96年數學科學科能力測驗試卷

數學 109 年學科能力測驗試卷

班級：______ ／ 座號：______ ／姓名：______

總　 分

第 ：選 65分 一部分 擇題（占 ）

一 35分 、單選題（占 ）

說 ：第 1題 7題 5 明 至第 ，每題有

個 選 項

， 其 中 只 有

一 個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得

(　 ) 1.已 3,4,5 、5,12,13 ， , 　 知兩個直角三角形三邊長分別為

分 別為它們的一角，如下圖所示。試選出正確的選項。

(1)sin sin sin 30 　 (2)sin sin 30 sin 　 (3)sin sin sin 30 　 (4)sin sin 30 sin 　 (5)sin 30 sin sin 。

(　 ) 2.空 A B C D, , , ， AB AC

   

_． AB AD_． 　 間中有相異四點 已知內積

。 試選出正確的選項。

(1)AB CD

 

_． 0 

(2)ACAD 　(3)AB



_與CD



_{平 (4)}AD BC

 

_． 0 _行

(5) , , ,A B C D

四 點在同一平面上。

(　 ) 3.如 　 圖所示，

O

為 P 正六邊形之中心。試問下列哪個向量的終點

落 在

△^ODE 內 部（不含邊界）？

(1)OP OC OE

  

  ^(2)OP

  

^1₄^OC1₂^OE 

(3) 1 1

4 2

OP

  

  OC OE

(4) 1 1

4 2

OP

  

 OC OE 

(5) 1 1

4 2

OP

  

  OC OE_。

(　 ) 4.令 1 0 　

I 0 1

  

  ， 1 1

A 3 4

  

  ， ₁

B I  A A^ ， 試選出代表

BA 的 選項。

(1) 1 0 0 1

 

 

 　(2) 6 0 0 6

 

 

 　(3) 4 1 3 1

  

 

  　(4) 1 1 3 4

 

 

 　(5) 6 6 18 24

 

 

 。

(　 ) 5.試 101 的 5， 38 的 3？ 　 問數線上有多少個整數點與點 距離小於 但與點 距離大於

(1) 1 個　(2) 4 個 (3) 6 個 (4) 8 個 (5) 10個 　 　 　 。

(　 ) 6.連 a b, 。 ^log

 

^{a2 logb1} 　 續投擲一公正骰子兩次，設出現的點數依序為 試問發生

的 機率為多少？

(1)1

3 　(2)1

2 　(3)2

3 　(4)3

4 　(5)5 6 。

(　 ) 7.坐 y  3x³ 上 P Q, 到 1。 P 坐 　 標平面上，函數圖形 有兩點 原點距離皆為 已知點 標為



^{cos ,sin }



， Q 試問點

坐 標為何？

(1)



^cos

 

^{ ,sin}

 

^



　(2)



^{cos ,sin }



　(3)



^cos

 

^{ , sin }



　(4)



^{cos ,sin}

 

^



　(5)



^{cos , sin  }



。

二 30分 、多選題（占 ）

說 8題 13 題 5 明：第 至第 ，每題有

個 選 項

， 其 中 至 少 有 一 個 是 正 確

的 選 項

， 請 將 正 確 選

項 畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得

5分 1個 3分 2個 1分 2 ；答錯 選項者，得 ；答錯 選項者，得 ；答錯多於

個 選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

(　　 ) 8. 有一個遊戲的規則如下：丟三顆公正骰子，若所得的點數恰滿足下列（A）或（B） 兩個條件之一，可得到獎金100元；若兩個條件都滿足，則共得200元獎金；若兩個 條件都不滿足，則無獎金。

（A）三個點數皆為奇數或者皆為偶數

（B）三個點數由小排到大為等差數列

若已知有兩顆骰子的點數分別為1,3，且所得獎金為100元，則未知的骰子點數可能 為何？

(1) 2　(2) 3　(3) 4　(4) 5　(5) 6。

(　 )9. 在 _O 的 L ， 2、 _O 的  。 　 坐標平面上，有一通過原點 直線 以及一半徑為 圓心為原點 圓

,

P Q 為 上 2點 OP OQ, 分 L 所 ^30， OP OQ

 

_． 相異 ，且 別與 夾的銳角皆為 試選出內積

之 值可能發生的選項。

(1) 2 3 　(2) 2 3 　(3)0 　(4) 2 　(5) 4 。

(　 )10. 考 f x

 

3x⁴11x²4 ， 　 慮多項式 試選出正確的選項。

(1)^{y f x}

 

的 y 圖形和

軸 y 交點的

坐 0　(2) ^{f x}

 

^0 標小於

有4個 (3) ^{f x}

 

^0 實根　

至 (4) ^{f x}

 

^0 少有一個有理根　

有 0與1之 (5) ^{f x}

 

^0 一根介於 間　

有 1與2 一根介於

之 間。

(　　 )11. 設a b c, , 為實數且滿足loga1.1、logb2.2、logc3.3。試選出正確的選項。

(1)^{a c 2b}　(2)^{1 a 10}　(3)^{1000 c 2000}　(4)^b2a　(5) , ,a b c成等比數列。

(　　 )12. 下表是2011年至2018年某國總就業人口與農業就業人口的部分相關數據，各年度的 人口以人數計，有些是以千人計，有些以萬人計，例如2011年總就業人口為1,070.9 萬人，65歲以上男性農業就業人口為69.1千人。試根據表格資料選出正確的選項。

就 男 業人口 性農業就業人口按年齡別分

年 總 別 就業人口

（ 萬人）

農 業就業

人 口

（ 萬人）

男 性農業

就 業人口

（ 千人）

39

歲 以下

（ 千人）

40-49歲

（ 千人）

50-64 歲

（

千 人）

65

歲 以上

（ 千人）

2011

年 1,070.9 54.2 386.3 67.6 85.4 164.2 69.1

2012

年 1,086.0 54.4 394.9 67.5 87.0 169.5 70.9

2013

年 1,096.7 54.4 391.5 66.6 83.9 171.3 69.7

2014

年 1,107.9 54.8 391.2 65.8 79.8 173.0 72.6

2015

年 1,119.8 55.5 403.1 71.7 76.9 181.3 73.2

2016

年 1,126.7 55.7 404.5 77.4 77.4 176.4 73.3

2017

年 1,135.2 55.7 405.1 73.9 78.1 178.3 74.8

2018

年 1,143.4 56.1 415.1 72.0 78.8 184.9 79.4

(1)從2013年至2018年，65歲以上的男性農業就業人口逐年遞增　(2)從2013年至 2018年，50歲至64歲之男性農業就業人口逐年遞增　(3)上表中，每一年的男性農業 就業人口占總就業人口的比率都小於百分之五　(4)上表中，每一年50歲至64歲之男 性農業就業人口都少於49歲以下之男性農業就業人口　(5)就65歲以上之男性農業就 業人口而言，2018年比2011年增加了不到一萬人。

(　　 )13. 如示意圖，四面體^OABC中，△^OAB和△^OAC均為正三角形，^{BOC 30} 。試選出 正確的選項。

(1)^{BC OC} 　(2)△^OBC是等腰三角形　

(3)△^OBC的面積大於△^OAB的面積　(4)^{CAB 30} 　

(5)平面^OAB和平面^OAC的夾角（以銳角計）小於^30。

第 ：選 35分 二部分 填題（占 ）

說 ：第 A至 G題 每 5分 明 ， 題完全答對給 ，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 網 以200元 路賣家 的成

本

取 得某件 並 的 模型 ， 以成 本 5

倍 作 為 售 價

， 差 價 即 為 利 潤

。 但 過 了 一 段 時 間 無 人 問 津

， 定以逐次 減 利潤 的 式 此方 式 行，則 該 售價 為 因此 少一半 方 調降售價 。若依 進 調降 三次 後 模型 的 賣 家 決

元 。

B. 有 一按

鈕 一 ，可按遊戲機三次。第一次按 會 白色 的機率各為 下 遊戲機， 幣 枚 出現 黑色 或 1 每 投

2 ；

第 前 二或第三次按下，出現與

一 次

同 的機率為 色 1

3 ， 不同

色 的機率為 2

3 。

今

某 投 一 的機率為 為最 簡 甲 幣 枚後 ，按三次均出現同 色 　 。 化 分數） 　　　 （

C. 設^S 為 2x y 10 坐標平面上直線

被

平 行 線 x2y15 0

與x2y0 所

截 （含 端 的線 段 點）。若直線

3x y c 

與^S 有 ^c的 　 。 交點，則 最小值為 　　　

D. 平 面上有一

箏 形^ABCD ， ^{AB BC  2} ，^{AD CD 2} ，^{BAD135} 。 ^AC 其中 則

。 化 （

為

最 簡 根式）

E. 空 ^A



^1,7,2



間中有三點

、^B



^{2, 6,3}



、^C



^{0, 4,1}



。 L 通 A 點 若直線 過

並 與直 ^BC 線

相 交且

垂 直，則 L

和 直線

BC

的 　 。 交點坐標為 　　　

F. 坐 拋物 線 ， 標平面上有一條 其上有四個點

構 梯 梯 稱 成等腰 形，且等腰 形的對 軸與 

的 稱 對

軸 形的上 為 為 高 重合 。已知該等腰 梯 底 4、 底 6、 為14 ，  下 則

的

焦 距為 　 。 　　　

G.

設 師 計

為 設計以不 銹鋼片製 成的 月亮 形 ，其中有一 設計圖如 右 天文館 狀 款 圖所示：圖中，圓 弧QRT

是 ^O 點 QT 一個以 為圓心、

為 QT 2 3 直徑的半圓，

。 弧QST 圓

的 P 圓心在

點 ，

2 PQ PT 

。 弧QRT 圓

與 弧QST 圓

所

圍 域 出的 灰色 區 QRTSQ

即

為 所 的 狀 區 的面積為 某 一 天 見 月亮 形 。設 此灰色 域 a  b

，  其中

為 周 圓

率

， ^a為 ^b 有理數，

為 _a　 （ 整數，則 　　　

化 分數）， 為最 簡 _b 　 。 　　　

109 年 學 科 能 力 測 驗 　 答 案 與 解

析

答 　 案

第 ：選 一部分 擇題

一 、單選題

　1. (2)　2. (1)　3. (2)　4. (5)　5. (3)　6. (4)　7. (4)　

二 、多選題

8. (1)(2)　9. (4)(5)　10. (1)(4)　11. (3)(5)　12. (1)(3)　13. (2)(4)

第 ：選 二部分 填題

　A. 300 　B. ¹₉ 　C. _5　D. ^{2 10}₅ 　E.



^{  3, 1, 2}



^F. 56⁵ 　G. ^{a 1}₆ ，_b3

解

　 析

第 ：選 一部分 擇題

一 、單選題

1.

sin 30 1 0.5

  2 ，

sin 3 0.6

  5 ，

sin 5 0.38

 13 ，

因 此

sin sin 30 sin

，

2. 如 AB AC

   

_． AB AD_． 圖，

　 AB

  

_．AD AC 0 　　

　 AB CD

 

_． 0 　　

，

故

選 (1)。

3. 如 OP xOC yOE

  

  圖。令

，

P 落 ^OE 右 的條 ^x0 ， 在直線 側 件 為

P 落 ^OD左 的條 x y 0 在直線 側 件 為

，

P 落 DE下 在直線

方 的條 y1 ， 件 為

故

選 (2)。

4. ² 1 1 1 1 4 5 3 4 3 4 15 19 A        

      ，



¹



²

BA I A A^ A A A  I

1 1 4 5 1 0 6 6

3 4 15 19 0 1 18 24

       

       

        ，

故

選 (5)。

5. 101 10.  ， 38 6.  ， 令所

求 整數為 n。

如 細 上圖，

線

為 101 5  n 101 5

，

粗 線為 n 38 3

或n 38 3

。

故

38 3  n 101 5 9. n 15. n 10,11,12,13,14,15

， 6. ^log

 

^{a2 logb 1 log}

 

^{a b2 log10} _{a b}² _10

。

右

圖 線格子為 中 ， 斜

2 10

a b

，

白 格子 色 為

2 10

a b

。

因 所 此

求 機率為

27 3 36 4 ， 故

選 (4)。

7. 如 圖，三次函數

3 3

y  x

以 原點為對

稱 中心，

由 稱 對

性 可

知 P Q,

兩 點對

稱 於原點，

因 Q 此

點



^{cos , sin}  



坐標為

。

選 (4)



^{cos ,sin}

 

^



項中只有選項

化 簡後

為



^{cos , sin  }



， 故

選 (4)。

二 、多選題

8. 三 1,3,1 顆骰子點數為

， 100元 僅符 (A)。 可得 。 合

三 顆骰子點數為

1,3,2

， 100元 僅符 (B)。 可得 。 合

三 顆骰子點數為

1,3,3

， 100元 僅符 (A)。 可得 。 合

三 顆骰子點數為

1,3,4

， 0元 (A)(B) 都 符合 。 可得 。 不

9. 如 P Q, 圖，

為A B C D, , ,

四 點其中相異兩點，

因 POQ 此

可 ^60、^120 、^180 ， 能為

2 2cos 4cos

OP OQ

 

_．   POQ POQ _， 4cos60 2

，^{4cos120  2} ，^{4cos180  4} 。

故

選 (4)(5)。

10. ^{f x}

 

^



^3x21

 

^x24



。

選 (1)：^x0 代 項

入 ，f

 

0  4

，

因 此 y f x

 

的 y 圖形與

軸



0, 4



的交點為

。

選 (2)(3)(4)(5)：^{f x}

 

^{0 的4個  1}₃ ^，_2i^。 項 ^根為

故

選 (1)(4)。

11. a10^1.1，b10^2.2，c10^3.3，log 2 0.3010 10^0.30102。

選 (1)(5)：^{b102.2 }

 

^{101.1 2 a2 ，c103.3}

 

^{101.1 3a3 ，} 項

因 a b c, , 的 係應 為ac b ² ， 非a c 2b ， a b c, , 為 此 關 而 且 等比數列。

選 (2)：a10^1.1，10 10 ¹10^1.110^1.3010 20 ， 項

因 此 10 a 20 。

選 (3)：c10^3.3，1000 10 ³10^3.310^3.30102000 ， 項

因 此 1000 c 2000 。

選 (4)：b a ² 2a 。 項

12.選項(1)：69.7 72.6 73.2 73.3 74.8 79.4     ，逐年遞增。

選項(2)：2015年為181.3千人，2016年為176.4千人，人數減少。

選項(3)：總就業人口都超過1000萬人，而男性農業就業人口都低於50萬人。

選項(4)：2011年就不符合了，50至64歲為164.2千人，49歲以下為67.6 85.4 153  千人。

選項(5)：增加了79.4 69.1 10.3  千人。

故選(1)(3)。

13.選項(2)(4)：令^{OA a} 。△^OBC與△^ABC中，^{BO BA a } ，^{CO CA a } ，共用BC， 因此△^OBC與△^ABC全等，且兩者皆為^{30 -75 -75  }的等腰三角形。

又^{CAB COB 30} 。

選項(1)：由正弦定理：sin 30 sin 75 sin 75 BC  OB  OC

  ，因此^{BC OC} 。

選項(3)：△^OBC的面積為 1 2

sin 30

2a 

，△^OAB的面積為 1 2

sin 60

2a 

， 因此△^OBC的面積小於△^OAB的面積。

選項(5)：如圖，由視角的觀念：長度固定的木棒離眼睛越近，兩端與 眼

睛所構成的視角越大，故兩平面的夾角大於^30。 選項(5)詳細說明：

令OA中點為D，所求兩平面的夾角為^BDC，而^{BOC  30} 。

在等腰三角形^DBC中，

3 DB DC  2 a

。

在等腰三角形^OBC中，

3 OB OC a   2 a

。 如圖所示，因此^{BDC 30} 。

故選(2)(4)。

第 ：選 二部分 填題

A.

成

本 開始 的 為200元 售價 為1000元 利潤 為800元 ，一 ， ，

調 三次 後利潤 降

為

1 3

800 100

2

   

  元 售價 為 ，

200 100 300  元 。

B.

黑 黑黑

的 機

率 為

1 1 1 1

2 3 3 18   ，

白 亦 白 白 的機率 同，

故

所 機率為 求

1 1

18 2 9。

C.

由 劃 線性規

中

， 平 行

線 的 極 必 端 法 觀念 可知， 3x y c  的 值 發生在 點上。

   

2 15 0

, 1,8

2 10

x y

A x y x y

  

  

  

 。

   

2 0

, 4,2

2 10

x y

B x y x y

 

  

  

 。

以 ^A

 

^1,8 點

代

入 3x y c 

， c 5 可得

。

以 ^B



^4,2



點

代

入 3x y c 

， ^c10 。 可得

故^c 的 5 。 最小值為

D.

由

餘 定理： 弦

2

2 2 22 2 2 2cos135

BD          2 4 4 10

　 BD 10 　　　　　

。

△ABD 的 1 面積為

2 2sin135 1

2    ，

箏 形_ABCD 的 2。 面積為

因 1 4 2 10 此

2AC BD  2 AC 10  5 。

E. ^BC



^{ }



^{2,2, 2  }



^{2 1,1, 1}



^



^， _BC^{的 直線}

參 數式 之 一 為

2 6 3

x t

y t

z t

  

   

  



， t

。

令 P 的



^{2  t, 6 t,3t}



_， ^AP



^{   }



^{1 t, 13 t,1t}



_。 交點 坐標為 _則

由 AP 垂 於直線

直 直 線 ^BC， AP BC

 

_． 0 所以



^{1 t, 13 t,1 t}

 

^{2,2, 2}



⁰

     ．   2 2t 26 2t 2 2t 0

         6t 30 0  t 5

， 5

t 代 入



^{2  t, 6 t,3t}



可 得交點

P

的 坐標為



^{  3, 1, 2}



。

F. 如 A

 

3,0 ，A 



3,0



，B



2,14



，B 



2,14



， 圖，定坐標

令

拋 線 方 式為 物 程  的 ^{y a x}



^3

 

^x3



^{a x}



^29



。

以^B



^2,14



代

入 可得

14 5 14

a a 5

    ，

拋 線 的 物

方 式為 程 ^y14₅



^x29



^{x2 }₁₄^5y9 _，

焦

距 為 1 5 5

4 14 56

   。

G.

△PQT

為 OQ OT  3 等腰三角形，

，

因 △OPQ 與 ^OPT 為 此 △ 全等的直角三角形。

直 OPQ 角三角形

中 PQ2 ，

，OQ 3

，

因 OP1 ， OPQ 為30 -60 -90   的 QPT 120 。 此 且△ 直角三角形，

扇

形 PQST 的 1 ² 4 面積為

3 2 3

 

  ，

半 QRT 的 圓 面積為

1 2 3

2 3 2

 

  ，

△PQT 的 1 面積為

2 3 1 3

2   ，

因 此斜

線

區 域 面積為 3 4 1

3 3

2 3 6

       ，

故 1

a6 ，_b3 。