高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：94.01.03 班級
範 圍
4-2餘式因式定理
+Ans 座號
姓 名 一. 選擇題 (每題 10 分)
1、( D ) 下列何者恆為多項式(x+3)n+1的因式？ (A) x+1 (B) x+2 (C)
(D) n為奇數時有 的因式 (E) n為偶數時有
4 x+ 4
x+ x+2的因式。
解
解析析：令：令 f x( )=(x+3)n+1 f( 1)− ≠0 ( 2) 1n 1 0
f − = + ≠ f( 4)− = −( 1)n +1當當nn為奇為奇數數時時 f( 4)− =0
2、( A ) 若多項式 f x( )除以x2−5x−6得餘式2x−3,則下列何者恆成立？ (A)
(B) (C) (D)
( 1) 5 f − = − (1) 1
f = − f(2)=1 f(3)=3 (E) f(6)=8
解析解析：：f x( )=(x−6)(x+1) ( )Q x +2x−3，∴，∴ f( 1)− = −5, f(6)=9可確可確定定
3、( B ) 利用因式分解 來判斷下列何者不是 的因式？
(A) (B) (C) (D)
2 2 2
( ) ( 4 ) ( 4 ) 20
f x = x + x − x + x − f x( )
1
x− x+1 x+2 x+5 (E) x2+7x+10 解
解析析：：f x( )=(x2+4x−5)(x2+4x+4)=(x+2) (2 x+5)(x−1)，故，故xx ++ 11非f非f ((xx))的因的因式式。。
4、( D ) 利用因式分解 來判斷下列何者不是 的因式？ (A)
(B) (C) (D)
( ) 8 256
f x =x − f x( ) x+2
2
x− x2 −4 x3+2x2−4x−8 (E) x3+2x2+4x+8 解析解析：：x8−256=(x−2)(x+2)(x2+4)(x4+16)
3 2 2
3 2 2
2 4 8 ( 2)( 4
2 4 8 ( 2) ( 2
x x x x x
x x x x x
+ + + = + +
+ − − = + −
) )
5、( B ) 若多項式 f x( )，除以x2− −x 6得餘式3x+2,則下列何者恆成立？ (A)
(B) (C) (D)
( 3) 7 f − = − ( 2) 4
f − = − f(2)=8 f(3)=7 (E) f(6)=20 解析解析：：f x( )=(x−3)(x+2) ( ) 3Q x + x+2，∴，∴ f(3)=1111,, f( 2)− = −4
二. 填充題 (每題 10 分)
6、 f x( )=x3+2x2+ax−7以x−2與x+3分別除之其餘數相同，則a=___，又其餘數為 ________ 。
答案答案：：−5, −1
解析解析：：∵∵f(2)= f( 3)− ，，∴∴8+ +8 2a− = − + −7 27 18 3a−7,∴,∴a= −5 ，又，又餘餘數數為為 f(2)= −1 7、以(x + 2)3除多項式 f x( )之餘式為3x2+5x+1則以(x+2)2除 f x( )之餘式為______。
答
答案案：：− −7x 11
解析解析：：f x( )=(x+2)3Q x( ) 3+ x2+5x+1，，3x2+5x+ =1 3(x+2)2−7x−11 ∴餘∴餘式式− −7x 11 8、設多項式(x+1)6除以x2+1的餘式為ax b+ ，則a=______，b=______。
答
答案案：−：−88；；00
解析解析：令：令t=x2+1，，則則(x+1)2 =x2+2x+ = +1 t 2x
6 2
(x+1) =[(x+1) ]3
3
(t 2 )x 3
= +
3 2 2
6 12 8
t xt x t x
= + + +
第 1 頁
2 2 2
( 6 12 ) 8 ( 1) 8
t t xt x x x x
= + + + + −
2 2
( 6 12 ) 8 8
t t xt x xt x
= + + + −
2 2
( 6 12 8 ) 8
t t xt x x x
= + + + −
2 2 2
(x 1)(t 6xt 12x 8 ) 8x
= + + + + − x
故故(x+1)6除以除以x2+1之餘之餘式式為為−8x。。
9、用x−1除(x−2)2005+2003所得的餘式為___________。
答
答案案：2：2000022
解析解析：：x= ⇒ −1 ( 1)2005+2003=2002
10、設多項式 f x( )被x2−1除後的餘式為3x+4，並且已知 f x( )有因式x，若 f x( )被x x( 2−1) 除後的餘式為px2+qx+r，則( , , )p q r =_________。
答
答案案：：(4, 3, 0)
解析解析：設：設 f x( )=x x( 2− ⋅1) q x( )+a x( 2− +1) 3x+4
∴餘∴餘式式
(0) 4 0 4
f = − + = ⇒ =a a
2 2
4x 3x px qx r
= + = + + ，故，故( , , )p q r =(4, 3, 0)。 。 11、設 f x( )=x5+2x4−49x3+9x2−20x+10，則 f(6)=______。
答
答案案：：−2 解析解析： ：
1 2 49 9 20 10 6 6 48 6 18 12 1 8 1 3 2 2
+ − + − + + − + − + − + − −
∴
∴ f(6)= −2。。
12、若多項式f(x)除以x2 + 2x−3得餘式2x + 5；除以x2−3x−10得餘式5x−2，則f(x)除以
2 6 5
x − x+ 的餘式為___________。
答案答案：4：4xx ++ 33
解析解析：設：設 f x( )=(x−1)(x+3)Q x1( ) 2+ x+5 ∴∴f(1)=7 且且f x( )=(x−5)(x+2)Q x2( ) 5+ x−2 ∴∴f(5)=23 又
又 f x( )=(x−1)(x−5) ( )Q x +ax+b，， 7
5 23
a b a b
⎧ + =
⎨ + =
⎩ ⇒a=44,, bb == 33,, 故餘故餘式式為為4x4x ++ 33。。 13、若多項式 f x( )除以x2− −x 2的餘式為2x+3,多項式g x( )除以x2−5x−6的餘式為x−5, 則(1)以x+1除 f x( )的餘式為________ 。(2)以x+1除(x+3) ( )f x −xg x( )的餘式為___ 。 答案答案：(：(11)) 11 ((22))−4
解析解析：(：(11)) f x( )=(x−2)(x+1)Q x1( ) 2+ x+3 , ∴f( 1) 1− = ，∴，∴ f f ((xx))除除以以xx ++ 11的餘的餘式式為為11 (2(2))g x( )=(x−6)(x+1)Q x2( )+ −x 5，，∴∴g( 1)− = −6
∴∴[(x+3) ( )f x −xg x( )]除除以以x x ++ 11的的餘餘式式為為( 1 3) ( 1) ( 1) ( 1)− + f − − − g − = + − = −2 ( 6) 4 14、若多項式f(x)除以x2 + 2x + 3的餘式為5x + 6，除以x−2的餘式為−6，求f(x)除以(x2 + 2x
+ 3)(x−2) 的餘式為___________。
答案答案：：−2x2x22 + + xx
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解析解析：設：設 f x( )=(x2+2x+3)(x−2) ( )Q x +a x( 2+2x+ +3) 5x+6 且且
故餘故餘式式為為
(2) 6 (4 4 3) 10 6 6 2
f = − ⇒a + + + + = − ⇒ = −a
2 2
2(x 2x 3) 5x 6 2x
− + + + + = − +x
15、多項式 f x( )以x2−3x+2除之餘式為5x+6，以x2+ −x 20除之餘式為 ，且
deg 4，則 除以
2 x− ( )
f x ≥ f x( ) x2+4x−5的餘式為________ 。 答
答案案：：3x+8
解析解析：設：設 f x( )=(x−1)(x−2)Q x1( ) 5+ x+6 ∴∴ f(1)=11 且且f x( )=(x+5)(x−4)Q x2( )+ −x 2 ∴∴f( 5)− = −7 又又f x( )=(x+5)(x−1) ( )Q x +ax b+ ，， 11
5 7
a b a b
⎧ + =
⎨− + = −
⎩ ⇒a=3,3, bb == 88,, 故餘故餘式式為為33xx ++ 88。。 16、因式分解2x3+3x2−8x+3。
答案答案： ：
2 3 8 3 1 2 5 3 2 5 3 0 + − +
+ − + − + 原
原式式=(x−1)(2x2+5x−3) =(x−1)(2x−1)(x+3)
17、設多項式f(x) = x4 + 6x3 + 15x2 + 24x + 10， f(−2 + 3 ) =?
答案答案：(：(11)) –– 44 (2(2)) 8 2 3− 解
解析析：：x= − +2 3⇒ + =x 2 3
2 2
(x+2) = ⇒3 x +4x+ =1 0
f(x) = x4 + 6x3 + 15x2 + 24x + 10=(x2+4x+1)(x2+2x+ −6) 2x+4 f(−2 +
⇒ 3 ) =0 2( 2− − + 3)+ = −4 8 2 3
18、試決定a, b之值使得2x3−x2+bx+4a可被(x−2)(x+3)整除。
答 答案案： ：
2 16 4 2 4 0
3 54 9 3 4 0
a a
x b
x b
= ⇒ − + + =
= − ⇒ − − − + =
9, 1
a 2 b
⇒ = = − 5
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