第五章
定积分
积分学 不定积分
定积分
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第一节
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义
三、 定积分的近似计算
定积分的概念及性质
第五章
四、 定积分的性质
一、定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
设曲边梯形是由连续曲线 )
0 )
( ( )
(
f x f x y
， 轴
及 x 以及两直线 x a, x b 所围成 , 求其面积 A .
? A
) (x f y
矩形面积 a
h h
a
a
h 梯形面积 ( ) b
2 a b
h
y
O a b x
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x1 xi1 xi x
a b
y
O 解决步骤 :
1) 大化小 . 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分
点x x x x x b a 0 1 2 n1 n
] ,
[ i 1 i
i x x
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形
2) 常代变 . 在第; i 个窄曲边梯形上任取 作以[xi1, xi ] 为底 , f (i )
为高的小矩形 , 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 Ai , 得
) (
)
( 1
Ai f i xi xi xi xi , i 1,2,i,n )
3) 近似和 .
n
i Ai
A
1
n
i f i xi
1
) (
4) 取极限 . 令 max{ },
1 i
n
i x
则曲边梯形面积
n
i Ai
A
0 1
lim
n
i f i xi
0 1 ( )
lim
a x1 xi1 xi b x
y
O
i
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2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动 , v v(t)C[T1, T2], 且 ,
0 )
(t
v 求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤 : 1) 大化小 .
, ] ,
[ i 1 i
i t t
任取
将它分成 ,
) , ,
2 , 1 (
] ,
[ti1 t i i n 在每个小段上物体经
2) 常代变 . 代 v(i )代 代 代 代 , 得
i i
i v t
s
( )
, 1
] ,
[ 1 2 代 代 代 代 代 代 代 代
代 T T n
) , ,
2 , 1
(i n
si
) , ,
2 , 1
(i n 已知速度
n 个小段
过的路程为
3) 近似和 .
i n
i v i t
s
1
) (
4) 取极限 .
i n
i v i t
s
0 1 ( )
lim
( max )
1 i
n
i t
上述两个问题的共性 :
• 解决问题的方法步骤相同 :
“ 大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极
• 所求量极限结构式相同限 ” : 特殊乘积和式的极限
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O a b x
二、定积分定义
(P225 ), ]
, [ )
( 代 代 代 代
代 代 代 f x a b 代 代 [a, b]代 任一种分法
2 ,
1
0 x x x b
x
a n 代 xi xi xi1 , 任取 ,
] ,
[ 1
i i
i x x
i时 只要 max{ } 0
1
i n
i x
n i
i f i x
1) (
总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函 数
) (x
f 在区间
] ,
[a b 上的定积分 ,
x
1x
i1x
i
ab f (x)dx即
ab f (x)dx in
i f i x
0 1 ( )
lim
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可 积 .
记作
abf ( x ) d x lim
0
in1f (
i) x
i
积分上限
积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 称为积分区间
] , [a b
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 ,即
ab f (x) dx
ab f (t) d t
ab f (u)d u目录 上页 下页 返回 结束
定积分的几何意义 :
A x
x f x
f b
a
0,
( )d)
( 曲边梯形面积
ab f x xx
f ( ) 0, ( )d 曲边梯形面积的负值
a b
y
1 x A
A2
A3
A4
A5
5 4
3 2
d 1
)
(x x A A A A A
b f
a
各部分面积的代数和
A
O
O 1 x y
ni
可积的充分条件 :
i n
x 1 ,
ni i
取 (i 1,2,,n)
定理 1.函数 f (x)在[a,b]上连续 f (x) 代 [a,b]代 代 . 定理 2.代 代 f (x)代 [a,b]代 代 代 , 且只有有限个间断点
( 证明略 )
例 1. 利用定义计算定积 分
.
1 d
0
2 x
x解 : 将 [0,1] n 等分 , 分点
为 n
i i
x )
, ,
1 , 0
(i n
. ]
, [ )
(x 在 a b 可积 f
x2
y
i i
i
i x x
f ( ) 2
则 23
n
i
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i i
n i
x
f
) (
1
n
i
n 1i
2 3
1 ( 1)(2 1)
6 1 1
3
n n n
n 1) 2
1)(
1 6( 1
n
n
i n
i
i x
x
x
1
2 0
1 0
2 d lim
nlim
3
1
1) 2
1)(
1 6( 1
n
n
注
注
O 1 x
y
ni
x2
y
注 . 当 n 较大时 , 此值可 作为
的近似值
x x d
1 0
2
1
2 lim 1
) 2
(
p
p p
p
n n
n
n
n i
p n
lim 1
1
n i
x x p d
1
0 i
xi
例 2. 用定积分表示下列极限
:
n
n i n
i n 1 1
lim 1 )
1
( 1 2 1
lim )
2
(
p
p p
p
n n
n
解 :
n
n i n
i n 1 1
lim 1 )
1
( n n
n i
n i
1 1 lim
1
i
xi
x
x d
1 1
0
O x
n 1
i1 ni
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三、定积分的近似计算
, ] , [ )
(x C a b
f
代 则
ab f (x)d x 存在,根据定积分定义 可得如下近似计算方法 :) , ,
1 , 0
(i n
x i
a
xi
na , x b
) , ,
1 , 0 (
)
(x y i n
f i i
代
ab f (x)dx y0x y1x yn1x
)
( 0 1 1
bna y y yn 将 [a , b] 分成 n 等份 :
O a b x
y
xi
1
xi
1. 左矩形公式
)
( 1 2 n
na
b y y y
ab f (x)dx y1x y2x ynx
例 1
2. 右矩形公式
ab f (x)dx
x y
yi i ] 2[
1
1
( ) ( )
2 1
1 1
0
y yn y yn
n a
b
1
1 n
i O a b x
y
xi
1
xi
a y
O b x
1 2i
x x2i
2 2i
x
x2m
x0
ab f (x)d x
m i
i i
m i
m y y
y m y
a b
2 1
1 1
2 1
2
0 4 2
6
推导
3. 梯形公式
4. 抛物线法公式
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例 3. 用梯形公式和抛物线法公 式
x x
I d
1 4
1
0 2
解 : 计算 yi( 见右表 )
的近似值 .
13993 .
3 I
14159 .
3 I
i xi yi
0 0.0 4.00000 1 0.1 3.96040 2 0.2 3.84615 3 0.3 3.66972 4 0.4 3.44828 5 0.5 3.20000 6 0.6 2.94118 7 0.7 2.68456 8 0.8 2.43902 9 0.9 2.20994 10 1.0 2.00000
( 取 n = 10, 计算时取 5 位小数 )
用梯形公式得
用抛物线法公式得 积分准确值为
1 0 2
4 d 3.1415926
1 π
I x
x
计算定积分
四、定积分的性质
( 设所列定积分都存在 )
ab f (x)dx ba f (x)dx.
1
aa f (x) dx 0
abdx. 2
x x
f k
x x
f
k b
a b
a ( ) d ( ) d
.
3
( k 为常数 )
ab[ f (x) g(x)]dx ab f (x)dx abg(x)dx. 4
证 : n i i i
i
x g
f
[ ( ) ( )]
lim
0 1
左端
i i
n i i
i n
i
x g
x
f
( ) lim ( ) lim
0 1
0 1
= 右端
a b
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ab f (x)dx ac f (x)dx cb f (x)dx. 5
证 : 当a c b时 ,
因f (x) 在 [a,b] 上可积 ,
所以在分割区间时 , 可以永远取 c 为分 点 ,
于是
] , [
) (
b
a f i xi
] , [
) (
c
a f i xi
] , [
) (
b
c f i xi
0 令
ab f (x)dx
ac f (x)dx
cb f (x)dxa c b
a b c
当 a , b , c 的相对位置任意时 , 例
如
a b c ,
则有
ac f (x) dx
ab f (x)dx
bc f (x) dx
c
a f (x) dx
b
a f (x)dx
bc f (x)dx
c
a f (x) dx
cb f (x)dx目录 上页 下页 返回 结束
6. 若在 [a , b]
上
0 )
(
1
i i
n i
x f
则
ab f (x) dx 0. 证 :, 0 )
(x f
b
a f (x)d x lim ( ) 0
0 1
i i
n i
x f
推论 1. 若在 [a , b]
上
, ) ( )
(x g x
f 则
x x
b f
a ( ) d
abg(x)dx推论 2
. b f x x
a ( )d
ab f (x) dx 证 : f (x) f (x) f (x)) (a b
x x
f x
x f x
x
f b
a b
a b
a ( ) d
( )d
( ) d
即 f x x b f x x
a b
a ( )d
( ) d
7. 设 max ( ), min ( ) ,
] , ] [
,
[ f x m f x
M a b a b 则
) (
d ) ( )
(b a f x x M b a
m b
a
(a b)目录 上页 下页 返回 结束
例 4. 试证 : . 2 d π
1 2π sin
0
x x x证 : 设
) (x
f sin ,
x
x 则在(0, π2 )上 , 有
(x)
f cos 2 sin x
x x
x
) tan (x x
cos2 x
x 0
) 0 ( )
( )
(
f 2π f x f
即 π
2 f (x) 1, x (0, )
π 2
故 π2 dx 2π f (x)dx 2π 1dx
0 0
0
2
即 2
d π 1 2π sin
0
x x x8. 积分中值定理
, ] , [ )
(x C a b
f
若 则至少存在一点 [a,b], 使 )
)(
( d
)
(x x f b a
b f
a
证 : 设 f (x)在[a,b]上的最小值与最大值分别为 m, M , 则由性质 7 可得
M x
x a f
m b b
a
1
( ) d根据闭区间上连续函数介值定理 ,在[a,b]上至少存在一 ,
] , [a b
点 使
x x
a f
f b b
a ( )d ) 1
(
因此定理成立 .
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O a b x
y y f (x) 说明 :
都成立. 或a b
b
a
• 可把 ( )d ( )
a f
b
x x
b f
a
. ]
, [ )
( 在 上的平均值 理解为 f x a b
故它是有限个数的平均值概念的推广 .
• 积分中值定理对
a b
x x
b f
a
( )d因
n a f b
a b
n i n i
( )
1 lim
1
lim 1 ( )
1
n i
n f i
n
例 5. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平 速度 . 均
解 : 已知自由落体速度 为 v gt
故所求平均速度
v
2
2 1
1 g T
T
2
T
g
0T gt d t0 1
T
O t g v
v
T t
2
2
1 g T S
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内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限
2. 定积分的性质 3. 积分中值定理
矩形公式 梯形公式
连续函数在区间上的平均值公式 近似计算
抛物线法公式
O π x
O 1 x
n1
n2
nn1
思考与练习
1. 用定积分表示下述极限 :
n
n n
n I n
n
π ) 1 sin (
π sin 2
sin π
lim 1
解 :
1
0
sin π lim
n
n k n
I k
π 1
n
π
0πsin d π1 x x
nπ
nπ 2
n n 1)π (
或 lim sin(π )
1
0
n
n k n
I k
n
1
01sinπ x dx目录 上页 下页 返回 结束
思考 : 如何用定积分表示下述极限
n
n n
n n
I n
n
π ) 1 sin (
sin π π
sin 2
lim 1
提示 :
n
n k n
I k
1
sin π lim π
1
n
π
n n n
n
sin π lim 1
n n n
n
π ) 1 sin (
lim 1
π
0sin d π
1 x x
极限为 0 !
2. P235 题 3 3. P236 题 13 (2) , (4)
题 13(4) 解
: 设 f (x) x ln(1 x), 则 x x
f 1 1 1
)
( 0 , x (0,1] )
(x f
] 1 , 0 ( ,
0 )
0 ( )
(x f x f
0 d
)
1 (
0
f x x即 xdx 1ln (1 x)dx
0 1
0
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作业
P235
*2 (2) ; 6 ; 7 ;
10 (3) , (4) ; 12 (3) ; 13 (1) , (5)
第二节
