答案：( , )x y =(5, 3)或(3, 5) 解析：2x y+ =256=28,得x+ =y 8， ∴2x+2y =2x+28−x =40 同乘2x得(2 )x 2−40 2⋅ +x 256=0⇒(2x−32)(2x− =8) 0, ∴2x =32,8,即 5, 3 3, 5 x y  =  = ，故( , )x y =(5, 3)或(3, 5)

(1)

高雄市明誠中學高三數學平時測驗日期：100.11.03 範

圍第三回指數、對數(1) 班級三年班姓座號名

一、填充題 (每題10分 )

1、試解： ² ² ⁴⁰

2 256

x y

x y+

 + =



 = ，則序對( , )x y =___________________。

答案：( , )x y =(5, 3)或(3, 5)

解析：2^{x y}⁺ =256=2⁸,得x+ =y 8，

∴2^x+2^y =2^x+2⁸⁻^x =40

同乘2^x得(2 )^x ²−40 2⋅ +^x 256=0⇒(2^x−32)(2^x− =8) 0,

∴2^x =32,8,即 5, 3 3, 5 x y

 =

 = ，故( , )x y =(5, 3)或(3, 5).

2、解方程式

2

3 3

27 27 27 729 27 27 0

x x

⋅ x− − ⋅ + = ，則x=__________________。

答案： 3,³ x= − 2 解析：

2

3 3

27 27 27 729 27 27 0

x x

⋅ x− − ⋅ + = ⇒27 (3 )⋅ ^x ³−(3 )^x ²−729 3⋅ +^x 27=0, 設t=3^x得27t³− −t² 729t+27=0⇒t²(27t− −1) 27(27t− =1) 0

(27t 1)(t2 27) 0

⇒ − − = ,∴ 3 ¹ , 3 3

27

t= x = ( 3 3− 不合) 故 3,³ x= − 2.

3、若2^x+2⁻^x =5，試求：(1)4^x+4⁻^x= ________________。；(2)8^x+8⁻^x = ________________。. 答案：(1)23 (2)110

解析：(1)(2^x+2 )⁻^x ² =25⇒(2 )^x ²+ ⋅ ⋅2 2^x 2⁻^x+(2 )⁻^x ² =25⇒(2 )² ^x+ ⋅ +2 1 (2 )² ⁻^x=25,

∴4^x+4⁻^x =25 2− =23.

(2)(2^x+2 )⁻^x ³ =125 ⇒(2 )^x ³+ ⋅ ⋅3 2^x 2 (2⁻^x ^x+2 ) (2 )⁻^x + ⁻^x ³ =125

3 3

(2 )^x 3 1 5 (2 )⁻^x 125

⇒ + ⋅ ⋅ + = ,

∴8^x+8⁻^x =125 15 110− = . 4、若a²^x = 2 1+ ，試求：(1)

3x 3x

x x

a a

−

+ =

+ _____________。；(2)

3x 3x

x x

a a

−

+ =

− ______________。.

答案：(1) 2 2 1− (2) 3+ 2 解析：(1)

3x 3x

x x

a a

−

+ +

3 3

( ^x) ( ^x)

x x

a a

−

= +

+

2 2

( ^x ^x)[( ) ^x ^x ( ^x) ]

x x

a a ax a a a

a a

− − −

−

+ − +

= +

2 2

x 1 x

a a⁻

= − + 1

( 2 1) 1

( 2 1)

= + − +

+ = 2+( 2 1)− =2 2 1−

.(2)原式

3 3

1 1

x x x

x

a a

= +

−

6

4 2

x 1

x x

a

a a

= +

−

2 3

2 2

( ) 1

( 1)

x

x x

a a a

= +

−

( 2 1)3 1 ( 2 1)( 2 1 1)

+ +

= + + −

8 5 2

2 2

= + +

(2)

(8 5 2)(2 2) (2 2)(2 2)

+ −

= + −

6 2 2 2

= + = +3 2

5、若xyz≠0，且5^x=2^y = 10^z ，若1 1 k

x+ =y z ，試求k值為______________。.

答案：2

解析：∵

2

5 10 2 10

z x

z y

 =



 =

2

5 10 ,

2 10

z x z

y

 =

⇒ 

 =







×

 得10 10² ²

z z x+ y

= ,

∴ 1

2 2

z z

x+ y = 1 1 2 x y z

⇒ + = , 故k=2.

7、若a>0,b>0,c>0，且a^x =b^y =c^z =81,log₃abc=4，則 (1)1 1 1

x+ + =y z __________________。

(2)若x=2，試求正整數y、z之值. __________________。

答案：

解析：(1)

4

34 3

x x

a = ⇒ =a,

4

34 3

y y

b = ⇒ =b,

4

34

z z

c = ⇒c =c,

4 4 4

3^x ^y ^z abc

= + +

4 4 4

3 3

log abc log 3^x ^y ^z

⇒ = + + 4 4 4

4 x y z

⇒ = + + ,∴1 1 1 x+ + =y z 1. (2)1 1 1

2+ + =y z 1 1 1 1 2 y z

⇒ + = ⇒2z+2y= yz⇒ yz−2y−2z=0 ⇒y z( − −2) 2(z−2)=4

^⇒⁽^z⁻²⁾⁽^y⁻²⁾⁼⁴,

∴ y−2_{4 2 1} 2

z− 1 2 4

y 6 4 3 即 z 3 4 6

故( , )y z =(6, 3), (4, 4), (3, 6).

8、試解：

2

2 3

log log 4

log 2 log 27_x _y 3

x y

 + =

 + =

 . ________________

答案： ² 27 x y

 =

 =

 或

3 3

2 2 3 3 x y

 =

 =



解析：∵x>0,x≠1,y>0,y≠1,

2 3

2 log log 4

1 1 ,

3 3

log log

x y

+ =



 + ⋅ =



(3)

令X =log₂ x Y, =log₃ y，得

2 4

1 3

3 X Y

X Y

 + =

 + =







，

由②得Y+3X =3XY ⇒(4 2 ) 3− X + X =3 (4 2 )X − X ⇒6X² −11X + =4 0

^⇒⁽²^X ⁻¹⁾⁽³^X⁻⁴⁾⁼⁰,得

1 4, 2 3 3,4

3 X Y

 =

 =



，

∴ ²

3

log 1 2

log 3

x y

 =



 =



2, 27 x y

 =

⇒  = 或

2

3

log 4 3 log 4

3 x y

 =



 =



3 3

2 2 3 3 x y

 =

⇒  = .

9、試解：log (₂ 5) log (₄ 1) ¹

x− − x− =2. x=________________。

答案：9

解析：∵x− >5 0,x− > ⇒1 0 x>5, 又

1

2 2

4 4 4

log (x−5) −log (x− =1) log 4 ₄ ² 10 25 ₄

log log 2

1

x x

x

− +

⇒ =

− ,

∴

2 10 25

1 2

x x

x

− + =

−

2 10 25 2 2

x x x

⇒ − + = −

2 12 27 0

x x

⇒ − + = ⇒(x−3)(x− =9) 0⇒ =x 9 (3不合), 故x=9. 10、試解：x+log (2₂ ^x−31)=5.x=________________。

答案：5

解析：∵log 2₂ ^x+log (2₂ ^x−31)=log 32₂

2 2

log [2 (2^x ^x 31)] log 32 2 (2^x ^x 31) 32

⇒ − = ⇒ − = , (2 )^x ²− ⋅ −31 2^x 32=0 (2^x 32)(2^x 1) 0

⇒ − + = ⇒2^x =32 (−1不合), 故x=5.

11、設對數log_x₋₁(3−x)有意義，試求x的範圍. ______________________

答案：1< <x 3且x≠2.

解析：依定義可知

1 0 1 1

3 0

x x

x

− >

 − ≠

 − >



,解得 1

2 3 x x x

 >

 ≠

 <



, 所以1< <x 3且x≠2.

12、試求方程式 ₉

2

2 log ( 6) 1 2

log_x 3 x

+

− + = 的解________________.

答案：7 解析：由 ₉

2

2 log ( 6) 1 2

log_x 3 x

+

− + =

2

9 9 3

log (x 6) log (x 2) log 9

⇒ − + + =

3 3 3

log (x 6) log (x 2) log 9

⇒ − + + = ,

(4)

∴(x−6)(x+2)=9⇒x²−4x−21=0 ⇒(x−7)(x+ =3) 0, 得x=7( 3− 不合)，故x=7. 13、甲、乙兩人同解一個x的方程式, 2 logx+alog 100_x =2 ,b 已知甲只寫錯a,得兩根為10及100,

乙只寫錯b,得兩根為

3

102與

4

10 .3 試求a,b與此方程式之解x=________________.

答案：10或100

解析：2 logx+alog 100 2_x − b=0 log100

2 log 2 0

x a log b

⇒ + ⋅ x − = ⇒2(log )x ²+ ⋅ −a 2 2 logb x=0 (log )x 2 blogx a 0,

⇒ − + =

甲：log10=1, log100=2,b= + =1 2 3, 乙：

4 3

3

2 3 4

log10 , log10 ,

2 3

= = ³ ⁴ 2,

2 3 a= × =

∴(log )x ²−3logx+ =2 0 ⇒(logx−1)(logx−2)=0⇒logx=1或2⇒ =x 10或100.

14、設(0.064)^x自小數點以下到第一個不為零的數字間共有5個0，則x的整數值為__________(已知log 2=0.3010,log 3=0.4771)

答案：5

解析：log 0.064^x =xlog 0.064 2⁶ log1000

=x =x(log 2⁶−log1000)=x(6 log 2 3)− =x(1.806 3)− 1.194x

= − ,

∴− ≤ −6 1.194x< −5 ⁵ ⁶ 1.194 x 1.194

⇒ < ≤ ⇒4.2< ≤x 5.03, ∴x=5.

15、比較48¹⁰⁰及49⁹⁹的大小.(log 2=0.3010,log 3=0.4771,log 7=0.8451) ________________

答案：48¹⁰⁰>49⁹⁹

解析：log 48¹⁰⁰=100 log 48 =100 log(2⁴× 3)

=100[4 log 2 log 3]+ =100[4 0.3010 0.4771]× + =168.11, log 4999=99 log 49=99 log 7² =198 log 7 =198 0.8451× =167.3298,

∴48¹⁰⁰ >49⁹⁹.

16、若log 2, log(2^x−1), log(2^x+3)成等差，試求x的近似值________________(到小數點下第三位.

log 2=0.3010) 答案：2.322

解析：log(2^x− −1) log 2=log(2^x+ −3) log(2^x−1) 2 log(2^x 1) log 2 log(2^x 3)

⇒ − = + +

log(2^x 1)2 log(2(2^x 3))

⇒ − = +

(2 )^x 2 2 2^x 1 2 2^x 6

⇒ − ⋅ + = ⋅ + ⇒(2 )^x ²− ⋅ − =4 2^x 5 0⇒(2^x−5)(2^x+ =1) 0⇒2^x =5 (−1不合),

∴ ₂ log 5 1 0.3010 0.6990

log 5 2.322

log 2 0.3010 0.3010

x= = = − =  .

17、若log 2=0.3010,log 3=0.4771,log 7=0.8451，試求：

(1)log(10!)的近似值四捨五入到小數點下第三位________________；

(2)求滿足2ⁿ <10!的最大自然數n. ________________

(5)

答案：(1)6.5595 (2)21

解析：(1)log10! log(10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)= × × × × × × × × ×

log10 log 9 log 8 log 7 log 6 log 5 log 4 log 3 log 2 log1

= + + + + + + + + +

2 3 2

1 log 3 log 2 log 7 (log 2 log 3) (1 log 2) log 2 log 3 log 2

= + + + + + + − + + +

1 2 log 3 3log 2 log 7 log 3 1 2 log 2 log 3 log 2

= + + + + + + + +

6 log 2 4 log 3 2 log 7

= + + +

6 0.3010 4 0.4771 0.8451 2

= × + × + +

1.8060 1.9084 2.8451

= + + =6.5595.

(2) 2ⁿ <10!⇒log 2ⁿ <log(10!)⇒nlog 2<6.5595 ^6.5595 21.79 0.3010

⇒ <n = 取n=21.

18、A, B兩城市的人口數各以5%與8%增加，現在A市的人口是B市的2倍，試問幾年後B市

的人口會超過A市？________________

答案：25

解析：設B市目前的人口數為a，n年後B市的人口超過A市，

∵a×(1.08) >ⁿ 2a×(1.05)ⁿ ⇒1.08ⁿ > ×2 1.05 ,ⁿ

∴log1.08ⁿ >log(2 1.05 )× ⁿ log¹⁰⁸ log 2 log¹⁰⁵

100 100

n n

⇒ > +

2 3

[log(2 3 ) log100] 0.3010 [log(3 5 7) log100]

n n

⇒ ⋅ − > + ⋅ ⋅ −

[2 log 2 3log 3 2] 0.3010 [log 3 log 5 log 7 2]

n n

⇒ + − > + + + −

[2 0.3010 3 0.4771 2] 0.3010 [0.4771 (1 0.3010) 0.8451 2]

n n

⇒ × + × − > + + − + −

0.0333n 0.3010 0.0212n

⇒ > +

0.0121n 0.3010

⇒ > ⇒ >n 24.8, 故n=25.

19、濃度為13.6%的食鹽水100 g，從中取出15 g，再加入15 g的水，……如此這樣反覆操作，

試問第______________次後食鹽水的濃度會降到4%？(log 2=0.3010,log17=1.2304) 答案：8

解析：13.6 (1 0.15)× − ⁿ <4 ⇒3.4 0.85× ⁿ <1

取log⇒log[3.4 0.85 ]× ⁿ <log1 log³⁴ log 0.85 0 10

⇒ + n <

log 2 log17 log10 log 85 0 n 100

⇒ + − + <

0.3010 1.2304 1 n(log17 log 5 log100) 0

⇒ + − + + − <

0.5314 n(1.2304 0.6990 2) 0

⇒ + + − <

0.0706n 0.5314

⇒ > ^0.5314 7.5

0.0706

⇒ >n = ，取n=8.

20、若依據經驗，某學生英文考試成績y與每週讀書時間x (小時)的學習曲線為

2 5 2 5

10 100

1 10

x

y x

−

= − ×

+ ，

請問該生英文成績要到60分，至少要花幾小時唸書？________________ (四捨五入至小數點後第一位)

答案：2.6

(6)

解析：

2 5 2 5

10 100 60

1 10

x x

−

− × ≥

+

2 5 2 5

10 0.6

1 10

x x

−

⇒ − ≥

+

2 5 2 5

10 ^x⁻ 0.6 0.6 10 ^x⁻

⇒ ≥ + ×

2 5 3

10 2

⇒ x− ≥ ² ⁵ 3

log10 log 2

⇒ x− ≥

2x 5 log 3 log 2

⇒ − ≥ − =0.4771 0.3010− =0.1761⇒2x>5.1761⇒ >x 2.588, ∴2.6小時.

21、假設在一個社區裡有一個謠言在傳播，下面的數學模式可以表現這個謠言的傳播速度：

(1 10 0.1^d)

N =P − ⁻ ，其中P表此社區的總人口，N表示謠言開始流傳後第d天以內已經聽到這個謠言的人口數，假設某一社區有2000人，則一個謠言從開始流傳最少要多少天，才會有1200人以上聽到這個謠言？________________

答案：4

解析：2000(1 10− ⁻^0.1^d) 1200≥ ⇒ −1 10⁻^0.1^d ≥0.6 ⇒10⁻^0.1^d ≤0.4 0.1d log 0.4 2 log 2 1

⇒ − ≤ = −

10 20 log 2 10 20 0.3010 3.98

⇒ ≥d − = − × = , ∴d =4.

22、假設開車發生車禍的百分率R與駕駛者血液中酒精濃度x的關係可以用下列數學模式表之：

3 10^kx

R= ⋅ ，其中k為常數，假設血液中的酒精濃度為0.06時的車禍發生率為10% (R=10)，

試求：(1) k值________________；(2)若要使車禍發生百分率降到5%以下，必須規定駕駛者血液中的酒精濃度不高於多少？________________

答案：(1)8.715 (2)0.025

解析：(1)R= ×3 10^kx = ×3 10^0.06^k =10 ^0.06 10

10 3

⇒ k =

0.06 log10 log10 log 3 1 0.4771 k 3

⇒ = = − = − 0.5229

8.715 k 0.06

⇒ = = .

(2)3 10× ^8.715^x ≤5 ^8.715 5

10 3

⇒ x ≤

8.715 log5 x 3

⇒ ≤ 10

log 6

= =log10 log 6− = −1 0.3010 0.4771− =0.2219,

∴ ^0.2219 0.025 8.715

x≤ = .

23、已知芮氏地震強度刻度R級所釋出能量E爾格之間的關係式為logE=1.5R+11.4，若釋出能量

改為6級地震的20倍與50倍之間，試求這地震強度的範圍________________.

答案：6.87< <R 7.13

解析：logE′ = ×6 1.5 11.4+ =20.4,

∴20E′< <E 50E′

log(20E′) logE log(50E′)

⇒ < <

log 20 logE′ logE log 50 logE′

⇒ + < < +

log 20 20.4 1.5R 11.4 log 50 20.4

⇒ + < + < +

log 2 log10 9 1.5R 2 log 2 9

⇒ + + < < − + 1.3010 9 11 0.3010

1.5+ R −1.5

⇒ < < ⇒6.867< <R 7.132, ∴6.87< <R 7.13.

(7)

24、設10≤ <x 100，若logx²與log¹

x之尾數相同，求x值________________.

答案：

4 5

3 3

10,10 ,10

解析：設logx² = +m α, 0≤ <α 1, m為整數，

log1 n ,

x = +α n為整數，

2 1

logx log m n

− x = − ⇒2 logx+logx= −m n⇒3logx= −m n為整數，

又10≤ <x 100⇒log10≤logx<log100⇒ ≤1 logx<2⇒ ≤3 3logx<6,

∴3logx=3, 4, 5 4 5 log 1, ,

x 3 3

⇒ =

得

4 5

3 3

10,10 ,10

x= .

25、利用對數表計算下數的近似值³ 5.15 10.7

369

× =________________.

已知：log 5.15=0.7118, log1.07=0.0294, log 3.69=0.5670, log 5.305=0.7247 答案：0.5305

解析：設 ³ 5.15 10.7 x= 369×

log 1(log 5.15 log10.7 log 369)

x=3 + − 1

(0.7118 1.0294 2.5670)

=3 + −

= −0.2753= − +1 0.7247 = − +1 log 5.305,

∴x=5.305 10× ⁻¹ =0.5305. 26、設無窮等比級數1 ( ¹) ( ¹)²

3 3

+ − + − +的和為S，其前n項的部分和為S_n，若 ¹₄

n 10

S − <S ，則正整數n的值至少為何？________________ (已知log 2=0.3010,log 3=0.4771)

答案：9

解析： ¹ ¹ ³

1 4 4

1 ( )

3 3

S= = =

− −

,

1 [1 ( 1) ]

3 1

3 [1 ( ) ]

1 4 3

1 ( ) 3

n

Sn

− − −

= = − −

− −

,

3 1 3

[1 ( ) ]

4 3 4

n

Sn− =S − − − 3 1 1₄

( )

4 3 10

= − − n < ,即^{3 1}( ) ¹₄ 4 3 10

n < ,( )¹ ¹₄ ⁴

3 10 3

n < × 取對數得 log( )¹ log ¹₄ log 4 log 3

3 10

n < + − = − + ×4 2 0.3010 0.4771− = −3.8751, ^3.8751 8.122

0.4771 n>− =

− , ∴n=9.