高等数学(上)综合自测题(一)

(1)

高等数学(上)综合自测题(一) 一

^{、填空题(本题}¹⁵^{分，每小题}³^分)

1. 设 1

( ) 1 f x x

x

 

 ^，^则

( )ⁿ ( )

f x 

 

¹

1 2 ! 1

n n

n x ^

 



2. ₂

0

d

4 8

x

x x

 

 



^₈

3. 心形线r a (1 cos )  _的全长为8a

4. 已知幂级数

0

( 2)ⁿ

n n

 a x





 ^在^x^⁰^{处收敛，在}^x^{ }⁴^{处发散，则幂级数}

0

( 3)ⁿ

n n

 a x





 ^的

收敛域为 (1,5]

5. 已知 f(x)x(xa)³在x1处取极值，则a 4 二、选择题(本题15分，每小题3分)

1. 设

sin 2 1

, 0

( )

0 x e ax

f x x x

a x

   

 

 



在 x0_{处连续，则}a_（

D ）

（A） 1 （B） 0 （C）e _（D）1

2. 设函数 f(x)_{在定义域内可导，}y f(x)_{的图形如右图所示，}

则导函数y f(x)_{的图形为（}_{C ）}

(2)

3. 设 f(x)_连续，且 ( ) ( )d

ex

F x x f t t





 ^，则^F^^(x⁾^为（ ^A ^）．

（A）e^^xf(e^^x) f(x) （B）e^^xf(e^^x) f(x)

（C）e^^xf(e^^x) f(x) （D）e^^xf(e^^x) f(x) 4. 设 f x( )是连续函数，且 ¹

( ) 2 0 ( )d

f x  x



f t t^，则^{f x}^{( )}^^{( C )}

(A)

2

x (B)

2

2 2

x  (C)x1 (D)x2

5. 设 f x( )是周期为_{的周期函数，它在}[ , )上的表达式为 f x( )x，设S x( )为

( )

f x _在(  . )_上Fourier级数展开式的和函数，则S x( )=( C )

(A) S x( ) f x( ) (B) 0, (2 1)

( ) , 0, 1, 2,

, (2 1)

x k

S x k

x x k



 

      

(C) S x( )x (D) 0, (2 1)

( ) , 0, 1, 2,

( ), (2 1)

x k

S x k

f x x k



 

      

三. (10分) 设函数 f(x)_{有连续导数，且} f(1)3_，求极限

0

lim d (cos ) d

x f x

x

 

 

 

 ^.

解. 因 d 1

(cos ) (cos )( sin )

d f x f x x 2

x    x _{, 所以}

0 0

d sin 1 3

lim (cos ) lim (cos ) (1)

d 2 2 2

x x

f x f x x f

x x

 

 

 

          

   

      ^.

四、(16分，每小题8分)求解下列各题

(3)

1. 求

1

0 1

1 1

lim arctan 1

x

x x

e e x







．

2. 设









0 1

1 2 y te

t x

y 确定y y x( )_{, 求}

0 2 2

d d



x t

y

解. 1. 因

1

lim0 ^x x _e

  ^,

1

lim0 ^x 0

x _e

  ^,^故

1 1

0 0 0

1 1 1 1

lim arctan lim lim arctan ,

1 1 2

x x

x x x

x x

e e

x x

e e



  



   

   

 

1 1

0 0 0

1 1 1 1

lim arctan lim lim arctan ,

1 1 2

x x

x x x

x x

e e

x x

e e



  

  

   

 

因此,

1

0 1

1 1

lim arctan 1 2

x

x x

e e x





 



2. 由



1



2

1 

 x

t 得



x1



e^y 2y20

上式对x_求导得^e^y ^



^x^¹



^e^y^y^^²^y^^⁰ （1）

再对x_求导得 2e^yy



x1

   

e^y y ²  x1



e^yy2y0 （2）

0

t 时得 x1,y 1_{，代入（}1 ）式得 ₀ ¹

2 1 _

 

 e

y _t 。代入（2）式得

2

2 2

0

d 1

d _t 2

y e

x





 .

五．(16分，每小题8分)求解下列各题：

1. 在闭区间[0,1]上给定函数yx²，点t在什么位置

时，面积S₁和S₂之和分别具有最大值和最小值？

2、

0^N^

1 sin 2 d  x x



解1. ₁ ² ² ³

0

( )d 2 3 S 



t t x x t ^，

1 2 2 2 3

2

1 2

( )d

3 3

S 



t x t x  t t ^，

 1

t 1

0 x

S₂ S₁

y

(4)

又 3 ) 1 0 ( ) 0

( ₂

1 S 

S ， 1 2

1 1 1

2 2 4

S    S     ^， 3 ) 2 1 ( ) 1

( ₂

1 S 

S ，故当 t1时，

3 ) 2

max(S₁S₂  ；当

2

 1

t 时，

4 ) 1 min(S₁ S₂  . 2.

0^N^ 1 sin 2 d x x N 0^ sinxcos dx x

 

4

0 4

[ (cos sin )d (sin cos )d ] 2 2

N x x x x x x N

 





 



  

六. (10分) 设 f x( )x³sinx, 求 f⁽¹⁰⁾(0).

解：因为 )

! 7

! 5

! ( 3 ) (

7 5 3

3    

 x x x

x x x

f ^,又 ⁿ

n n

n x x f

f



^



0 ) (

! ) 0 ) (

( ,

比较得 7! 1

! 10

) 0

)(

10

( 

f , 即 ⁽¹⁰⁾ 1

(0) 10! 720

f  7!  ^.

七、(10分) 求幂级数



^



 



1

) 4 ) (

1 (

n

n n

n x ^{的收敛域及和函数}^S⁽^x⁾^.

解.

1

lim ⁿ lim 1 1

n n

n

a n

R ^ a _ ^ n

    _，所以，_₁__x_₄_₁_，₃__x_₅.当x3时，

级数成为

1

n n





 

 

 



，由调和级数知发散；当x5时，级数成为



^





1

) 1 (

n

n ^{，由交错级数}

的Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所以收敛区间为(3,5].设



^



 

 

1

) 4 ) (

1 ) (

(

n

n n

n x x

S ，则

3 1 ) 4 ( 1 ) 1 4 ( ) 1 ( ) (

1

1 1

 



 



 



^





x x x

x S

n

n ，所

以, 和函数为

) 5 3

( ), 3 ln(

)

(x  x x

S .

八、(8分)设 f x( )_在[0,1]_{上可微，且满足} ¹²

(1) 2 0 ( )d

f 



xf x x^，试证在^[0,1]^{内至少有一点}

(5)

，使 ( )

( ) f

f  

    .

证. 由积分中值定理，存在 1

0,2

  

   ^，有

1 2 0

(1) 2 ( )d 2 1 ( ) ( ) f 



xf x x  2  f  f

令F x( )xf x( )，则^F⁽^x⁾在[ ,1] 上连续，且有F(1) f(1)  ( )f F( ) ，由Rolle 定理，存在 [ ,1]_使F^( )  f( )  ( ) 0f^  _，从而 ( )

( ) f

f  

    .

高等数学

(

上

)

综合自测题

(

二

)

一、填空题（每小3分，共15分）

1.设 sin cos 1

2

f  x  x ^，则 cos 2

f  x  ^{1 cos}^ ^x

2. 设 f(x)(1cosx)^x^¹sin(x² 3x)，则f(0) 6

3.设 ^{f x}

 

在



^0,^



内可导, 且当x0时,有



f x( )d³ x(x1)e^^xC,^则 ^f⁽¹⁾^ ^e^¹ 4.设

, 0

( ) 0, 0

1,0

x x

f x x

x

 



   



 

  



的以2 为周期的Fourier级数的和函数为S(x)，则S(x)在



^^{ }^,



上的表达式为

, 0,

1, 0 , ( ) 1, 0,

2

1, . 2

x x

x

S x x

x

 



   

  

 

  



  



5.设函数F(x)是

x x

ln 的一个原函数，则d ( )²

x

F e  d 4 x x

二、选择题（每小题3分，共15分）

1.若 ( ) ( 1)



  x x

a x e

f ^x ，x0为无穷间断点，x1为可去间断点，则a_{（ C ）.}

（A）1; （B）0; （C）e ; （D）e^-1

2.设 ^{f x}

 

在x0的某个邻域内连续，且 f(0)0_， ( ) 1

lim 

x x f

，则在点x0处

(6)

) (x

f （ D ）

（A）不可导（B）可导，且 f(0)0 （C）取得极大值（D）取得极小值

3.若 f(x) f(x)(x)_，在



^^,0



内 f x( ) 0, f x( ) 0 _内, 则在(0,)_（ C ）

（A） f(x)0, f (x)0 （B） f(x)0, f (x)0

（C） f(x)0,f (x)0 （D） f(x)0, f (x)0

4.设 ^{f x}

 

^在

 

^{a b}^, ^{上二阶可导，且} ^f⁽^x⁾^⁰^, ^f^⁽^x⁾^⁰^,^f ^⁽^x⁾^⁰^.^记



 ^b

a f x dx S₁ ( )

S₂  f(b)(ba)， ( )

2 ) ( ) (

3 f a f b b a

S    ，则有（ B ）.

（A）S₁S₂ S₃ （B）S₂ S₃S₁ （C）S₃ S₁S₂ （D）S₁S₃ S₂

5.设幂级数



^

1 n

n nx a _与



^

1 n

n nx

b _{的收敛半经分别为}

3 1 3

5

与

^{，则幂级数}



^

1 2 2

n

n n n x b

a 的收敛半经

为（ A ）

（A）5 （B）

3

5 _（_C_） 3

1 （D）

5 1

三、解答下列各题（每小题6分，共30分）：

1. 求曲线















t y

t x

arctan 2

) 1 ln( ²

 ^的与直线^x^²^y^⁰^{平行的切线方程.}

解. 因为d 1

d 2

y

x   t , 直线的斜率为

2

1



k ,由条件有

2 1 2

1 

 t ^,故^t ^¹^{.从而切点为}

ln 2, P 4

 

 ^,^{于是所求切线方程为} ( ln2) 2

1

4  

 x

y 

,即2x4y 2ln20.

2. 求曲线 )

2 0 1

( ) 1

ln(  ²  

 x x

y 的弧长.

解. 因为 ₂ ² ₂²

1 1 1

1 , 2

x y x



 

 



 

 ,

所以

1 1 2

2 2 2

0 0 2

1 1

1 d d ln 3

1 2

s y x x x

x

 

     

 

 ^.

(7)

3. 设 f(x)_{具有二阶导数，} ² 2

( ) lim ( ) ( ) sin

t

F x t f x f x x

t t



 

     ^.求^{dF x}

 

解. 令

h1t，则 ( 2 ) ( ) sin 2 ( )

lim )

( 0 xf x

h hx h

x f h x x f

F  t     

 .

从而F(x)2f(x)2xf (x)_，d ( )F x F x dx( ) 2[ ( )f x xf x( )]dx.

4.y

 

x 表示不超过x_{的最大整数，计算}



₂¹⁰_



^x^

 

^x



^d^x^.

解. f(x) x

 

x 是周期为1的可积函数, 根据周期函数定积分的性质, 有

     ^{ } 

10 1 1

2 x x dx 12 0 x x dx 12 0x xd 6

     

  

^.

5.将函数 x x

x x x

f  



  arctan

2 1 1

ln1 4 ) 1

( 展开成x_{的幂级数.}

解. 1 , ( 1 1)

1 1 1 1

1 2 ) 1 1

1 1

( 1 4 ) 1 (

1 4 4

2     

 

 

 

 

 



^



x x x

x x x x

f

n

n ，

且 f(0)0.积分得

4 4 1

0 0

1 1

( ) ( )d d 1 , ( 1 1)

4 1

x x n n

n n

f x f t t t t x x

n

 



 

 





 







 



    ^.

四. ( 8分）设 ^{f x}

 

在



^{0, 2a}



^{上连续，且} ^f⁽⁰⁾^ ^f^{(2 )}^a ^{, 试证在}

 

^0,^a ^{上至少存在一点}^^，

使 f() f( a).

证. 作辅助函数F x( ) f x a(  ) f x x( ), [0, ]a , 则^{F x}

 

在

 

^0,^a 上连续, ).

( ) 2 ( ) ( ), 0 ( ) ( ) 0

( f a f F a f a f a

F    

且

依题意 f(0) f(2a),_则 ).

0 ( ) ( ) 0 ( )

(a f f a F

F   

若 ^f

 

⁰ ^ ^{f a}

 

, 则^F

 

⁰ ^^{F a}

 

^⁰, 取 0或a_{, 得结论成立;}

若 f(0) f a( ), 则F(0)F a( ) 0 , 由闭区间上连续函数的零点定理知, 至少存在一点 (0, )a

 _使F( ) 0  , 即 f( )  f(a).

五（8分）试确定常数a,b的值，使













 

0 , 5 sin

, 0 , ) 3

(

2

x x x

a

x bx

x e f

x

在x0处可导.

(8)

. ) 5 sin (

lim ) 0 0 ( ), 3 ) 3

( lim ) 0 0

( 0

2

0 e bx f a x x a

f x

x

x       



 _ _



 因 ^{f x}

 

在 x0

处可导必连续, 则 f(0 0)  f(0 0)  f(0), 从而得 a 3^,即a9^. 再讨论 ^{f x}

 

在x0处的可导性.

, ) 6

1 ( lim 3 lim3

0 ) 0 ( ) lim ( ) 0 (

2

0 2

0

0 b b

x e x

a bx e x

f x f f

x x

x        



 

      



0 0

0

sin 5 sin 5

(0) lim lim ( )

1 1

lim 5 5,

2

x x

x

a x x a a x a x

f x x x

a x a a

 



  



    

   

   

 

由 f_(0) f_(0)得 1

6 5

b 2

  a  _{, 则} 5

b 6. 因此当 5

9, 6

a b  时, ^{f x}

 

^在^x^⁰^处

可导.

六（8分）设 ^{f x}

 

在

 

^{a b}^{, (0}^{ }^{a b}⁾^{上连续, 在}^{( , )}^{a b} ^{内可导，证明在}⁽^a^,^b⁾^内存在^^,^^使

得 () ² f () f  ab  .

证. 对 ^{f x}

 

和 1 ( )

g x  x在

 

^{a b}^, ^上应用^Cauchy^{中值定理, 存在}^^^{( , )}^{a b} ^使

), 1 (

) ( 1

1

) ( )

( ₂

2



 f

f a

b a f b

f  



 



即 ( ) ( ) ² ( ). ab f a

b a f b

f  



 _由_Lagrange_{中值定理知}_,_存

在(a,b),

使得

( ) ( ) f (), a

b a f b

f  



 于是 ² ( )

( ) f

f ab

 

 

  ^.

七（8分）设曲线











 bt t y

at x

2 3

(a0,b0)_在t 1时切线斜率为

3

1，问a,b_{为何值时，曲}

线与x_{轴所围部分面积最大？}

解. 因 ₂

1

d 2 d 2

d 3 ,d _t 3

y t b y b

x at x _ a

 

  _{.依题意, 曲线在}_t _₁_{时切线斜率为}

3 1, 则

3 1 3 2 

a

b ,

即ab2. 又曲线与x_{轴两交点坐标分别对应}t0和t b, 则所求面积

2 2 5

0

( )3 d 3 20 S 



b t bt at t  ab ^.

从而 3 (2 ) , 0 )

(b  b b⁵ b

S .

(9)

令 (10 6 ) 0 20

) 3

(  ⁴  

 b b b

S , 得

3

 5

b .

当 3

0b5时, S(b)0_{, 而当} 3

5

b 时, S(b)0. 所以 3

5

b 是S(b)_{的惟一极大值点}, 也是最大值点, 因此当

3 , 5 3

1 

 b

a 时, 曲线与x_轴所围

成的面积最大.

八、（8分）设

0ⁿ sin d ( 1, 2, )

an 



^x x x n ^ ^{，试求级数}



^

13

n n

an

的和.

解.令xn t, 则

0ⁿ ( ) sin d 0ⁿ sin d 0ⁿ sin d an 



^ nt t t n 



^ t t



^t t t^,

从而 ²

0 sin d 0sin d ,( 1, 2, )

2 2

n n

a  



^ t t  n



^ t t n  n ^ ^,

于是

 

^







1 2

13 n 3n

n n

a  .

考虑幂级数 ( ), 1

1

2  



^



x x S x n

n n

已知 , 1

1 1

1

 



^ 



x x x

n

n , 求导得 ₂

1 1

) 1 (

1 nx x

n n

 



^



 , 推出 ₂

1 (1 x)

nx x

n n

 



^



.

再求导得 ₃

1 1 2

) 1 (

1 x x x

n

n n



 



^



 ,于是 , 1

) 1 (

1 3

2 



 



^



x x x x x

n

n .

令 3

 1

x 得

2 3

13

2 



^



n n

n . 故所求级数之和为

2 3

.

高等数学(上)综合自测题(一)