第壹部分：選擇題（占 65 分）
一、單選題（占 35 分）
說明：第 1 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在 答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一 個選項者，該題以零分計算。
設 a
1，a
2，a
3，……，a
8為公差不是 0 的等差數列，則下列選項何者正確？
a
1＋a
8＞a
4＋a
5a
1＋a
8＜a
4＋a
5a
1a
8＞a
4a
5a
1a
8＜a
4a
5a
1a
8＝a
4a
5答案：
解析：設公差為 d (d
＝ \
0)則 a8＝a1＋7d a4＝a1＋3d a5＝a1＋4d
∵a1＋a8＝a1＋a1＋7d＝2a1＋7d a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1＋7d
∴a1＋a8＝a4＋a5
∵a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d )－(a1＋3d )(a1＋4d )
＝a12＋7a1d－a12－7a1d－12d 2
＝－12d 2＜0
∴a1a8＜a4a5
故選 。
空間中一直線 L：x＋1＝y＋2＝z＋3 與 xy 平面、yz 平面、xz 平面分別交於 A、B、C 三點，試 求
AB與
AC兩線段長的比值
AC AB
＝？
1 2 3
2 52 7 答案：
解析：L：
3 2 1
－
＝
－
＝
－
＝ t z
t y
t x
，t
R令 z＝0 Þ t＝3 Þ A(2 , 1 , 0) 令 x＝0 Þ t＝1 Þ B(0 , －1 , －2) 令 y＝0 Þ t＝2 Þ C(1 , 0 , －1)
AB＝ (－2)2＋(－2)2＋(－2)2 ＝2 3 AC ＝ (－1)2＋(－1)2＋(－1)2 ＝ 3
∴ AC AB ＝2 故選 。
在△ABC 中，tan A＝3，tan B＝5，則 tan C＝？
7 4
5 33 7
7 4
答案：
解析：tan C＝tan(180°－(A＋B))＝－tan(A＋B)＝－1tan－tanA＋AtantanBB ＝－
5 3 1
5 3
－
＋ ＝ 14
8 ＝
7 4
故選 。
在坐標平面上，函數 y＝| x－1 |－| x－2 | 的圖形與圓 x
2＋y
2＝2 有幾個交點？
1 個 2 個 3 個 4 個 0 個
答案：
解析：○ y＝| x－1 |－| x－2 | 為折線圖形，折點發生在 x＝1 和 x＝2
處，因此代入以下幾點可作出其圖 形：
x 0 1 2 3
y －1 －1 1 1
○
畫圓時注意到OB＝ 2 ，圓須過點 B，又圓心 (0 , 0) 到直線 AB：2x－y－3＝0 之距離為 53 )
1 ( 2
3
2
2 ＝
－
＋ ＜ 2 (圓半徑)
∴直線 y＝2x－3與圓有 2 交點 綜合
○
、○
，作圖如下有 3 個交點
〈另解〉
○
當 x＜1 時，函數 y＝(1－x)－(2－x)＝－1將 y＝－1 代入 x2＋y2＝2，得 x＝－1，1 (1 不符)
○
當 1x＜2 時，函數 y＝(x－1)－(2－x)＝2x－3 將 y＝2x－3 代入 x2＋y2＝2，得 x＝1，5 7
○
當 x2 時，函數 y＝(x－1)－(x－2)＝1將 y＝1 代入 x2＋y2＝2，得 x＝－1，1 (皆不符)
綜合
○
、○
、○
，共有 3 個交點
＝－，， 時 5 1 7 1 x
故選 。
已知 a，b 為整數，坐標平面上直線 L
1：(a＋2) x＋4y＝10，直線 L
2：2x＋(b－3)y＝5，兩直線互 相垂直，且皆不通過第三象限，則數對 (a , b) 有幾種可能？
1 種 2 種 3 種 4 種 0 種
答案：
解析：
○
考慮兩直線斜率存在的情況：∵不過第三象限 ∴兩直線斜率均小於零，斜率相乘不可能為－1 即兩直線不可能垂直
○
考慮有直線斜率不存在(鉛直線)的情況：當 b＝3 時，L2：2x＝5，此時 L1 必為水平線Þ a＝－2，L1：4y＝10
符合題意 ∴數對 (a , b)＝(－2 , 3) 綜合
○
、○
，數對 (a , b) 共有 1 組解 故選 。設 k 為常數且 0＜k＜1，則絕對值不等式 x＜k | x－1 | 的解為下列何者？
x＞
k－k 1x＜
k－k 1x＜
k＋k 1x＞
k＋k 1或 x＜
k－k 1k－k 1
＜x＜
＋1 k
k
答案：
解析：
○
當 x1 時，x＜k (x－1) Þ k＜(k－1) x Þ－1 k
k ＞x ( 0∵ ＜k＜1 Þ k－1
＜0)
與 x
1 取交集
0
1＜ 注意到 －
k
k 為
○
當 x＜1 時，x＜k (1－x) Þ (k＋1) x＜k Þ x＜ k＋k 1與 x＜1 取交集
1
0 1＜
＜ ＋ 注意到 k
k 得 x＜ k＋k 1
綜合
○
、○
，解為 x＜ k＋k1故選 。
空間中一平面上有 A(2 , 8 , 4)、B(4 , 10 , 4)、C(5 , 13 , 0) 三點，
直線
AB、
BC、
AC將此平面分割成七個區域，如右圖所示
。
已知 D(2 , 10 , 0) 也在該平面上，試問 D 點在哪一個區域？
區域 S
1區域 S
3區域 S
4區域 S
6區域 S
7答案：
解析：AB
＝(2 , 2 , 0)，AC
＝(3 , 5 , －4)，AD
＝(0 , 2 , －4) 令AD
＝xAB
＋yAC
Þ
y y x
y x
4 4
5 2 2
3 2 0
＝－
－
＋
＝
＋
＝
Þ x＝－
2
3 ，y＝1
由 x＋y＜1 知在直線 x＋y＝1 的左側，又 x＜0，y＞0
∴D 在區域 S1
故選 。
二、多選題（占 30 分）
說明：第 8 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項 畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，
得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或 所有選項均未作答者，該題以零分計算。
右圖為兩變量 X 與 Y 的散佈圖(共有 5 個資料點)，請選出正確敘述的選 項。
X 與 Y 的相關係數小於 0 X 的平均數大於 Y 的平均數 X 的標準差大於 Y 的標準差 Y 對 X 的迴歸直線斜率小於 0 Y 對 X 的迴歸直線過點 (3 , 3.6)
答案：
解析：計算得 μX＝3，μY＝3.6 ╳：
0 0
) )(
5
(
1
－ － ＝ ＝
＝
r Y
X
i i X i Y
Þ
╳：μX＝3＜μY＝3.6
X Y Xi－μX Yi－μY (Xi－μX)(Yi－μY)
1 3 －2 －0.6 1.2
2 5 －1 1.4 －1.4
3 3 0 －0.6 0
4 3 1 －0.6 －0.6
5 4 2 0.4 0.8
0 ) )(
5
(
1
＝
－
－
＝i
X
i
XY
i
Y0 ) Y
)(
X
5
(
1
i i
－
X i－
Y＝
＝
○：資料 X 的分布範圍較廣，
資料 Y 較集中 ∴X＞Y
╳：∵r＝0 ∴m＝r ×
X Y
＝0○：迴歸直線必過 ( μX , μY)＝(3 , 3.6) 故選 。
設 0＜x＜1 且 M＝
102log 1
＝
k k x
，N＝
xlog2
10
，請選出正確的選項。
M＝
x!
log10
1
N＝log
1024x M．N＞0 M＞N M
2＞N
2答案：
解析： ○：M＝
2x log
1 ＋
3x log
1 ＋……＋
10 x log
1
＝logx 2＋logx 3＋……＋logx 10
＝logx 10!＝
!x log10
1
╳：N＝10 logx 2＝logx 210＝logx 1024 ○：∵0＜x＜1 ∴log x＜0
M＝logx 10!＝ logx
! 10
log ＜0
N＝logx 1024＝loglog1024x ＜0
∴M．N＞0
╳：∵10!＞1024 又 0＜x＜1
∴logx 10!＜logx 1024
∴M＜N
○：∵M＜N＜0 ∴M 2＞N 2 故選 。
五邊形 ABCDE 中，已知∠C＝∠D＝∠E＝90
°，且
AE＝
BC＝1，
CD＝ 2，
DE＝3，如右圖，請選出正確的選項。
AB
．
AB ＝ 5
DB ．
DA ＞ 5
AB ．
AC ＞ 5
AB ．
AE
＜－ 1
BE ．
AC ＞－5
答案：
解析：建立平面坐標系如右：
○：AB
＝(－2 , 1) Þ
AB ．
AB ＝|
AB |2＝5╳：DB
＝(1 , 2)，DA
＝(3 , 1) ÞDB
．DA
＝3＋2＝5○：AC
＝(－3 , 1) ÞAB
．AC
＝6＋1＝7＞5╳：AE
＝(0 ,－1) ÞAB
．AE
＝0＋(－1)＝－1╳：BE
＝(2 ,－2) ÞBE
．AC
＝－6＋(－2)＝－8＜－5故選 。
設 a 為實數，方陣 M＝
a a a 1
，I＝
1 0
0
1
，則下列各選項中的方陣，請選出必定有反方陣 者。
M M＋I M＋2I M
2＋3M M
2＋3M＋2I
答案：
解析： ╳：det (M )＝a2－a＝a(a－1) 當 a＝0 或 1 時，M －1 不存在
○：M＋I＝
1 1 1
＋
＋ a a a
det (M＋I )＝(a＋1)2－a＝a2＋a＋1(恆正)
＝ \
0 ∴(M＋I )－1 必存在○：M＋2I＝
2 1 2
＋
＋ a a a
det (M＋2I )＝(a＋2)2－a＝a2＋3a＋4 (恆正)
＝ \
0 ∴(M＋2I )－1 必存在╳：M 2＋3M＝M(M＋3I )
當 a＝0 或 1 時，det (M )＝0 Þ det (M 2＋3M )＝0，(M 2＋3M )－1 不存在 ○：M 2＋3M＋2I＝(M＋I )(M＋2I )
由 、 得 det (M＋I )
＝ \
0，det (M＋2I )＝ \
0∴det (M 2＋3M＋2I )
＝ \
0 Þ (M 2＋3M＋2I )－1 必存在故選 。
設 f (x) 為次數大於 1 的整係數多項式，若 f (x) 除以 x＋1 與 f (x) 除以 x－1 的餘式均相同，請選 出正確的選項。
f (x) 的偶次項係數均為 0 f (x) 的奇次項係數和為 0
若 f (x) 除以 x－2 的餘式為 k，則 k 為偶數 f (x) 除以 x
2－1 的餘式為零次多項式或零多項式 方程式 f (x)＝0 必有實根
答案：
解析：由題意得 f (1)＝f (－1)
╳：反例：設 f (x)＝(x＋1)(x－1)＋2＝x2＋1，x2 與 x0 之係數
＝ \
0○： 2 ) 1 ( ) 1
( －f －
f ＝0
╳：反例：設 f (x)＝x2＋1 Þ k＝f (2)＝5 為奇數
○：設 f (x)＝(x2－1)×q1(x)＋ax＋b，其中 a，b 為實數，ax＋b 為 f (x) 除以 x2－1 的餘式 (1)
( 1) f a b
f a b
Þ
＝＝
＝＝＝＝
①
②
○
－○
Þ 0＝2a Þ a＝0∴餘式為零次多項式或零多項式
╳：反例：設 f (x)＝x2＋1，則方程式 f (x)＝0 (即 x2＋1＝0) 無實根 故選 。
在△ABC 中，∠ABC＝15
°，
BC＝4，取
AB的中點 D，連接
CD，則∠DCA＝75
°，
AC
＞
AD。若設∠BAC＝θ，請選出正確的選項。
∠BCD＝90
°－θ
AD
：
CD＝sin 75
°：sin θ sin 2θ＝
4 1
AD
＝4
CD△ABC 的面積為 8(
6＋
2)
答案：
解析：
○：∠BCD＝180°－15°－75°－θ
＝90°－θ
○：△ACD 中，由正弦定理得 75
sin AD ＝
sin
CD ÞAD：CD＝sin 75°：sin θ ╳：△BCD 中，由正弦定理得
BD ：CD ＝sin(90°－θ )：sin 15°，又 AD＝BD
∴ sin 75 sin ＝
15 sin
) 90 sin( －
Þ sin θ cos θ＝sin 15°cos 15° Þ 2 sin θ cos θ＝2 sin 15° cos 15° Þ sin 2θ＝sin 30°＝
2 1 ╳：∵AC ＞AD
∴在△ACD 中，∠ADC＞∠ACD 即 105°－θ＞75°
Þ θ＜30°
又 sin 2θ＝
2 1
∴2θ＝30° Þ θ＝15° 承 ，CD
AD ＝
sin
75 sin
＝
15 sin
75 sin 由於
15 sin
75
sin
＝ \
4∴AD
＝ \
4CD╳：△ABC面積為 2 1
×4×4×sin 150°＝4 故選 。
第貳部分：選填題（占 35 分）
說明：1.第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(14－
31)。
2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 設 a、b 為實數，且 a、b 恰為二次方程式 x
2＋ax＋b＝0 的兩個相異實根，則 a
2＋b
2＝。
答案：5
解析：由根與係數的關係 Þ a b a ab b
＝＝＝
＝
①
② 由
○
得 ab－b＝0 Þ b(a－1)＝0 Þ b＝0 或 a＝1 當 b＝0 代回○
Þ a＝0 (重根不合)當 a＝1 代回
○
Þ b＝－2∴a2＋b2＝12＋(－2)2＝5。
B. 設橢圓
25 x2＋
16
y2
＝1 上有七個點 P
1(x
1, y
1)、P
2(x
2, y
2)、……、P
7(x
7, y
7)，其中 x
i＝－5＋
4 5
i 且 y
i＞0 (i＝1，2，……，7)。若 F 是橢圓的一個焦點，則
F
P1
＋
P2F＋
P3F＋
P4F＋
P5F＋
P6F＋
P7F＝。
答案：35
解析：
x1＝－5＋
4 5 ＝
4
－15，x7＝－5＋
4 35＝
4 15
Þ P1 與 P7 兩點對稱 y 軸
∴P1F＝P7F
同理P2F＝P6F ，P3F＝P5F 故P1F ＋P7F ＝P1F ＋P1F＝2a
F
P2 ＋P6F ＝P2F ＋P2F＝2a F
P3 ＋P5F ＝P3F ＋P3F＝2a 而 x4＝－5＋5＝0
∴P4 在 y 軸上ÞP4F ＝P4F又P4F ＋P4F＝2a
∴P4F ＝a＝5
∴所求為 6a＋a＝7a＝7×5＝35。
C. 從 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 3 個偶數和 3 個奇數(數字不重複選取)，組成一 個六位正整數，其中 3 個偶數兩兩不相鄰，3 個奇數由左至右保持小到大的順序(如 217694、385092)，則這種六位正整數共有個。
答案：2040
解析：
○
偶數沒選到 0：C35 × C34 × 1 × 4×3×2＝960
↑ ↑ ↑ ↑
取 3 個奇數 取 3 個偶數 奇數由小到大排 偶數插入奇數已排好的 4 個間隔
○
偶數有選到 0：C35 × C24 × 1 × 3×3×2＝1080
↑ ↑ ↑ ↑
取 3 個奇數 取 2 個偶數 奇數由小到大排 0 不可插入第一個間隔
∴共有 960＋1080＝2040 (個)。
〈另解〉
全－(選到 0 且排首位)
＝C35×C35×1×P34－C35×C24 ×1×P23
＝2400－360
＝2040 (個)。
D. 某銀行推出一種短期定存方案，約定存入 10 萬元，月利率為 0.2 ％，以複利每月計息一次，
10 個月後期滿領回。\s\do1( )參與了這個短期定存方案，則 10 個月後他共可領回的本 利和為元。(小數點以下四捨五入)
答案：102018
解析：100000×(1＋0.002)10
＝100000×〔C010＋C110 (0.002)1＋C210(0.002)2＋C103 (0.002)3＋C410(0.002)4＋……＋C1010
(0.002)10〕
＝105×〔1＋10×(2×10－3)1＋45×(2×10－3)2＋120×(2×10－3)3＋C410×(2×10－3)4＋……＋(2×10－3)10〕
＝105＋10×(2×102)＋45×(4×10－1)＋120×(8×10－4)＋C410×16×10－7＋……
數字太小不會影響整數位
100000＋2000＋18＝102018 (元)。
E. 有一正五邊形，甲從 5 個頂點中任意選擇 2 個頂點連成直線 L
1，乙與丙兩人也分別從該正
五邊形的 5 個頂點中任意選擇 2 個頂點連成直線 L
2與 L
3。已知 L
1、L
2、L
3為相異直線，
則 L
1、L
2、L
3可以圍成一個三角形的條件機率為。(化為最簡分數)
答案：2 1
解析：正五邊形 5 個頂點中任意選擇 2 個，可連出C25＝10 條直線
10 條直線中任取 3 條共有C310＝120 種可能，其中不能圍成三角形的狀況有以下 2 種：
∴可以圍成三角形的機率為 1－
120 20＋40
＝ 2 1 。
F. 空間中兩相異的單位向量
OA ＝(m , n , 0) 和
OB ＝( p , q , 0)，與
OC ＝(1 , 1 , 1) 的夾角均 為
4
，則∠AOB＝。
答案： 3
解析：
2 2
| | 1 1
2 6
cos 45
2 1 3 2
| | | |
OA m n
OA OC m n
m n OA OC
Þ
Þ Þ
＝＝＝
＝ ＝
＝＝＝＝
①
②
由○2 得 m2＋n2＋2mn＝
2
3 Þ mn＝
4 1
∴由根與係數的關係知 m，n 為 x2－ 2
6 x＋
4
1 ＝0 之兩根
同理 p，q 亦為 x2－ 2
6 x＋
4
1 ＝0 之兩根
又OA
＝ \
OB
Þ m＝ \
p，n＝ \
q∴m＝q，n＝p
即OA
＝(m , n , 0)，OB
＝(n , m , 0)
OA ．OB
＝2mn＝1×1×cos∠AOB Þcos∠AOB＝2
1
4
＝1
mn
∴∠AOB＝
3
。
G. 過雙曲線
4x2
－
22 by
＝1 (b＞0) 的右頂點 A 作斜率為－1 的直線 L，
直線 L 與雙曲線兩條漸近線的交點分別為 B、C，如右圖所示。
若
AB ＝
21 BC
，則此雙曲線兩焦點的距離為。
(化為最簡根式)
答案：4 5
解析：a2＝4 Þ a＝2 Þ A(2 , 0) AB：y－0＝(－1)(x－2) Þ x＋y＝2
雙曲線的漸近線：
2 x ±
b
y ＝0 Þ bx ± 2y＝0
Þ
b b B b
y bx
yx
＋
＝ ＋
－
＝
＋
2 , 2 2
4 0 2
2
Þ
b b C b
y bx
yx
－
－
＝ －
＋
＝
＋
2 , 2 2
4 0 2
2
∵AB
＝ 21 BC
ÞAC
＝3AB
ÞAC
坐標 y 分量為AB
坐標 y 分量的 3 倍∴ －2－2bb ＝3× 2＋2bb Þ 2－－1b ＝ 2＋3b Þ b＝4 c2＝a2＋b2＝4＋16＝20 Þ c＝2 5
∴兩焦點距離為 2c＝4 5 。
參考公式及可能用到的數值
首項為 a，公差為 d 的等差數列，末項 a
n＝a＋(n－1)d 前 n 項之和 S
n＝
2
) ) 1 ( 2
( a n d
n ＋ －
首項為 a，公比為 r (r ＝ \ 1) 的等比數列，末項 a
n＝ar
n－1前 n 項之和 S
n＝
r r
a n
－
）
－
（ 1
1
以 α，β 為兩根的一元二次方程式 ax
2＋bx＋c＝0 的根與係數關係：
a c
a b
＝
＝－
＋
三角函數的和角公式與差角公式：sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B sin(A－B)＝sin A cos B－cos A sin B cos(A＋B)＝cos A cosB－sin A sin B cos(A－B)＝cos A cos B＋sin A sin B
tan(
A＋
B)
＝1tan－tanA＋AtantanBBtan(
A－
B)
＝1tan＋tanA－AtantanBB△ABC 的正弦定理：
A a sin
＝
B b sin
＝
C c
sin
＝2R ( R 為△ABC 外接圓半徑)
△ABC 的餘弦定理：c
2＝a
2＋b
2－2ab cos C 一維數據 X：x
1，x
2，……，x
n，算術平均數 μ
X＝
n
1
(x
1＋x
2＋……＋x
n)＝
1
1
n ii
n
＝x
標準差
X＝
21
1
n(
i X)
i
n x
＝
－ ＝
2 21
1
n i X
i
x n
n
＝
－
二維數據 (X , Y )：(x
1, y
1)，(x
2, y
2)，……，(x
n, y
n)，相關係數
n1(
i X)(
i Y)
XY i
X Y
x y
r n
＝
迴歸直線(最適合直線)方程式為
( X) XY XY
Y r x
y
＝
－－
二項式定理：
(x＋y)
n＝
C0nx
ny
0＋
C1nx
n－1y
1＋……＋
Cknx
n－ky
k＋……＋
Cnnx
0y
n，即 (x＋y)
n＝
nk
k k n n
k x y
C
＝0
－
