臺北市立建國高級中學第九十九期通訊解題詳解
已知自然數n除以35、55、77之餘數分別是a、b、a+2b，其中ab 0，求a、b之 值。
【簡答】a =19，b= 14 或 a =1，b=21
【詳解】由n除以35的餘數為a，知n–a是5與7之公倍數，0＜a＜35；
由n除以55的餘數為b，知n–b是5與11的公倍數，0＜b＜55；
由n除以77的餘數為a+2b，知n– (a+2b)是7與11的公倍數，
0＜a+2b＜77，
可得 5 | n–a且5 | n–b；7 | n–a且7 | n–(a+2b)； 11 | n–b且11 | n–(a+2b)，
因此，5 | (a–b)；7 | 2b7 | b；11 | (a+b)。
令a+b＝11x，a–b＝5y，x, y都是整數，則11x + 5y＝2a，11x–5y＝
2b，
若(,)為不定方程式11x–5y＝2b的一組整數解，
則 x＝
+ 5t，y = + 11t a＝ 55t 25 11
，t是整數，
因為7 | b，又0＜a＜35、0＜b＜55、0＜a+2b＜77，討論如下：
(1) b＝7時，0＜a＜35，取(,)＝(4, 6) a＝37+55t，没有適合解；
(2) b＝14時，0＜a＜35，取(,)＝(8, 12)a＝74+55t a＝19； (3) b＝21時，0＜a＜35，取(,)＝(12, 18)a＝111+55t a＝1；
(4) b＝28時，0＜a＜21，取(,)＝(16, 24)a＝148+55t，没有適合 解；
(5) b＝35時，0＜a＜7，，取(,)＝(20, 30)a＝185+55t，没有適合 解。
所以a =19，b＝14 或 a =1，b＝21。
【評析】
這個問題的核心概念是除法原理：被除數=除數×商+餘數，其中餘數為0 或餘數的大小介於除數與0之間。本題依據除法原理，在題設條件下，立可界定 出a、b二數的範圍，並推演得知b為7的倍數、a–b是5的倍數、a+b是11的倍 數。掌握住這些資料之後，只要找到適當的切入點，從而思考開始一些推演與討 論，即可尋得a、b之值。
以上詳解只是一種較為系統化的討論示例，提供同學參考。本題共有10位 同學應徵答題，答案完全正確者有6位，只寫出一組答案者有3位，另1位同 學沒有答對。其中新北市永和國中王子杰同學、新北市康橋實驗中學蔡皓文同學、
台北市天母國中余竑勳同學、新北市文山國中牛繼緯同學與台北市師大附中高中 部蔡孟修同學表現最好，論述文字頗為流暢，說理較為清晰，討論相當完整，
值得稱道。解題過程的闡明如同寫篇論說文，敘事必須條理分明，論理必須理由 充分，文字必須通順易讀。學無止境，如何書寫計算與證明題，為了更求進步，
9901
希望同學再多努力，平時要多加練習。
滿分7分，答案正確或部分正確的6位同學成績如下：
7分：新北市永和國中王子杰同學、新北市康橋實驗中學蔡皓文同學、
台北市天母國中余竑勳同學、新北市文山國中牛繼緯同學、
台北市師大附中高中部蔡孟修同學。
6分：桃園縣桃園市新興國際中小學國中部游垚騰同學。
5分：台北市師大附中國中部徐嘉宏同學。
3分：桃園縣桃園市桃園國小李承翰同學、新竹市實驗國中張晏祥。
若x y z u, , , 均為正實數，已知2009x2 2010y2 2011z2 2012u2且 1 1 1 1
x y z u 1，求 2009x2010y2011z2012u 之值。
【簡答】 2009 2010 2011 2012
【詳解】設2009x2 2010y2 2011z2 2012u2 t 0
代入1 1 1 1
x y z u 1 2009 2010 2011 2012
t t t t 1
t 2009 2010 2011 2012
2009x2010y2011z2012u t t t t x y z u
t 2009 2010 2011 2012
。
【評析】本題利用變數變換，將四個變數統一成為單一變數，再進行適當的代數 運算即可。徵答人數共14人：
滿分7分：
新北市文山國中黃 毅、新北市永和國中王子杰、
新北市蘆洲國中謝耀慶、新北市康橋實驗中學蔡皓文、
臺北市立中正國中王元益、臺北市師大附中高中部蔡孟修、
臺北市立天母國中葉沛鎧、臺北市立天母國中余竑勳、
師大附中國中部徐嘉宏、師大附生國中部鍾尚軒、
桃園市桃園國小李承翰、桃園市立新與國際中小國中部游垚騰、
新竹市實驗國中張晏祥 得分2分：
基隆市銘傳國中柯岱佑 9902
用一平面截一個正立方體所成之截面可能是幾邊形？請舉例。
【簡答】3邊形、4邊形、5邊形、6邊形
【詳解】3邊形 4邊形
5邊形 6邊形
【解題重點】本題是典型的空間概念問題，可直接將一平面截一個正立方體所成 之各種截面圖示如上。值得一提的是上面的第四圖，當6個頂點恰 為各稜中點時，此6邊形是一個正6邊形，且原正立方體會被切 成兩個全等的立體圖形。
【評析】本次共有10人作答，分別是：台北市師大附中徐嘉宏同學，台北市私立 復興國中8年信班趙珮雅同學，新北市文山國中8年4班王子瑜同學，
新北市江翠國中8年19班范谷瑜同學，新北市蘆洲國中9年8班謝耀 慶同學，新北市永和國中8年14班王子杰同學，新北市康橋實驗中學 9年1班蔡皓文同學，桃園市新興國際中小學國中部8年1班游壵騰同 學，台北市天母國中8年5班余竑勳同學，台北市師大附中高1蔡孟 修同學。大部份同學都能圖示平面截一個正立方體所成之各種截面。其 中1人得2分，1人得5分，8人得7分。
如圖，由編號1~9號的九個邊長為1的小正方形(單位正方形)所構成的邊長為3 的大正方形，
9903
9904
每一個單位正方形方格都要塗成全黑或全白，若此33單位正方形所成之方格 中沒有一個22單位正方形所成方格為全黑，試問符合此條件的塗法數有幾種？
【簡答】417
【詳解】令n(E)「至少有一個22黑色正方形」的塗法數；
i
Q 「左上角編號為i 的22黑色正方形」的事件，i1,2,4,5；
) (Qi
n 「左上角編號為i的22黑色正方形」的塗法數，
5 , 4 , 2 ,
1
i ，則
) ( ) ( ) ( ) ( )
(E n Q1 n Q2 n Q4 n Q5
n
)]
( ) (
) (
) (
) (
) (
[n Q1Q2 n Q1Q4 n Q1Q5 n Q2Q4 n Q2Q5 n Q4Q5
)]
( ) (
) (
) (
[n Q1Q2Q4 n Q1Q2Q5 n Q1Q4Q5 n Q2Q4Q5
) (Q1 Q2 Q4 Q5
n
95 1 2 4 ] 2 2 2 4 [ 2
4 5 3 2
，
所求2995417。
【評析】本題只需對排容原理(又稱容斥原理)有一定的理解，再加上適當的集合 (事件)的分類與謹慎的計算，應可輕易答對。
本題有11人參與徵答，得到7分滿分的有9人，分別是 新北市文山國中 王子瑜同學
新北市永和國中 王子杰同學 新北市江翠國中 張允瀚同學 新北市蘆洲國中 謝耀慶同學 新北市康橋實驗中學 蔡皓文同學 台北市立天母國中 余竑勳同學 台北市立天母國中 葉沛鎧同學 台北市師大附中高中部 蔡孟修同學 桃園市立新興國際中小國中部 游垚騰同學
某次數學考試共有15題，下表是做對n(n0,1,2,,15)題的人數統計表，如果 其中做對4題以上(含4題)的學生每人平均做對6題，做對10題以下(含10題) 的學生每人平均做對4題，則這個表至少統計了多少人？
n 0 1 2 3 … 12 13 14 15
做對n題人數 7 8 10 21 … 15 6 3 1
【簡答】200 9905
【詳解】令做對n(n 0,1,2,,15)題的人數分別為a0,a1,a2,,a15， 由表可易知
91 3
2 1 0 ,
46 0 1 2 3
3 2 1
0a a a a a a a
a ，
315 15
14 13
12 ,
25 12 13 14 15
15 14 13
12a a a a a a a
a ，
另依題意
15 6 6
5 4
15 6
5 4
15 6
5
4
a a
a a
a a
a a
且0 2 10 4
10 2
1 0
10 2
1
0
a a
a a
a a
a a
，
則4a45a56a615a15 6(a4a5a6a15)
且0a0a12a210a10 4(a0a1a2 a10)， 相減可得(令T a0a1a2a15)
T a a a a a
a a
T a a a a a
a a
a a
a T a
a a a T
a a
a a a
a a a
a a a a a
a a
2 ) (
6 ) (
4 4
2 ) (
6 ) (
4
)]
( [ 4 )]
( [ 6
) (
4 ) (
6
) 3 2 1 0 ( ) 15 12
11 (
3 2 1 0 15
12 11
3 2 1 0 15
12 11
15 12
11 3
2 1 0
10 2
1 0 15
6 5 4
3 2 1 0 15
12 11
，
代入已知
T 2003.5a11，故當a11 0時，總數T 有最小值200。
而下表為一種總數 200且符合各條件的可能。
n 人數
【評析】
1. 本題作答者有11人，平均得分4.89分，其中只有台北市天母國中余竑勳 同學作答完整，且方法簡潔具巧思。
2. 這樣的題目是個半開放式的題目，主要是使用已知的條件推出總數與第11 項的關係，基本上每個同學都能找到這個關係並寫出最小值來，但是是否 有真正的一組解可以支持這個最小值是非常重要的，可惜的是大部分的同 學的都未著墨於這個點，這個問題在高中學生當中也很常見，希望中學教 育的老師能多幫助學生注意這個觀念。
