99.03.23 範圍1-2,4 指數、對數不等式班級姓名座 - 明誠

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.03.23 範

圍

1-2,4

指數、對數不等式

班級

姓 座號

名

一、單選題

(

每題

5

分 )

( )1. 聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特(W m² )來衡量﹐一般人能感覺出聲音的最小強度為

12

0 10

I = ⁻ (W m² )﹔噪音監測器量度的噪音 dB（分貝）則根據當地聲音的強度I ﹐透過

數學式子

( )

10 0

dB 10 log I

I = ⋅ I 計算得來﹒市政府規定球場內噪音不得超過65分貝﹐而氣 笛製造商製造一款低噪音氣笛﹐一支氣笛只會產生45分貝噪音﹒欲符合市政府噪音規定﹐

球場內最多能同時響起幾支氣笛呢？ (1)10支 (2)20 支 (3)50支 (4)100支 (5)1000 支﹒

解答 4

解析 設每支氣笛的能量為w﹐同時可以響起的氣笛數為a支﹐則根據題意﹐

( )

10

0

45 dB 10 log w

w I

= = ⋅ ﹐

( )

10

0

65 dB 10 log a w

a w I

= ⋅ = ⋅ ⋅ ﹒

將兩式相減得 _{10 10 10 10}

0 0 0 0

65 45 10 log a w 10 log w 10 log a w log w

I I I I

 

⋅ ⋅

− = ⋅ − ⋅ = ⋅ − 

 

₁₀ ⁰ ₁₀

0

10 log a w I 10 log I w a

 ⋅ 

= ⋅  × = ⋅

  ﹒

故loga=2﹐a=100﹐最多可以同時響起100支氣笛﹒

二、填充題

(每題10

分 )

1. 設a=³5﹐^b=

( )

^{2 6 27﹐c=25103﹐則a﹐b﹐c}的大小關係為____________﹒

解答 c> >a b

解析 ^a=35=513=

( )

^{57 211}

( )

^{2 6 2 17}

^{( )}

^{24 17}

^{( )}

^{243 211}

b=  = =

^{57 =}

( )

^{52 3⋅ =5 25 53⋅ >243}

∴a>b

3 3

10 5

25 5

c= =

 ^{3 1} 5 >3

∴c>a

∴c> >a b﹒ 為實數﹐若

2 1

1≤ 1 ^x+ < ﹐求 的範圍為____________﹒

解答 1 3 2≥ > −x 2 解析

2 1

1 1

4 2 4

  x+

≤   <

⇒ 2⁻²≤2^−(2x+1)<2²

⇒ − ≤ − − <2 2x 1 2

⇒ − ≤ −1 2x<3

∴1 3

2≥ > −x 2﹒

3. 解指數不等式3^x2 <3^2x﹐得x的範圍為____________﹒

解答 0< <x 2

解析 3^x2 <3^2x ⇒ x²<2x ⇒ x²−2x<0 ⇒ ^{x x}

(

⁻²

)

^<0⇒0< <^{x 2}﹒

4. 解指數不等式

1 1 1

2 32 4

x+ x

  < < 

   

    ﹐得x的範圍為____________﹒

解答 5

6 x 2

− < < − 解析 

1 1

2 32

 x+ <

   ^⇒

1 5

2^{− −x} <2

⇒

− − <x 1 5⇒ x> −6﹒

 1 32 4

 x

<    ^⇒

5 2

2 <2^{− x}

⇒

− >2x 5⇒ 5 x< −2 由知 5

6 x 2

− < < − ﹒

5. 滿足2^x2−4 >2^5x+2的x的最小正整數為____________﹒

解答 7

解析 2^x2−4>2^5x+2

∴x²− >4 5x+2

⇒ x²−5x− >6 0

⇒

(

^x−6

)(

^{x+ >1}

)

⁰

∴x>6或x< −1﹐故取x=7﹒

6. 解不等式9^x − ⋅10 3^x+1+81 0≥ ﹐得x的範圍為____________﹒

解答 x≥3或0< ≤x 1

解析 9^x− ⋅10 3^x+1+81 0≥ ⇒

( )

^{3x 2}− ⋅ ⋅ +10 3 3 81 0^x ≥ 令t=3^x

原式⇒ t²−30t+81 0≥ ⇒

(

^t−27

)(

^{t− ≥3}

)

^{0 ⇒t≥27或0< ≤t 3}

即3^x ≥27或0<3^x ≤3⇒x≥3或0< ≤x 1﹒

7. 已知x>0﹐解不等式^xx2−4≥

( )

^{xx 3﹐得x}的範圍為____________﹒

解答 0< ≤x 1或x≥4

解析 x=1 1 1≥ 成立

0< <x 1⇒ x²− ≤4 3x⇒ x²−3x− ≤4 0⇒

(

^x−4

)(

^{x+ ≤1}

)

^{0⇒ − ≤ ≤1 x 4 ∴0< <x 1}

x>1 ⇒ x²− ≥4 3x ⇒ x²−3x− ≥4 0⇒

(

^x−4

)(

^{x+ ≥1}

)

^{0⇒ x≥4或x≤ −1 ∴x≥4}

由知 0< ≤x 1或x≥4﹒ 8. 解不等式2¹ 33 2 ^{2 2} 1 0

x

x − −

− − ⋅ + > ﹐得x的範圍為____________﹒

解答 x< −4或x>6 解析 2¹ 33 2 ^{2 2} 1 0

x

x − −

− − ⋅ + > ⇒ 2 2¹ 33 2 ² 2 ² 1 0

x

x −

− −

⋅ − ⋅ ⋅ + >

令 2 ² 0

x

t= ⁻ >

原式⇒ ² 33

2 1 0

t − 4 t+ > ⇒8t²−33t+ >4 0⇒

(

8t−1

)(

t−4

)

>0 ⇒t>4或 1 0< <t 8 即2 ² 4

−x

> 或 ² 1

0 2 8

−x

< < ⇒ 2

2

− >x 或 3

2

− < −x

∴x< −4或x>6﹒

9. 設f x( )=4^x−2^x+1−1﹐− ≤ ≤1 x 1﹐求 f x( )的最大值為(1)__________﹐最小值為(2)__________﹒

解答 (1)−2;(2)−1 解析 令t=2^x

− ≤ ≤1 x 1⇒ 1 2≤ ≤t 2

原式⇒ ^{t2−2t− = −1}

(

^{t 1}

)

²⁻²

(1)當t=1時﹐有最小值−2﹒ (2)當t=2時﹐有最大值−1﹒ 10. 設

( )

^{1 2} 2 ^{1 1} 1

3 3

x x

f x

    −

=   − ×   + ﹐0≤ ≤x 1

若 ^{f x}

( )

^{的最大值為M ﹐最小值為}m﹐求數對

(

^{M m,}

)

⁼____________﹒

解答 8 , 4 9

− − 

 

 

解析

( )

^{1 2} 2 ^{1 1} 1

3 3

x x

f x

   −

=   −    +

2 1

1 1 1

2 1

3 3 3

x x −

     

=   − ⋅      ⋅ + 令 1

3

x

t  

=   

0≤ ≤x 1 ∴1 3≤ ≤t 1 原式⇒ ^{t2− + = −6t 1}

(

^{t 3}

)

²⁻⁸

當 1

t= 時﹐有最大值 8 M= −

當t=1時﹐有最小值m= −4

∴

(

^,

)

^{8, 4}

M m = − 9 − ﹒

11. 設− ≤ ≤2 x 8﹐若函數 ^{f x}

( )

^{=2x −2x2+4的最大值為M ﹐最小值為m﹐求數對}

(

^{M m,}

)

⁼__________﹒

解答

(

^192,−4

)

解析 ^{f x}

( )

^{=2x−2x+24 =2x −22x⋅22}

令 2²

x

t= − ≤ ≤2 x 8 ∴1 2≤ ≤t 16 原式⇒ ^{t2−4t= −}

(

^{t 2}

)

²⁻⁴

t=2時﹐有最小值m= −4

t=16時﹐有最大值M =192

∴

(

^{M m,}

) (

^{= 192,−4}

)

^﹒

12. 設^{f x}

( )

⁼

(

^{4x +4−x}

) (

^{+ 2x+2−x}

)

^{+5﹐x為實數﹐令t=2x+2−x﹐求}

(1) ^{f x}

( )

⁼____________（以t表示）(2) ^{f x}

( )

的最小值為____________﹒

解答 (1)t²+ +t 3;(2)9

解析 (1)令t=2^x+2^−x（t≥2）⇒t² =4^x +4^−x+2

∴4^x +4^−x = −t² 2

原式⇒ ^{f x}

( )

⁼

(

^t2−2

)

^{+ + = + +t 5 t2 t 3﹒}

(2)

( )

² 3 ^{1 2 11}

2 4

f x = + + = +t t t  +

t≥2

∴ ^{f x}

( )

^{之最小值為} 2 ^{1 2 11} 9

2 4

 +  + =

 

  ﹒

13. 已知0< <a 1且a^2x +a^x− ≤2 0﹐求x的範圍為____________﹒

解答 x≥0

解析 令t=a^x﹐原式⇒ t²+ − ≤t 2 0 ⇒

(

^t+2

)(

^{t− ≤1}

)

^{0 ⇒− ≤ ≤2 t 1}

又t=a^x >0 ∴0< ≤t 1 即0<a^x ≤1⇒0<a^x≤a⁰ 又0< <a 1 ∴x≥0﹒

14. 試解不等式

(

^{3x −3 9}

)(

^{x −3 81}

)(

^{x− <3}

)

^0﹐得x的範圍為____________﹒

解答 1 x<4或1

2< <x 1

解析

(

^{3x −3 9}

)(

^{x −3 81}

)(

^{x− <3}

)

^{0 ⇒}

(

^3x−31

)(

^{32x −31}

)(

^{34x −31}

)

^<0

3>1⇒

(

^{x−1 2}

)(

^{x−1 4}

)(

^{x− <1}

)

⁰

∴ 1

x<4或1

2< <x 1﹒

15. 解不等式log3

(

x−4

)

<log9

(

x−2

)

﹐得x的範圍為____________﹒

解答 4< <x 6

解析 (1)x− >4 0且x− > ⇒2 0 x>4 (2)log9

(

x−4

)

²<log9

(

x−2

)

⇒

(

^x−4

)

^{2< −x 2}

⇒x²−9x+18<0

⇒

(

^x−6

)(

^{x− <3}

)

⁰

⇒3< <x 6

由(1)(2)知 4< <x 6﹒

16. 解log0.5

(

x+ >1

)

log0.25

(

x²− −x 1

)

﹐得x的範圍為____________﹒

解答 2

1 x 3

− < < −

解析 (1)真數恆正﹕x+ >1 0且x²− − >x 1 0

⇒x> −1且 1 5 x +2

> 或 1 5

x −2

<

⇒ 1 5

1 x −2

− < < 或 1 5

x +2

> ﹒

17. 解不等式 1

( )

1

( )

2 4

1 log+ x− >1 log 4−x ﹐得x的範圍為____________﹒

解答 1< <x 3

解析 (1)原式⇒ 1 1

( )

² 1

( )

log 1+log x−1 >log 4−x

⇒ 1

( )

² 1

( )

4 4

log 1 1 log 4

4 x− > −x ⇒ ¹

(

¹

)

^{2 4}

4 x− < −x ⇒ x²+2x−15<0 ⇒

(

^x+5

)(

^{x− <3}

)

⁰

⇒− < <5 x 3

(2)真數恆正﹕x− >1 0且4− >x 0 ⇒1< <x 4

由(1)(2)知 1< <x 3﹒ 18. 解不等式 1

(

2

)

2

log log x > −2﹐得x的範圍為____________﹒

解答 1< <x 16

解析 1

(

2

)

1 ²

2 2

log log log 1 x 2

 −

>    ⇒0<log₂x<4 ⇒ log 1 log₂ < ₂x<log 2₂ ⁴

∴1< <x 16﹒

19. 若 1

(

3

)

2

2 log log 6x 0

− ≤ < ﹐則x的範圍為____________﹒

解答 1 27 2< ≤x 2

解析 原式⇒ 1

(

3

)

2

2 log log 6x 0

− ≤ <

⇒ 1 ² 1

(

3

)

1

2 2 2

log 1 log log 6 log 1

2 x

  ≤− <

   ⇒ 4≥log 6₃ x>1

⇒ log 3₃ ⁴≥log 6₃ x>log 3₃ ⇒81 6≥ x>3

⇒ 1 27

2< ≤x 2 ﹒

20. 解不等式 _{1 2 1}

3 2

log log log x 0

  >

  

  ﹐得x的範圍為____________﹒

解答 1 1 4< <x 2

解析 _{1 2 1 1}

3 2 3

log log log x 0 log 1

> =

  

  

 

⇒ _{2 1}

2

0 log log x 1

<  <

 

⇒ _{2 2 1 2}

2

log 1 log log x log 2

<  <

 

⇒ ₁

2

1 log< x<2

⇒

2

1 1 1

2 2 2

1 1

log log log

2< x<    2

⇒ 1 1

2> >x 4 即1 1 4< <x 2﹒

21. x為實數﹐若log2

(

x²+3x+a

)

的值恆為正﹐則a的範圍為____________﹒

解答 13 a> 4

解析 log2

(

x²+3x+a

)

> =0 log 12

⇒ x²+3x+ >a 1

⇒ ^x2+3x+

(

^{a− >1}

)

⁰

⇒ ^D=32−4

(

^{a− <1}

)

⁰

⇒ 4a>13

⇒ 13

a> 4 ﹒

22. 已知A=log 2₂ ^0.2﹐B=log 0.2₂ ²﹐C=log_0.22²﹐則A﹐B﹐C的大小關係為____________﹒

解答 A> >C B

解析 A=log 2₂ ^0.2 =0.2

2 2

2 2 2 2

log 0.2 log 1 2 log 5 2 log 2 2

B= =    5 = − < − = −

2

0.2 1 5 5

5

log 2 2 log 2 2 log 2 2 log 5 2

C= = = − > − = −

∴A> >C B﹒

23. 解不等式3^{1 log+ x}⋅x^{log 3}−10x^{log 3}+ >3 0﹐x的範圍為____________﹒

解答 x>10或 1 0< <x 10

解析 3^{1 log+ x}⋅x^{log 3}−10x^{log 3}+ >3 0

令t=3^logx =x^{log 3}﹐x>0（真數>0）

∴

( )( )

^{3t t −10t+ >3 0}⇒3t²−10t+ >3 0

⇒

(

3t−1

)(

t− >3

)

0 ⇒t>3或 1 t<3 (1)3^logx > ⇒3 logx>1⇒ x>10 (2) ^log 1 ¹

3 3

3

x < = − ⇒ logx< −1⇒ 1 0< <x 10

∴x>10或 1 0< <x 10﹒

24. 解不等式logx−6 log 10 1_x > ﹐得x的範圍為____________﹒

解答 x>10³或10⁻²< <x 1 解析 令logx=k

原式⇒ 6 1

k− >k ⇒ 6 1 0

k− − >k ⇒ ² 6

k k 0

k

− − >

⇒ ^{k k}

(

⁻³

)(

^k+2

)

^>0 ⇒ k>3或− < <2 k 0 即logx>3或− <2 logx<0 ⇒x>10³或10⁻²< <x 1﹒ 25. 解不等式

1log

1 log 2 1

10 10

2

x x

− > + ﹐得x的範圍為____________﹒

解答 0< <x 4 解析 原式⇒

1

1 log log 2 1

10 10 10

2

x x

× − > + ⇒ 1 ¹² 1

10 x 2

× >x + 令

1

2 0

x = >t

原式⇒ 10₂ 1 t 2

t > + ⇒ 20>2t³+ ⇒t² 2t³+ −t² 20<0 ⇒

(

^{t−2 2}

) (

^{t2+ +5t 10}

)

^<0

D<0﹐恆正 ∴2t²+ +5t 10>0

∴t− < ⇒2 0 t<2 即

1

2 2

x < ⇒ x<4 而真數x恆正 ∴0< <x 4﹒ 26. 解不等式^logx

(

⁵x−⁴

)

>²﹐得x的範圍為____________﹒

解答 1< <x 4或4 5< <x 1

解析 真數恆正且底數x>0且x≠1 ∴ 4

x>5且x≠1 (1)x>1

( )

²

log_x 5x−4 >log_xx

⇒5x− >4 x²

⇒x²−5x+ <4 0

⇒

(

^x−1

)(

^x−4

)

^<0

⇒1< <x 4 (2)4

5< <x 1

( )

²

log_x 5x−4 >log_xx

⇒5x− <4 x²

⇒x²−5x+ >4 0

⇒

(

^x−1

)(

^x−4

)

^>0

⇒x>4或x<1

⇒ 4 5< <x 1

由(1)(2)知 1< <x 4或4

5< <x 1﹒