106 學年度四技二專第二次聯合模擬考試共同科目數學(A)卷詳解

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106-2共同科目數學(A)卷詳解

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106 學年度四技二專第二次聯合模擬考試共同科目數學 (A) 卷詳解

數學(A)卷

106-2-A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B C D D D C A B C C B C D A A A C A D C B B A D B

1. 如右圖， 12

tan 10 5

BC BC A AB  5BC 120 BC 24

   

所以AC 10²24²  100 576 676 26

 

故ABC_的周長為

10 24 26 60 AB BC AC      應選(B)

2. sin 30 cos 45²  tan 60² 

2 2

1 ( 1 ) ( 3) 1 1 3 4

2 2 2 2

       _，應選(C)

3. 設圓心角 3

135 4

     _，r8

則弧長 8 3 6 s r   4   扇形面積為 1 1

8 6 24

2 2

A rs     _，應選(D) 4. tan( 300 ) tan( 360       60 ) tan 60  3_，應選(D) 5. cos 25 sin 65 sin 25

cos 25

cot 25 1

sin 25

  

 ，tan 25 sin 25 1 cos 25

  

 所以cot 25 tan 25

又因cos 25 1，所以sin 25

sin 25 cos 25

  

 即tan 25 sin 25

由知sin25°為最小，應選(D) 6. (3 ,t2)，  ( 1 , 3)，因

所以 3² (t 2)²  ( 1) ²3² 9 (t 2)2 10

     (t 2)² 1 2 1

  t 或t  2 1，解得t3或1，3及1就是t 的兩個解 _、 _，故    3 1 4，應選(C) 7.  ( 5 , 3a)，   ( 1 , 2)

所以     ( 5)( 1) (3 a)( 2) 7 

5 6 2a 7 2a 8 a 4

        ，應選(A) 8.  ( 1 , 10)，   ( 2 , 3)， (3 , 7)

所以

3( 1 , 10) 2( 2 , 3) (3 , 7)

       ( 3 , 30) ( 4 , 6) (3 , 7)

       (4 , 29)，應選(B)

9. 在正 ABC 中，與的夾角為 60°，所以

6 6 1 18

   2 ，應選(C)

10. 利用綜合除法：

1 11 26 17 10 8 8 24 16 8 16

1 3 2 1 2 16

    

 

    

a

由已知得a16 18 _，解得a2_，應選(C)

11.

2

2 4 3 2

4 3 2

3 2

2 2

3 4

2 2 3 0 5

2 3

3 3 6

4 6 5

4 4 8

2 13

 

     

 

 

  

 

 



x x

x x x x x x

x x x

x x

x x x

x x

x

所以餘式為2x13_，即a2_，b 13 故a b   2 ( 13) 15 _，應選(B) 12. 由餘式定理知，所得餘式為

2017 100

( 1) ( 1 2) ( 1) 1

f           1 1 1 1_，應選(C) 13.

1

3 1

327 (3 )3 3

a  

1 1 1

4 4 2 2 2 2

3 9 [3 (9 ) ] (3 9 )

b    

1 1 5

4 2 5 2 2

(3 3 ) (3 ) 3

   

1 1 4

5 4 5 5

81 (3 ) 3

c  

因底數3 1 _且指數5 4

2 1 5_，所以3⁵² 3¹ 3⁴⁵ 故b a c  _，應選(D)

14. 設AB邊上的中點為D 則 (4 0 4 6, ) (2 , 5)

2 2

D   D

故AB邊上的中線CD的長為

2 2

(2 2)   ( 2 5) 7 應選(A)

15. 由 tan 0 _且sin 0 知_{的終邊落在第二象} 限內，如右圖

所以sin 3

 5 sec 5

  4

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故5sin4sec 5( ) 4(3 5)

5 4

      3 5 2_，應選(A) 16. cos150 tan 300  cos(180   30 ) tan(360  60 )

3 3

( cos30 ) ( tan 60 ) ( ) ( 3)

2 2

           _，應選(A)

17. ² ³ ²

3 2

2 2

7

2 3 11

2 3

( 2) 14

7 14 21

0



    

 

  

  x

x x x ax x b

x x x

a x x b

x x

因為整除，所以a   2 7 a 9，b 21 故3a b   3 9 21 6 ，應選(C)

【另解】

2 3 2

(x 2x3) | ( )f x x ax 11x b ( 3)( 1) | ( )

 x x f x

( 3) | ( ) ( 3) 0 ( 1) | ( ) (1) 0

  

 

   

x f x f

9 60 9

3 6

12 21

  

 

         

a b a

a b b a b ，應選(C)

18. 設A( 4 , 5) 到直線L的垂直線段為AB，且點B a b( , ) 在L上，則點( 3 , 2) 為線段AB的中點

即( 4 ,5 ) ( 3 , 2) 4 3

2 2 2

a b a

    

     ，5 2

2

b

 解得a 2，b 1，故點B( 2 , 1) 

又線段AB的斜率為 5 ( 1)

4 ( 2) 3

   

   ，因線段AB垂直直線L，所以直線L的斜率為1

3，故L的方程式為 ( 1) 1[ ( 2)]

  3  

y x  x 3y 1 0，應選(A)

19. 由 1

sin cos

  2兩邊平方得

2 2 1

sin 2sin cos cos

   4 1 2sin cos 1

  4

   1 1 3

sin cos (1 )

2 4 8

 

   

故tan cot sin cos sin² cos²

cos sin sin cos

   

 

   

    

1 1 8

sin cos 3 3

8

 

   ，應選(D)

20. 設 f x( ) ( x1)(x2) ( )Q x ax b ，由題意及餘式定

理知 (1) 4

( 2) 5 f

f

 

   



4

2 5

a b a b

  

    











 得3a9，a3代入式，解得b1 故餘式r x( )ax b 3x1，則r(2) 3 2 1 7    應選(C)

21. 原式 3 ⁴ ¹⁴ 2 ² ¹² 1 ² ³² [( ) ] [( ) ] [( ) ]

2 3 2

  

  

1 1 3

3 2 1

( ) ( ) ( )

2 3 2

  

   2 3 ¹ ³ ³

(2 ) 2 8

3 2

 

     ，應選(B) 22. ax by c  0 ax by  c

a x b y 1

c c

  

 

x y 1

c c

a b

  

 

因圖形通過第一、三、四象限所以 c 0

 a ， c 0

 b 即ac0，bc0

由ac、bc異號知( )( ) 0ac bc  abc²  0 ab0 故點P ab bc( , )落在第二象限內，應選(B)

23. 2

1

9 3 2

1 2 1 log 3 log 3

2 4

a   

由log 4_b  2_知b^² 4

2 2

1 1

4 b 4

b    1

b 2

   但已知b0_，所以 1

b2 由 1

4

log c 0.25_知 1 ^0.25 ² ¹⁴ ¹²

( ) (2 ) 2 2

c 4 ^  ^ ^  

故 ² 1 1 ²

4 2 4 2 ( 2)

4 2

a b c         1 1 2 4 應選(A)

24. x²  x 6 (x2)(x3)

設f x( ) ( x² x 6) ( ) 3Q x1  x10 (x 2)(x 3) ( ) 3Q x1 x 10

     

2

( ) ( 6) ( )2 3 g x  x  x Q x  x

(x 2)(x 3)Q x2( ) x 3

     

則f( 3) 3( 3) 10 1     _，g( 3)     ( 3) 3 6 所以以x3_除2 ( )f x g x( )_{所得的餘式為}

2 ( 3)f       g( 3) 2 1 6 8_，應選(D)

25. 原式 2 ₂ ¹² 4 ₂ ¹² ₂ 5

log (125) log 8 log

3 3 32

  

1 2 1 4

2 3 2 3

2 2 2

log (125) log 8 log 5 32

 

  

1 2

3 3 3 3

2 2 2

log (5 ) log (2 ) log 5

   32

2

2 2 2

log 5 log 2 log 5

   32

2 2

2

5 5

log ( ) log

5 5

2 32 8

 



1 2

3

2 2

log 8 log 2 3 6 1 2

   

應選(B)

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