高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：106.03.17 範
圍 2‐1集合、計數原理 班級 一年____班 姓 名
座號
一、填充題(每題10分)
1.設集合A含有7個元素﹐集合B含有5個元素﹐即n(A) 7﹐n(B) 5﹐
則(1)A B最多有____________個元素﹐最少有____________個元素﹒
(2)A B最多有____________個元素﹐最少有____________個元素﹒
解答 (1)50;(2)127
解析 (1)當B A時﹐A B B﹐A B A﹐
∴A B最多有5個元素﹒ A B最少有7個元素﹒
(2)當A B 時﹐
A B最多有5 7 12個元素﹒ A B最少有0個元素﹒
2.設集合S {1,2,,{1,2}}﹐下列何者為真﹐請填入正確代號﹕____________﹒
(A)1 S (B){1,2} S (C){1,2} S (D) S (E) S (F){} S﹒(G)S的部分集合有32個 解答 ABCDEF
解析 (A)⃝﹕1為S中之元素﹐∴1 S﹒
(B) ⃝﹕{1,2}為S中之元素﹐∴{1,2} S﹒
(C) ⃝﹕{1,2}為S之部分集合﹐∴{1,2} S﹒
(D) ⃝﹕ 為S中之元素﹐∴ S﹒
(E) ⃝﹕為任一集合之部分集合﹐∴ S﹒
(F) ⃝﹕{}為S之部分集合﹐∴{} S﹒
(G) X﹕S的部分集合有24 16 個 故填(A)(B)(C)(D)(E)(F)﹒
3.設A {2 , 4 , a 1}﹐B { 4 , a 2 , a2 2a 3}﹐已知A B {2 , 5}﹐則(A B) (A B) ______﹒ 解答 { 4,4}
解析 ∵A B {2 , 5}﹐5 A a 1 5 a 4﹐
∴A {2 , 4 , 5}﹐B { 4 , 2 , 5}﹐A B { 4 , 2 , 4 , 5}﹐
∴(A B) (A B) { 4 , 4}﹒
4.設A {a , 1 , 3 , 4}﹐B {b2 , b 1 , 5}﹐b 0﹐若A B {1 , 2 , 3}﹐則a b的值為____________﹒
解答 5
解析 ∵A B {1 , 2 , 3}﹐∴2A a 2﹐
A {1 , 2 , 3 , 4}﹐又A B {1 , 2 , 3}﹐∴4B﹐
當b2 4 b 2﹐∵b 0﹐∴b 2﹐∴B {4 , 3 , 5} 不合﹒
當b 1 4 b 3﹐∴B {9 , 4 , 5} 合﹒
由可知﹐a b 5﹒
5.設A﹐B﹐C為三集合﹐若A B {1 , 2 , 3 , 4 , 5}﹐A C {2 , 4 , 6 , 8 , 10}﹐則A (B C) _______﹒
解答 {2 , 4}
解析 A (B C) (A B) (A C) {2 , 4}﹒
6.設A {x , y , z}﹐B {x 1 , 2 , 3}﹐若A B﹐則數對(x , y , z)共有____________組﹒
解答 5
解析 當A B時﹐x 2或x 3﹐
當x 2﹐B {3 , 2 , 3} {2 , 3}﹐A {2 , y , z}
y 2﹐z 3或y 3﹐z 2或y 3﹐z 3﹐共有3組﹒
當x 3﹐B {4 , 2 , 3}﹐A {3 , y , z}
y 2﹐z 4或y 4﹐z 2﹐共有2組﹒
由可知﹐共有5組為(x , y , z) (2 , 2 , 3)﹐(2 , 3 , 2)﹐(2 , 3 , 3)﹐(3 , 2 , 4)﹐(3 , 4 , 2)﹒
7.設A {x | x2 ax 3 0}﹐B {x | x2 ax b 0}﹐若A B { 1}﹐則數對(a , b) ____________﹒
解答 (2 , 1)
解析 1代入A集合中﹐得1 a 3 0 a 2﹐
1代入B集合中﹐得1 a b 0 b 1﹐
∴(a , b) (2 , 1)﹒
8.設集合A {x| 2 x 5}﹐B {x|2 x 7}﹐
求(1)A B ____________﹒ (2)A B ____________﹒
解答 (1){x| 2 x 7}; (2){x| 2 x 2}
解析
(1)A B {x| 2 x 7}﹒
(2)A B {x| 2 x 2}﹒
9.設A {x | 15 x 39}﹐B {x | k x k}﹐當A B成立時﹐k的最小值為____________﹒
解答 39
解析 ∵A B﹐∴k 39﹐∴最小值為39﹒
10.設A {x | | x 3 | 2﹐x為實數}﹐B {x | | x 4 | k﹐x為實數}﹐若A B時﹐則k值的範圍 為____________﹒
解答 k 9
解析 | x 3 | 2 2 x 3 2 5 x 1﹐
| x 4 | k k x 4 k 4 k x 4 k﹐
∵A B﹐∴4 k 5且4 k 1 k 9且k 5﹐故k 9﹒
11.一房子有4門5窗﹐當失火時﹐門窗均可作為逃生之用﹐問共有____________種逃生的方法﹒
解答 9
解析 加法原理4 5 9（種）﹒
12.有8個信號燈﹐每個可能亮與不亮﹐則此8個信號燈可作出____________種不同信號﹒
解答 255
解析 每個燈皆有亮與不亮二種選擇，但全部不亮不是燈號﹕∴28 1 255（種）﹒
13.正整數4725的(1)正因數有____________個﹐(2)其中3的倍數有____________個﹒
解答 (1)24;(2)18
解析 4725 33 52 71 3(32 52 71)
(1) 4725 33 52 71正因數有(3 1)(2 1)(1 1) 24個﹒
(2) 4725 33 52 71 3(32 52 71)3的倍數有(2 1)(2 1)(1 1) 18個﹒
14.A {(x , y) | 2x y 1}﹐B {(x y , x y) | 4x 2y 1}﹐C {(x , y) | x y 2}﹐求 (1) A C ____________﹒(2) A B ____________﹒
解答 (1){(1 , 1)};(2){(2, 1 5 5)}
解析
(1) 2 1
2 x y x y
∴x 1﹐y 1﹐∴A C {(1 , 1)}﹒
(2)設( , )a b A B ( , )a b A a b,( , )B ( , )a b A 2a b 1…….①﹐
( , )a b B a x y﹐b x y﹐則 2 2 a b x a b y
∴ 2 2 a b x y a b
代入4x 2y 1 4 2 1
2 2
ab ab ﹐
∴2(a b) (a b) 1﹐∴3a b 1…….②﹐
由①② 2 1
3 1
a b a b
∴ 2
a5 1
, b 5﹐故A B {(2, 1 5 5)}﹒
15.1到514的正整數中與93互質的數有____________個﹒
解答 332
解析 ∵93 3 31﹐
設A表3的倍數所成的集合﹐
B表31的倍數所成的集合﹒
n(A B) n(A) n(B) n(A B) 514 514 514
3 31 93
171 16 5 182﹐
∴與93互質的共有514 182 332個﹒
16.甲﹑乙兩人比賽網球﹐第一個連勝兩場或先勝三場者贏得比賽﹐試求比賽可能發生之情形（不 計和局）共有____________種﹒
解答 10 解析
共計10種﹒
17.正舉行的美國職籃（NBA）季後賽（Playoffs）﹐2球隊比賽時﹐均採七戰四勝爭奪晉級下一輪資
格﹐假設現在進行到由塞爾蒂克隊與騎士隊採七戰四勝爭奪東區冠軍寶座﹐如果打完第三場時 塞爾蒂克隊以一勝兩敗落後騎士隊﹐則接下來的比賽中（比賽沒有和局）﹐騎士隊獲得東區冠 軍的情形有____________種﹒
解答 6 解析
利用樹狀圖得6﹒
2 1
騎士 騎士 騎士
蒂克 騎士 蒂克 蒂克
騎士隊 勝 敗
騎士 騎士 騎士
蒂克 蒂克 蒂克
騎士 騎士 蒂克 蒂克
蒂克
18.將1到200的正整數﹐先刪去6的倍數﹐再刪去15的倍數﹐剩下____________個數﹒
解答 160
解析 200 [200] [200] [200]
6 15 30
200 33 13 6 160﹒(因為6與15的公倍數扣了兩次)
19.在1到700的正整數中﹐是6﹐7和8中某一個數的倍數者共有____________個﹒
解答 250
解析 n (6 7 8) n (6) n (7) n (8) n (6 7) n (6 8) n (7 8) n (6 7 8) [700] [700] [700] [700] [700] [700] [700]
6 7 8 42 24 56 168
116 100 87 16 29 12 4 250﹒
20.甲﹑乙二地之路徑如圖﹐由甲至乙﹐不能回頭﹐共有____________種不同的走法﹒
解答 36
解析 4 2 3 1 3 4 2 1 36（種）﹒
21.如圖，塗黑處不可進入，則從A處走捷徑趕到B處﹐共有____________種不同的走法。
解答 11 解析
→由累加法知﹐共11種﹒
22.如圖所示﹐由A到B走捷徑﹐共有____________種走法﹒
解答 30
解析 如圖﹐注意捷徑的走法兩條／必須擇一﹒由加法原理可得有30種﹐
23.如圖﹐則由A走到B﹐走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←﹐且不可重複走﹐則走法有________種﹒
解答 120
解析 走向可以↑﹑→或↓﹐但不可以←又不可重複走﹒如圖﹐由P出發﹐依所規定的走法﹐
走到隔鄰的鉛垂路線上立即停止﹐再決定走向﹒如此相鄰的兩鉛垂路線間的走法數相乘﹐
即為所求的走法數﹒∴走法有120種﹒
24.中山盃排球賽採用淘汰制（輸一場即遭淘汰﹐且無和局）﹐總共舉行35場比賽才產生冠軍﹐請
問有____________隊參加比賽﹒
解答 36
解析 35 1 36（隊）﹒
25.從1到500的整數中﹐是4或5的倍數﹐但不是6的倍數共____________個﹒
解答 151 解析
4 5 6 4 5 4 5 6
4 5 4 5 6
4 5 4 6 5 6
4 5 4 6 5 6 4 5 6
4 5 4 5 4 6 5 6 4 5 6
[( ) ] [( ) ( ) ]
( ) [( ) ]
( ) [( ) ( )]
( ) [ ( ) ( ) ( )]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
n A A A n A A A A A
n A A n A A A
n A A n A A A A
n A A n A A n A A n A A A
n A n A n A A n A A n A A n A A A
文氏圖解
4的倍數 5的倍數
6的倍數
n (4的倍數) n (5的倍數) n (20的倍數) n (12的倍數) n (30的倍數) n (60的倍數)
125 100 25 41 16 8 151﹒
26.有6位好朋友﹐在假期裡約定以信件或電話連絡感情﹐則 (1)互通一封信﹐則共寫了____________封信﹒
(2)每二人通一次電話﹐則共通過____________次電話﹒
解答 (1)30;(2)15
解析 (1)6 5 30﹒A→B與B→A不同
(2)6 5 15
2
﹒A←→B互通一次即可
27.某女生有上衣5件﹑裙子4件﹑外套2件﹐請問她外出時共有____________種上衣﹑裙子﹑外
套的搭配法﹒（注意：外套可穿也可不穿﹒）
解答 60
解析 5 4 (2 1) 60﹒
28.(1)用 5 種不同的顏色塗在圖(一)的汽車模型中，相鄰區域塗不同色(輪子不塗)，顏色可重複使用
，則共有________種塗法。
(2)用 5 種不同顏色塗在圖(二)各區域（圖形不可旋轉），相鄰區域不得同色，顏色可重複使用，
則共有__________種塗法。
圖(一) 圖(二) 解答 ：(1) 960；(2) 420
解析 ：(1)塗色順序 A → B → C → D → E
共 5×4×3×4×4＝960（種）
(2) A → B → D → C → E
①B，D 同色：5×4×1×3×3＝180（種）
②B，D 異色：5×4×3×2×2＝240（種）
∴共有 180＋240＝420（種）
