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(1)

臺北市立建國高級中學第九十六期通訊解題詳解

在坐標平面上，橫坐標與縱座標均為整數的點稱為格子點，對任意的自然數ⁿ，連接原點O與點A n n_n( , 3)，用 f n( )表示線段OA_n上除端點外的格子點的個數，

試求 f(1) f(2)  f(2012)之值。

【簡答】1340

【詳解】先注意到( ,n n 3) 1或3。分下列兩種情況討論：

Case 1. 當ⁿ不為3的倍數時，則( ,n n 3) 1。

若OA_n內有格子點( , )m l 時，其中1 m n且1  l n 3，則 ^l ⁿ ³

m n

  ，又因為( ,n n 3) 1，

可以得到^m^nk^,^l ⁽ⁿ³⁾^k，其中k為大於等於1之自然數，

此時與1 m n矛盾，因此OA_n內沒有格子點。

Case 2. 當ⁿ為3的倍數時，則( ,n n 3) 3。

設n3k，則OA_n內有格子點( ,k k1)與(2 , 2k k2)。

由以上兩個情況知道 2012

(1) (2) (2012) 2 1340

f  f   f   3  。

【評析】

1. 本題需要分析n與n+3最大公因數(n,n+3)與格子點數之間的關係。

2. 本題參與徵答有九位同學，僅有一位未算出正確答案。

3. 本題部分同學用列舉法觀察出規律並算出答案，這是值得鼓勵的方法，但是為了數學的嚴謹性，需要對觀察出的規則提出證明。

4. 本題參與徵答的10位同學中，得7分者有3人：新北市文山國中孫士明、

桃園市立新與國際中小國中部游垚騰、台北市師大附中蔡孟修，尤其以孫士明同學論述與證明均相當清楚與完整。其餘同學除一人外，均有5分以上得分，證明部分缺少了完整性，相當可惜！

計算 ⁾

9 1 4

6 3 7 2 8 1 (9 4)

1 3 2 2 3 1 (4 3) 1 2 2 1 (3 2) 1 1 (2 1

1              之值。

9601

9602

(2)

【簡答】 504 16637

【詳解】所求

9 ) 1 8 2 8 (1 2)

8 2

2 2 (1 1) 9 1

2 1

(1       



9 ) 1 2 1 8( ) 1

7 2

1 3( ) 1 8 2

1 2( ) 1 9 2

1

(           



504 16637 9

1 8 3 7 6 6 10 5 15 4 21 3 28 2

4536       

 。

【評析】本題僅需將各數項做適當的重分組，再加上基本的等差級數求和與四則運算，雖屬於較容易的題型，但亦考驗著同學們的計算能力與細心程度。有11人參與徵答，其中9人全對，分別是新北市文山國中孫士明、

新北市新店國小黃毅、新北市蘆洲國中謝耀慶、臺北市立天母國中葉沛鎧、臺北市立敦化國中靳寒、新北市康橋雙語高中附屬小學蔡皓文、臺中市立立人國中洪崗竣、桃園市立新與國際中小國中部游垚騰、臺北市師大附中蔡孟修。僅拿到部分分數的同學在計算方面宜再謹慎些。

給定銳角△PBC，PBPC，設A、D分別在PB、PC上，AC、BD相交於點 O，作OE  AB於點E，作OF CD於點F，點M、N分別為BC、AD的中點若A、B、C、D 共圓，且EM FN＝kENFM ，k為實數，求k之值。

F

M N E

O P

B C

A D

【簡答】1

【詳解】設Q、R分別是OB、OC的中點，作^EQ、^MQ、FR、MR，則

EQ＝^OQ＝RM MQ＝RO＝RF

四邊形OQMR是平行四邊形所以OQM＝ORM

∵A、B、C、D 共圓

∴ABD＝ACD

於是，EQO＝2ABD＝2ACD＝FRO

∴EQM＝EQO＋OQM

＝FRO＋ORM＝FRM 故△EQM  △MRFEM ＝FM

同理，EN ＝FN 因此，k＝1。

9603

(3)

Q R F

M N E

O P

B C

A D

【評析】

1. 本題所應用的數學性質有：

※直角三角形，斜邊的中點到三頂點等距。

※兩組對邊等長的四邊形為平行四邊形。

※平行四邊形對角相等。

※對同弧的圓周角相等。

※SAS全等性質。

※兩全等三角形的對應邊等長。

2. 適當的作補助線是幾何題的關鍵之一，此題分別取OB、OC的中點 Q、R，作補助線^EQ、^MQ、FR、MR，因此在題目的條件下，呈現幾何關係，因而解出此題。本題參與徵答者僅有桃園市新興國際中小學國中部游壵騰1人。游壵騰同學的作答詳實，可見其在幾何的解題能力很好，值得嘉許！

設集合A={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ,10}，T為A的子集，S(T) = T之所有元素的和，求全部的S(T)的總和。

【簡答】28160

【詳解】∵A的子集共有2¹⁰個，兩兩配對成(T, T)，使T  T=A，T T=

∴共可配成2⁹= 512對

全部的S(T)的總和=512(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=51255=28160。

【解題重點】上述解法是將2¹⁰個子集兩兩配對成集合A，是一種配對法的概念。

本題亦可利用分割的概念，依含1~10的子集分列，再求其總和。

或者從T所含元素個數1~10個的子集分列，再求其總和。

【評析】本次共有11人作答。獲得七分者有9人。其中用配對法有3人：

9604

(4)

新北市文山國中孫士明，台北市敦化國中靳寒，

臺北市師大附中高中部蔡孟修。

用分割法有5人：

新北市文山國中黃毅，新北市蘆洲國中謝耀慶，

台北市螢橋國中汪郁哲，桃園市新興國際中小學國中部游壵騰，

台中市立人國中洪崗竣。

用子集分列法有1人：

新北市康橋雙語高中附屬小學蔡皓文。

另有1人得2分，1人得0分。

設有ⁿ⁽ⁿ^²⁾名選手的比賽持續k天，每天各選手的得分恰為¹^,²^,^,ⁿ(沒有任何兩人有相同分數)，k 天結束時，每位選手的總分都是14。試求所有可能的數對(n,k)，並列出此時每位選手每天的得分情形。

【詳解】計算全體選手所得總分之和，

有^k⁽¹²ⁿ⁾¹⁴ⁿ，即k⁽n¹⁾²⁸，

又₂₈_₂²_₇，它共有6個不同的正因數：¹^,²^,⁴^,⁷^,¹⁴^,²⁸。

若k 1，即只有一天比賽，各選手得分不可能相同，故ⁿ^¹^³^,^k ^²，所以(n,k)可能為(13,2),(6,4),(3,7)。

我們可以列出這些解中，各選手每天得分的情形如下：

) 2 , 13 ( ) ,

(n k  時，

天數得分情形 (第1天) ¹^,²^,³^,^,¹³

(第2天) ¹³^,¹²^,¹¹^,^,¹ )

4 , 6 ( ) ,

(n k  時，

天數得分情形 (第1天) ^,1²^,^,3^,⁶

(第2天) ⁶^,⁵^,⁴^,^,¹

(第3天) ¹^,²^,³^,^,⁶

(第4天) ⁶^,⁵^,⁴^,^,¹ )

7 , 3 ( ) ,

(n k  時，

天數得分情形 (第1天) ¹^,²^,³ (第2天) ¹^,²^,³ (第3天) ¹^,²^,³ (第4天) ²^,³^,¹ (第5天) ³^,¹^,² (第6天) ³^,²^,¹ (第7天) ³^,²^,¹ 9605

(5)

【評析】本題參與徵答同學共有9人，皆得到滿分7分，分別有新北市文山國中黃毅、新北市蘆洲國中謝耀慶、臺北市立敦化國中靳寒、臺北市立螢橋國中汪郁哲、臺北市私立復興實中國中部趙珮雅、新北市康橋雙語高中附屬小學蔡皓文、臺中市立立人國中洪崗竣、桃園市立新與國際中小國中部游垚騰、臺北市師大附中蔡孟修。每位同學都答得很不錯，其中新北市文山國中黃毅同學答得尤其詳細值得鼓勵。