演算法 與 資料結構 Algorithm and Data Structure
- Graph Algorithm 圖論演算法
Graph Algorithm，圖？
大概是這麼回事：處理一些問題時，我們可以把問題想像成一個圖，而圖則是由點（node）
和邊（edge）所構成的。對於一個給定的圖，我們要如何對他做一些特定 性質的分析、如何利用這個圖的性質來解決相關問題、得到我們所需的資料 這些就是圖論演算法。
Definition 定義
圖Graph：一個圖可以用G = (V,E)來表示，其中V是頂點集合，E是邊集，
相鄰Adjacent：無向圖中，兩個點v和u相鄰當且僅當v和u之間存在一條邊。
有向圖中，一般若存在一條邊(u,v)，則稱v和u相鄰（adjacent to u）。
度數Degree, Deg(v)：無向圖中，指和Deg(v)指得是和v相鄰的頂點數。
若是有向圖則可進一步分為in-degree和out-degree，意義分別為連進v 的邊數(u→v)，和連出v的邊數(v→u)。
路徑：由某個點v出發經過一系列的點而到達另外一個點u的走法。
有向圖Directed Graph：每條邊是單方向的，即一條邊(u,v)只代表能從u到v。
無向圖Undirected Graph：邊是雙向的，一條邊(u,v)代表u可以到v，v亦可到u。
權重圖Weighted Graph：每條邊有「權重」，代表這個邊所具有的數值，例如邊長。
連通圖Connected Graph：每對點之間都存在一條路徑可以相通。通常用於無向圖。
完全圖Complete Graph：任兩個點之間都有邊相連的圖。
圈Cycle：自一個點出發，可以不重複經過任何一個點而回到自己的路徑。
不含圈的圖Acyclic Graph：沒有cycle的圖。
簡單圖：不存在連接同一個點的邊（self-loop），且任兩點之間最多只有一條邊（無multi- edge）。
樹Tree：Connected acyclic graph。
Data Structures for Graph 圖的資料結構
一般來講，我們會給各個點編號，例如由0到n-1。
而邊的存法，最常見的為以下兩種：
Adjacency List相鄰串列：對於每個點，存下與它相鄰的所有頂點編號。
Adjacency Matrix相鄰矩陣：元素ADJ[v][u]代表v是否有邊到u。
兩者各有各的方便。Adjacency Matrix可以很快速的得知兩個頂點v和u間是否有邊相連，且 撰寫十分方便。Adjacency List在面對稀疏圖Sparse Graph（邊相對少）的圖時，在所需佔用 的空間、以及進行DFS時的時間，都比用Adjacency Matrix好很多（例如進行DFS時，用 Adjacency Matrix的時間複雜度是O(V2)，用Adjacency List則是O(E)）。
除此以外，亦有用Edge list等等其他資料結構，應視需要採用。
建中資訊培訓講義 (三) - by kelvin
Blind Search 盲目搜索
所謂盲目搜索，亦即對於題目沒有什麼輔助性、可供利用的結論，因此進行沒有特定策略
（Non-Heuristic）、全盤性的搜索。
BFS (Breadth-First Search) 廣度優先搜索
想法：由某個點s出發，同時拜訪（visit）所有相鄰的點，因此和s的最短距離相等的點會 在同一時期拜訪到。
實現：利用Queue來實現。
程序：
BFS (Visited, s) 1 for i ← 1 to n 2 do Visited[i] ← 0 3 Initialize Queue 4 Push(s)
5 Visited[s] ← 1
6 while Queue is not empty 7 do v ← Pop()
8 for u ← all vertices adjacent to v 9 do if Visited[u] = 0 10 do Push(u)
11 Visited[u] ← 1
DFS (Depth-First Search) 深度優先搜索
想法：由某個點s出發，到某個點v時，先任意挑一條邊繼續搜索，直到前進到某個點後若 其相鄰的點都已經被拜訪過，則回到上一個點繼續對別的邊進行拜訪。
實現：利用Stack實現。其實recursion就是一種stack。
程序：
DFS (Visited, v) // 開始時Visited[1~n]皆為0 1 Visited[v] ← 1
2 for u ← all vertices adjacent to v 3 do if Visited[u] = 0
4 do DFS(Visited, u)
DFS-ID (Iterative Deepening Depth-First Search) 漸深深度優先搜索
想法：BFS的缺點在於其佔用的空間很大；但需要進行廣度搜索時，DFS又不管用。但我們
可以使用DFS-ID。假設在所有狀態中，我們要求的是狀態S的深度，這時我們可以設
定一個「限制深度」d，使得每次DFS時搜索深度不超過d。我們讓d由1開始遞增，直 到我們可以找到狀態S為止。這個可以找到狀態S的d是最小可能的d，因此d其實就
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是我們要找的最小深度。
實現：直接對DFS稍作修改即可。
應用：在很多無法使用BFS的狀況可以省去不少時間。
Time-Stamp 時間戳記
利用DFS遍歷一個圖時，對於每個點可以紀錄他進入以及離開DFS function的時間（可以把 每個點進入、離開視作一連串的事件，時間由1開始到2n）。
這些資料可以用來解決一些相關問題。
Topological Sort 拓樸排序
對於數列我們可以進行sort，對於圖我們也可以！對於一個Directed Acyclic Graph G，我們 可以把點排序，使得當u可以到達v，u一定被排在v前面。
做法：用DFS遍歷所有的點，並紀錄其離開DFS function的時間t。對這些點依照他們的ti由 後到前排序，得到的順序即為所求。
題目一 – 塗雙色 (ACM 10004, Bicoloring)
給定一個Undirected Simple Graph，請回答是否存在一種方法，把每個點塗成黑色或白色，
且相鄰的點顏色必須不同？
題目二 – 3D迷宮 (ACM 532, Dungeon Master)
給你一個立體的格點迷宮，某些格子會是障礙物，無法通過。給定起點和終點，試問從起點 到終點最短的路徑為何？
題目三 – 字詞變換 (ACM 429, Word Transformation)
有一串詞彙代表所有的合法字串。對於一個字串S，每一次「變換」可以改變S中的其中一個 字，且不能改變它的長度，而且改變後得到的S’必須也是合法詞彙。給定兩個在合法字串中 的字串，試問至少要做幾次變換才能把其中一者變為另一者？
題目四 - Ancestor? Descendants? Siblings? Not Related?
給定一棵有root的tree的資料，可以使用O(n)的時間預處理。接下來會有很多個詢問，每個 詢問都需要在O(1)時間內達出。詢問包含兩個頂點u、v，對於每個詢問你要回答u、v之間的 關係是下列何者：
Ancestor祖先：u是v的祖先，亦即v在u的子樹中。
Descendants子代：u是v的子代，亦即u在v的子樹中。
Siblings兄弟：u和v是兄弟，亦即兩者的predecessor相同。
Not Related沒關係：不是以上三者。
題目五 - 跳格子遊戲 (NPSC 2006初賽, 題目A )
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給你一個沒有迴圈的有向圖Directed Acyclic Graph，兩位玩家輪流由起點各走一步，走到終 點的人贏。如果兩人每一步都是選擇對自己最有利的路徑，請問你最後是誰獲勝？
唔……
圖論本身就有非常非常多相關的問題，今天教的東西算是很基本的，希望大家都能弄熟。尤
其是BFS, DFS北市賽就可能遇到，千萬要寫熟啊！
[完]
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