遞迴關係示範教學 - --夢駝林--夢駝林

遞迴關係－河內塔

(

河內塔問題

)

相傳在創世紀時代，

河內

(Hanoi)

的一座寺廟裡豎立者三根銀棒，

有六十四個大小都不同的金盤

(

金盤正中央有一小孔

)

”

大盤在下，小盤在上”依序套在同一根銀棒上。

問題

2

問題

( 2

河內塔問題

)

造物主命僧侶把

64

個金盤全部移到另一根銀棒上，

並且規定：

每^一次只能移動一個金盤，

在移動的過程中，較大的金盤不可套在較少的金盤上。

當金盤全數搬完，世界末日將降臨，

忠誠者得到好報，不忠者受到懲罰。

試問搬完

64

個金盤最少需多少次

?

移動最少次數 次

移動最少次數 次

(

河內塔問題

)

問題

3

7

15

31

63

移動最少次數 次

移動最少次數 次

(

河內塔問題

)

^{3 個金盤為例}

移動 1 次 移動 1 次 移動 1 次

移動 1 次 移動 1 次 移動 1 次 移動 1 次

(

河內塔問題

)

^{4 個金盤為例}

移動 7 次

移動 1 次 移動 7 次

(

河內塔問題

)

問題

3

金盤數n 1 2 3 4 5 6 … 次數a_n 1 3 7 15 31 63

設 a_n 代表搬完 n 個金盤所需的最少次數，列表計算，仔細觀察、歸納

：

建立遞迴關係式：

如圖所示，根據搬動的規則，

先將A棒上面 n－1個金盤先搬到銀棒 B上，則需要搬動a_n－1次。

再將A棒上面最底的第 n個金盤搬到銀棒 C上，則需要搬動 1次。

最後再將B棒上的 n－1個金盤搬到銀棒 C上，則亦需要搬動a_n－1次。

a_n ＝ a_{n － 1} ＋ 1 ＋ a_{n － 1}

所以合計搬完n個金盤所需的最少次數

遞迴關係式 a_n=2a_n1+1 ，其中 a₁=1 ^請按

我

可以 再請 按我

某些與自然數有關的問題，往往隱含固定的規律，

處理這一類的問題通常分成三個步驟：

1. 依據題設條件構造一個數列 a_n 

2. 建立相鄰項間的遞迴關係 ( 亦稱為遞迴方程式 ) 3. 解遞迴方程式，求出一般項 a_n ( 用 n 表示 )

a

_n 代表搬完

n

個金盤所需的最少次數，

問題

3

遞迴關係式

a

_n ＝

2a

_{n － 1} ＋

1

^其中

a

₁ ＝

1

當金盤全數搬完，世界末日將降臨，

忠誠者得到好報，不忠者受到懲罰。

試問搬完 64 個金盤最少需多少次 ?

a₆₄ ＝ 2a₆₃ ＋ 1

＝ 2(2a₆₂ ＋ 1) ＋ 1

＝ 2²(2a₆₁ ＋ 1) ＋ 2 ＋ 1

＝ 2³(2a₆₀ ＋ 1) ＋ 2² ＋ 2 ＋ 1 … …

＝ 2⁶³ ＋ 2⁶² ＋ …＋ 2³ ＋ 2² ＋ 2 ＋ 1 ＝ 2⁶⁴ － 1

＝ 18,446,744,073,709,551,615 一般項

a

_n ＝

2

ⁿ －

1

假設移動一次花了一秒，

將六十四層塔全部移到另一底盤，

總共需移動a₆₄ ^次，需a₆₄ ^秒，

而a₆₄=2⁶⁴-1=18,446,744,073,709,551,615 秒，

約需58 萬億年。