貪婪法（Greedy）
Greedy基本上就是一種簡化型的DP，當你可以確定當前狀況就是接下來最好的狀況時，就可以
直接使用了。也就是直接認為目前最好的，到了下一步還是會是最好的解，這無疑是一種很符合 人性貪婪一面的算法。
用介紹的實在很難說清楚，就讓我們直接來看例題吧！
※例題 1 ─ 工作排程1
給你n個事件，每一個事件都有它的開始時間和結束時間，而在一個時間內最多只能夠有一個事 件，請問最多總共可以進行幾個事件？
※例題 2 ─ 工作排程2
給你n個工作，每個工作都有其截止期限ti，而如果你在時限前沒做那個工作的話，則要付罰金 ci。如果做一個工作需要1單位的時間，則你最少要付多少罰金？
※例題 3 ─ 誰先晚餐 ( TIOJ 1072 )
給你n個要吃晚餐的人和一個廚師。當然那些人可以同時一起吃，但廚師一次只能做一道菜。給定 每個人要吃的菜需要做多久，以及那個人需要吃多久，試問至少要多少時間，才能讓全部人都吃 完？
※例題 4 ─ Setting Problems ( ACM 11269 )
給你n個工作，每個工作都分為前段跟後段，各需要ai和bi的時間。現在有兩台機器，一台負責處 理前段工作，一台負責處理後段工作。而一個工作前段處理完後才能處理後段。請問至少要多少時 間才能處理完所有工作？
※例題 5 ─ Shoemaker's Problem ( ACM 10026 )
給你n個工作，你每項工作需要花ti天才能完成，而從你開始工作算起，每過一天，如果第i個工 作沒有完成的話，你就要付出ci的罰金，請問你要以何種順序進行這n項工作，才能使付出的罰 金最少呢？
※例題 6 ─ 背包問題
給你n個物品，每個物品都有其數量和價值，現在你有一個可以裝w個東西的背包，請問你最多 可以裝到多少價值的東西？
※例題 7 ─ Minimal Coverage ( ACM 10020 )
給你n段線段[ai, bi]，請問你至少需要幾段線段，才能覆蓋住[0, M]這段線段？
※例題 8 ─ LIS but not LIS ( TIOJ 1240 )
給你一個有n個正整數的序列，請你把它分拆成最少條的序列，使得每個序列都是嚴格遞增的。
※例題 9 ─ 經濟編碼 ( TIOJ 1155 )
給你一個要壓縮的純文字檔案，壓縮方法是把每一個字元轉換成一個由0和1組成的序列。但是為 了可以分辨所有的字元，你要確定沒有一個序列會是另外一個序列的前綴。現在給你每個字元出 現的次數，請問你要如何編碼才能使最後編出來的字串最短？
Example: 原先的編碼方式：
字元/出現次數 ‘a’/5 ‘b’/3 ‘c’/4 ‘d’/9 ‘e’/6 原本二進位碼 1100001 1100010 1100011 1100100 1100101 原本檔案長度是7*5 + 7*3 + 7*4 + 7*9 + 7*6 = 189 bits。
其中一種最佳的對應方法：
新的二進位碼 10 000 001 01 11
這麼編碼的檔案長度是2*5 + 3*3 + 3*4 + 2*9 + 2*6 = 61 bits。
※例題 10 ─ Packets ( ACM 311 )
給你一些1*1、2*2、3*3、4*4、5*5、6*6的貨物，而你要把他們裝進一些6*6的貨櫃中，請問最少需 要多少個貨櫃？
※例題 11 ─ Camel trading ( ACM 10700 )
給你一個由正整數、加號和乘號組成的算式，請問在加上括弧後，這個運算式的最大值和最小值 是多少？
※例題 12 ─ Product of digits ( ACM 993 )
給你一個正整數n，請你找出一個最小的正整數Q，使得Q的每個位數乘積是n。
※例題 13 ─ 零錢問題
給你無限量個一元、五元、十元、二十元、五十元、一百元的硬幣，現在你要湊出n元來，請問最少 需要多少個硬幣？
※例題 14 ─ Shopaholic ( ACM 11369 )
給你n樣物品的價錢，你現在每買三樣以上的物品，最便宜的那個物品就不用錢。請問在買完全部 物品後，你最多共可以省下多少錢？(和所有物品的總價錢相比)
※例題 15 ─ 寵物雞問題 ( TIOJ 1231 )
給你一個電子寵物雞遊戲，遊戲中有若干種食物，每種食物都有固定的熱量、保存期限。每分鐘你 可以從這些食物中選擇一種餵食寵物雞，但不可餵食過期的食物。而餵食每單位熱量會使體重增 加1公斤，而如果這分鐘沒有餵食，體重會減少1公斤。給定的食物種類、熱量、保存期限，以及 終止時間，找出最大的體重增加量。
※例題 16 ─ The Grand Dinner ( ACM 10249 )
給你m個團體和n張桌子，第i個團體有ai個人，第j桌子最多只能坐bj個人。現在每個團體的人 都不想和自己同一個團體的人坐同一張桌子，請問有沒有滿足上列條件的安排方式，如果有請輸 出其中一種安排方式。
※例題 17 ─ 刪位數的問題 ( TIOJ 1397 )
給你一個 n 位數的正整數 A，請問刪除其中 k 位數 ( k < n )、將剩下的數字依序合併形成一個新的 正整數B，B的最小可能值是多少？請注意，A和B的首位都不能是0。
※例題 18 ─ Minimum Sum LCM
給你一個正整數n，你要找到兩個以上的正整數，使得這些正整數的最小公倍數是n，且這些數的 和最小，請問這個和最小是多少？
※例題 19 ─ 超級撈魚活動
給你一條直線上的n個魚池，在給定的時間之內，從入口開始，沿途撈魚。每一單位的時間都可以 撈一次魚，而在每一個魚池第一次撈魚所獲得的魚數量為 Fi，第二次以後在相同魚池所撈的魚穫 量都會比前一次少Di個。此外，來往於兩個魚池之間也需要花時間，請問你在限時內最多可以撈 多少魚。
※例題 20 ─ Ferry Loading II ( ACM 10440 )
給你m個人要過河，每個人到達碼頭的時間分別為ti，而你現在只有一艘船，這艘船最多可以載 n個人過河，而這艘船需要花t分鐘到對岸，再花t分鐘回到出發處。假設上下船不需要時間，請 問最後一個人到達對岸的時間最早是多少？而船至少要出發幾次才能將所有人運至對岸？
※例題 21 ─ Work Reduction ( ACM 10670 )
給你n單位的工作，你現在有兩種操作，一種是花費A元將工作量減一，一種是花費B元將工作 量減半(無條件捨去)，你現在希望工作量恰好降到m單位，請問你至少需要花多少錢？
※例題 22 ─ MiniMice ( ACM 11411 )
給你n個正整數，每個數的強度定義為他的正因數個數。你現在要把這n個數排成一圈，使得相鄰 兩個數的強度差的最大值最小，請問這個最小值是多少？
※例題 23 ─ 搭帳棚問題 ( 2007 TOI二階模擬考 )
給你n個攤位排成一直線，每個攤位的寬度分別為wi，你現在要訂做p個寬度為s的帳棚，每個 帳棚最多只能覆蓋r個攤位，而每個攤位都要被某個帳棚完全覆蓋。現在給定wi、p和r，請問帳篷 寬度s最小要是多少？
※例題 24 ─ 照亮的山景 ( TIOJ 1404 )
給你一條山稜線，上方架設了一條直線，你希望在這條直線上架設盡量少的 燈泡，使得這條山稜線上的每一點都可以被照亮。給定山峰折線的ｎ個頂點，
以及線路高度T。試以儘量少的燈泡（如左圖中的B1,B2）照亮整個山巒。
看完上面這許多的題目後，相信大家都能體會什麼是Greedy了，Greedy其實可以是很有趣又不容 易的啊！
相關題目：ACM 10954, 11054, 11157, 11264 TIOJ 1396, 1397, 1398, 1401, 1405, 1406, 1408
並查集（Disjoint Set）（Union Find）
並查集是一個很特別的資料結構，在並查集中有若干個元素，每個元素屬於某個集合Si，而每個 集合Si則由其中的一個元素來代表。剛開始其中每個元素都分別屬於一個集合，而並查集支援兩 種操作：找出某元素所在集合和將兩個集合合併。
並查集的概念
並查集實作時會是一個森林（稱為disjoint set forest），每棵樹就是一個集合，而以那棵樹的樹根 作為那個集合的代表。對每個元素，我們記錄它的母節點，要找到一個元素所在的集合，就只要 一直往母節點找就可以了，而如果要合併集合時，就將一個集合的樹根的母節點設為例外一個集 合的樹根就好了。
為了使操作時更為迅速，我們有兩個重要的策略：path compressing和union by rank。
Path compressing：
在你尋找一個數所在集合時，每次都要往上追到樹根，才能知道這個數所在的集合，但假如我們 做了很多次一樣的查找的話，那不就很浪費時間了嗎？所以我們在每次查找時，將沿途的所有節 點的母節點直接指向樹根，這樣下次在找這些點時，就只要往上找一層就找到了！
Union by rank：
要使查找時的時間盡量減少，我們自然希望每棵樹的高度越小越好。為了這個目的，我們對於節 點，記錄它以下的子樹的深度，當要合併兩棵樹時，就將比較不深的樹的樹根接到比較深的樹的 樹根下面。
當然在path compressing時，樹的深度有可能會有變化，但我們只是為了概略的降低時間複雜度，
既然不影響正確性，這是沒有關係的。
並查集的實作
對於每個節點x，我們記錄它的母節點位置。而為了便於函數實作，樹根的母節點則指向自己。
Pseudocode：
‧合併Union(x, y)
把x和y所屬的集合合併。
UNION (x, y)
1 LINK (FIND-SET(x), FIND-SET(y))
LINK (x, y)
1 if x.rank > y.rank 2 then y.parent ← x 3 else x.parent ← y 4 if x.rank = y.rank
5 then y.rank ← y.rank +1
‧查找Find-Set(x)
查找x屬於哪個集合，回傳x所屬集合的代表。
FIND-SET (x) 1 if x.parent x
2 then x.parent ← FIND-SET (x.parent) 3 return x.parent
Union Find的均攤分析時間複雜度為O(mα(n))，其中m為總共進行了幾次Union-Find操作，n為
元素總數，α(n)為Ackermann函數的反函數，其值在n< 時<5，所以幾乎可視為常數。
※例題 ─ Friends ( ACM 10608 )
給你一個有N個居民的小鎮。當然其中有許多人是朋友的關係。根據有名的諺語：「我朋友的朋友 也是我的朋友」，所以如果A和B是朋友，B和C是朋友，那麼A和C也是朋友。你的任務是算出 在這個鎮中最大的朋友集團為多少人。
相關題目：ACM 10158, 10505, 10842 TIOJ 1312
挑戰題：TIOJ 1163
