不存在 .

y

1 x 1

D O

三、二重积分的性质



_D ^{k f (x, y)d}

^

.

1 _{( k 为常数 )}



_D^{[ f (x, y)  g(x, y)]d}

^

. 2



D f (x, y)d .

3

, 1 )

, ( .

4 若在D上 f x y 





^{ }

 D



D





1 d d

 _为 D 的面积 , 则

) ,

,

(D  D₁  D₂ D₁ D₂无公共内点



 k D f (x, y)d







^

 D f (x, y)d



D g(x, y)d







^



2

1 ( , )d ( , )d

D

D f x y  f x y 

特别 , 由于 f (x, y)  f (x, y)  f (x, y)



 D f (x, y)d



则



_D ^{f (x, y) d }



_D

^

^{(x, y) d}

^

5. 若在 D 上f (x, y)



(x, y) ,



 D f (x, y) d



6. 设M max f (x, y), m min f (x, y),

D  D

 _{D 的面积为}

,







f x y M

m 



D ^{( , )d}  则有

7.( 二重积分的中值定 理 )

) , (x y 设函数 f

, )

,

(

 

 D









( , ) )

,

(x y d f

D f



^

证 : 由性质 6 可知 ,

) , ( max d

) , 1 (

) , (

min f x y f x y f x y

D D

D  _



^ 

由连续函数介值定理 , 至少有一 点

 D ) , (

 



 D f x y

f



 



1 ( , )d )

, (









( , ) d

) ,

(x y f

D f 



在闭区域 D

 _为 D 的面积 上

, 则至少存在一点 使

使 连续 ,

因此

例 1. 比较下列积分的大小 :





, ( ) d d

)

( ²



³



_D ^{x  y} _D ^{x  y}

其中 D : (x  2)²  (y 1)²  2 解 : 积分域 D 的边界为圆

周 x 3 y  1

3

2 ( )

)

(x  y  x  y

2 )

1 (

) 2

(x  ²  y  ² 

它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直

线 x  y 1 相切. ,

1

 y

x _从而





( ) d

d )

( ²



³



^{  }

 D x y D x y

而域 D 位于直线的上方 , 故在 D 上

1 y

2 x

1 O

D

例 2. 估计下列积分之值

10 cos :

cos 100

d d

2

2  







 ^x _x^y _y ^{D x y} I

D

解 : D 的面积

为

200 )

2 10

( ² 



 由于

 

 

y

x ²

2 cos

cos 100

1

积分性质 5

100

 200

 I 102

200 _即 : 1.96  I  2

10 10 10 10



D 100

1 102

1

x

y O

例 3. 判断积分 x y x y

y x

d d

1

4

3 2 2

2 2









 _的正负号 .

解 : 分积分域为D₁, D₂, D₃, _则 原式 = x y x y

D 1 d d

1

3 2 2



^{ }

y x

y

D x 1d d

2

3 2 2



^{ }



y x

y

D x 1d d

3

3 2 2



^{ }





 1 d d

D x y x y

D 3 1d d

3



3 ^

 ) 3 4

( π 2

π ³ 



2 D3

3 D2

1

D1

0 )

2 1

(

π  ³ 



猜想结果为负

^{但不好估计}

.

舍去此项

y

O x

x y

O 8. 设函数 f (x, y)

D 位于 x 轴上方的部分为 D

1 , (1) f (x, y)  f (x, y), ), ,

( )

, ( )

2

( f x y   f x y



d ) ,



_D ^f (^{x y}

0 d

) ,

( 



_D ^{f x y}

^

当区域关于 y 轴对称 , 函数关于变量 x 有奇偶性时 , 仍

D1

在 D 上



d ) , ( 2



1

 D f x y

在闭区域上连续 ,域 D 关于 x 轴对 称 ,

则

则

有类似结果 .

在第一象限部分 , 则 有

1 :

,D₁为圆域 D x²  y²  例如



_D^{(x2  y2)d x d y}



_D ^{(x  y)d x d y  4}



_D1 ^{(x2  y2) d x d y}

 0

D

y y

x f

x ^x

x b

ad ^{( )} ( , )d

) (



2



 ^

x 

b

a[ ]d





四、曲顶柱体体积的计算

设曲顶柱的底为















 

b x

a

x y

y x x

D ( ) ( )

) ,

( ¹ ²

任取 x₀ [a,b],_平面 x  x₀

故曲顶柱体体积为



 D f x y

V ( , )d



y y

x f x

A ^x

x ( , ) d )

( ^{( )}

)

( 0

0

0 2

0



1

 ^ 截面积为 

y y

x

x f

x ⁾ ( , )d

( ) (



_^2



 ^b

a A(x)d x 截柱体的

)

2(x y  

)

1(x y  

x0

) , (x y f

z  z

x y

a b

D

O

记 作

d y

c [ ] d







^{x y y x y c y d}



D  ( , ) ₁( )  ₂( ),   同样 , 曲顶柱的底

为

则其体积可按如下两次积分计算



 D f x y

V ( , )d



x y

x

y f

y ⁾ ( , )d

( ) (

2



_^1

x y

x

y f

y ⁾ ( , )d

( ) (

2



_^1



 ^d

c d y O

y d

c

x

)

2( y x 



)

1(y x 



y

记 作

例 4. 求两个底圆半径为 R 的直交圆柱面所围的体 积 .

解 : 设两个直圆柱方程为

2,

2

2 y R

x  

利用对称性 , 考虑第一卦限部分 , 其曲顶柱体的顶为

则所求体积为

y x

x R

V ^ 8



D ^{2  2} d d



₀ ^{R2x2 d y}

x x

R R

d ) (

8 0

2



2 ^

 ³

3 16 R



2 2

2 z R

x  

2

2 x

R

z  

0

: 0 )

,

( ^{2 2}

R x

x R

D y y

x   



 

x x

R R

d 8 0

2



2 ^



2 2

2 y R

x  

2 2

2 z R

x  

D

x

y z

R

R O

内容小结

1. 二重积分的定义



_D ^{f (x, y)d}

^

^{n i i i}

i

f

  

 





  ( , ) lim

0 1 (d



 dxdy)

2. 二重积分的性质 ( 与定积分性质相似 ) 3. 曲顶柱体体积的计算 二次积分法

被积函数相同 , 且非负 ,

思考与练习

y x

y x I

y x

d d

1 1

2 2







 I xy x y

y x

d d

1

2







 y x

y x

I d d

1

1 1

1

3

 





 解 : I₁, I₂, I₃

由它们的积分域范围可知

3 1

2 I I

I  

1 1

x y

O 1. 比较下列积分值的大小关系 :

2. 设 D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则

,

3 d

1 ^



D

x y

I



₂ ^



^{2 3 d ,}

D

x y

I



^



D

x y

I₃ ^{12 3} d



的大小顺序为 ( )

. )

(

; )

(

; )

(

; )

(

2 1

3 1

2 3

3 1

2 3

2 1

I I

I D I

I I

C

I I

I B I

I I

A

















提示 : 因 0 < y <1, 故y²  y  y ¹² ;

D

故在 D 上 有

,

3  0 又因 x

3 2 3

2 3

1 x y x y x

y  

y

O x 1

D

3. 计算 ^{π2 2π} sin( )d d .

0

0 x y x y

I 

 



解 :



^{cos(x  y)}



0

2π



 ^2π

0 d y



^

 ^π2

0[sin y cos y]d y



^{ cos y  sin y}





 2

x y

x y

I ^π2 d ^2π sin( ) d

0

0 



 

0

2π

4. 证明 :1



_D(sin ^x2  cos ^y2)d

^

 2, ^{其中 D} . 为

1 0

, 1

0  x   y 

解 : 利用题中 x , y 位置的对称性 , 有



_D (sin ^{x2 } cos ^y2) d





^{(sin 2 cos 2) d}

^

^{(sin 2 cos 2)d}

^ 

12



^{ }



^

 D x y D y x



^{(sin 2 cos 2)d}

^

^{(sin 2 cos 2)d}

^ 

21



^{ }



^

 D x x D y y



d ) cos

sin

( ^{2 2}



^

 D x x ^ 2



_Dsin(^{x2  π}₄) d



,

1 )

sin(

, 1

0 ² ₄^π

12

2     

 x x

 ^{又 D 的面积为}

故结论成立 . 1 ,

y

O x

1

D

1

P135 2 ， 4 ， 5 P152 1 ⁽¹⁾ , 8

作业

5 . 0 4

.

0  I  即

备用题

1. 估计 ^



_{  } 的值 , 其中 D 为

D x y xy

I 2 16

d

2 2



.

2 0

, 1

0  x   y  解 : 被积函数

16 )

( ) 1

,

(   2 

y y x

x f

 2



D 的面积

4 ) 1

0 , 0

( 

 f 的最大值 M

) , (x y f

D上 在

5 1 4

3 ) 1

2 , 1

( 2 2 

 

 f ) m

, (x y

f _的最小值

4, 2 5

2  I  故

y

O x

2

D

1

2

0  x2  y

0 )

ln(x²  y² 

2. 判断 ln( )d d (0 1) 的正负 .

1

2

2   



 





 x y

y x

y x

解：当



 x  y 1 _时，

故 ln(x²  y²)  0 又当 x  y  1时，

于是

)2

( x  y

 1

0 d

d ) ln(

1

2

2  



 

 x y

y x

y x



1 1 1 1

 x

y

O D

